2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第6章反比例函數(shù)（知識歸納+題型突破）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；
3．能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，能利用這些性質(zhì)分析和解決一些簡單的實際問題.
一、反比例函數(shù)的概念
一般地，形如 (為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).
要點：在中，自變量的取值范圍是， ()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.
二、反比例函數(shù)解析式的確定
反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要知道一對的對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.
三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1.反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關(guān)于原點對稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．
要點：
觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標(biāo)原點．
①的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為兩條直線；
②的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點（0，0）；
③(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱.
注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，
當(dāng)時，兩圖象沒有交點；當(dāng)時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關(guān)于原點成中心對稱.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)
當(dāng)時，同號，圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而減??；當(dāng)時，異號，圖象在第二、四象限，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大.
（2）若點()在反比例函數(shù)的圖象上，則點（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較
（4）反比例函數(shù)y＝中的意義
①過雙曲線(≠0) 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
②過雙曲線(≠0) 上任意一點作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.
四、應(yīng)用反比例函數(shù)解決實際問題須注意以下幾點
1．反比例函數(shù)在現(xiàn)實世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識解決實際問題時，要注意將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
2．列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.
題型一反比例函數(shù)的定義及有關(guān)概念
【例1】下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義：一般地，形如或（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做是的反比例函數(shù)，逐項判斷即可得．
【解析】解：A、是正比例函數(shù)，則此項不符題意；
B、叫做是的反比例函數(shù)，則此項不符題意；
C、，當(dāng)時，是的反比例函數(shù)，則此項不符合題意；
D、是反比例函數(shù)，則此項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．下列各點在反比例函數(shù)圖象上的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將每個選項中點的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，看函數(shù)值是否一致，如果一致，說明點在函數(shù)圖象上，反之則不在．
【解析】A．當(dāng)時，，故該選項不正確，不符合題意；
B．當(dāng)時，，故該選項不正確，不符合題意；
C．當(dāng)時，，故該選項不正確，不符合題意；
C．當(dāng)時，，故該選項正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查點是否在反比例函數(shù)圖象上，掌握反比例函數(shù)變量的求法是解題的關(guān)鍵．
2．下列問題中的兩個變量是成反比例的是（）
A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商B．貨物的單價一定，貨物的總價與貨物的數(shù)量
C．等腰三角形的周長一定，它的腰長與底邊的長D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時間
【答案】A
【分析】形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，主要看它們的乘積是否為非零的常數(shù)．依據(jù)判斷方法逐項分析即可．
【解析】解：A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商是反比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項符合題意；
B．貨物的單價一定，貨物的總價與貨物的數(shù)量是正比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項不符合題意；
C．等腰三角形的周長一定，它的腰長與底邊的長是一次函數(shù)的關(guān)系，故此選項不符合題意；
D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時間是正比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)，正確區(qū)分正比例函數(shù)與反比例函數(shù)是解題關(guān)鍵．判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系．
3．下列函數(shù)表達(dá)式中，表示是的反比例函數(shù)的有（）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義逐項判斷即可．
【解析】解：（1）不符合反比例函數(shù)的形式，是正比例函數(shù)；
（2）可變形為，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)；
（3）因為，所以，，可變形為，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)；
（4）可變形為，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)；
（5）不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)；
（6）不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)．
綜上所述，是反比例函數(shù)的為（2）（3）（4）共3個．
故選：C．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的定義（形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)），牢記反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
4．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值為．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義得到，，即可求得m的值．
【解析】解：∵是反比例函數(shù)，
∴，，
∴且，
∴，
故答案為：
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，形如的函數(shù)是反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
5．如果是反比例函數(shù)，那么的值是．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義得到，求解即可得到答案．
【解析】解：是反比例函數(shù)，
，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
題型二反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【例2】關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）
A．函數(shù)圖像分別位于第一、三象限B．函數(shù)圖像經(jīng)過點
C．函數(shù)圖像過，則D．函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱
【答案】C
【分析】根據(jù)可得函數(shù)圖像分別位于第一、三象限，由此可判斷A、C；根據(jù)當(dāng)時，即可判斷B；根據(jù)反比例函數(shù)圖像的特點即可判斷D．
【解析】解：∵在反比例函數(shù)中，，
∴函數(shù)圖像分別位于第一、三象限，故A說法正確，不符合題意；
當(dāng)時，，即函數(shù)圖像經(jīng)過點，故B說法正確，不符合題意；
∵函數(shù)圖像過，，
∴，故C說法錯誤，符合題意；
反比例函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱，故D說法正確，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系等等，熟知反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)時和當(dāng)時，分析反比例函數(shù)所在象限和一次函數(shù)經(jīng)過的象限，即可獲得答案．
【解析】解：當(dāng)時，函數(shù)的圖像位于第一、三象限，經(jīng)過第一、二、四象限；
當(dāng)時，函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限，經(jīng)過第一、二、三象限．
綜上所述，選項A、B、C不符合題意，選項D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的識別，運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵．
2．若點，，是反比例函數(shù)圖像上的三個點，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號可得反比例函數(shù)所在象限為二、四，其中在第四象限的點的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)的增減性，進而判斷在同一象限內(nèi)的點和點的縱坐標(biāo)的大小即可．
【解析】解：反比例函數(shù)的系數(shù)為，
圖像的兩個分支在二、四象限，該函數(shù)隨的增大而增大，
第四象限的點縱坐標(biāo)總小于第二象限的縱坐標(biāo)，
點在第二象限，，在第四象限，
最大，
該函數(shù)隨的增大而增大，，
，
，
故選：．
【點睛】考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上的點的特征，用到的知識點為，反比例函數(shù)的比例系數(shù)小于，圖像的個分支在二、四象限；第四象限的點的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)；在同一象限內(nèi)，隨的增大而增大．
3．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．函數(shù)圖像經(jīng)過點B．函數(shù)圖像位于第一、三象限
C．函數(shù)值隨著的增大而增大D．當(dāng)時，
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)即可求解．
【解析】、點不在它的圖象上，不符合題意；
、它的圖象在第二、四象限，不符合題意；
C、在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，不符合題意；
D、當(dāng)時，，正確，符合題意；
故選：．
【點睛】此題考查了反比函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．反比例函數(shù)的圖象上有一點，當(dāng)，則的取值范圍是．
【答案】或
【分析】依據(jù)題意，由點在反比例函數(shù)圖象上，點的縱坐標(biāo)，從而可以得解．
【解析】解：由題意，由，
當(dāng)時，
．
當(dāng)時，或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題時要熟練掌握并理解．
5．若反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置：不經(jīng)過第一象限，則，解之即可求得的取值范圍，從而求解．
【解析】解：反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，
則經(jīng)過二四象限，
∴．
解得：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，對于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．
【解析】解：對于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，
，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
7．在函數(shù)(m為常數(shù))的圖象上有三個點，，，則函數(shù)值的大小關(guān)系是( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各點橫坐標(biāo)的特點即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵在函數(shù)（為常數(shù)）中，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)隨的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型三反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題
【例3】如圖，過雙曲線上任意一點分別作軸，軸的垂線，，交軸、軸于點、，所得矩形的面積為8，則的值是（）

A．4B．C．8D．
【答案】D
【分析】設(shè)點P坐標(biāo)為，則，根據(jù)矩形的面積為8，得出，即可得出k的值．
【解析】解：設(shè)雙曲線表達(dá)式為，
設(shè)點P坐標(biāo)為，
∵軸，軸，
∴，
∵矩形的面積為8，
∴，則，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握過反比例函數(shù)圖象上的點作兩坐標(biāo)軸的垂線，組成的矩形面積為．
鞏固訓(xùn)練：
1．函數(shù)與的圖象如圖所示，點C是y軸上的任意一點．直線平行于y軸，分別與兩個函數(shù)圖象交于點A、B，連接．當(dāng)從左向右平移時，的面積是．

【答案】
【分析】設(shè)線段，則可表示出，再根據(jù)三角形的面積公式得出的面積，代入數(shù)值計算即可．
【解析】解：設(shè)直線與x軸的交點為P，
設(shè)，則，，
∵，
∴
＝
＝
故答案為：．

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的k的幾何意義，三角形的面積公式，解答本題的關(guān)鍵是表示出線段的長度，難度一般．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點C在第一象限內(nèi)，點B為的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點．若的面積是6，則k的值為．

【答案】4
【分析】過B，C兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，設(shè)B點坐標(biāo)為，則，由點B為的中點，推出C點坐標(biāo)為，求得直線的解析式，得到A點坐標(biāo)，根據(jù)的面積是6，列式計算即可求解．
【解析】解：過B，C兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，

∴，
∴，
∴，
設(shè)B點坐標(biāo)為，則，
∵點B為的中點，
∴，
∴，
∴C點坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，，
∴A點坐標(biāo)為，
根據(jù)題意得，
解得，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．
3．點，是反比例函數(shù)上關(guān)于原點對稱的任意兩點，平行于軸，交軸于點，平行于軸，交軸于點，設(shè)四邊形的面積為，則（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積可知，，再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知，為中點，則，，進而求出四邊形的面積．
【解析】解：，是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的任意兩點，且平行于軸，平行于軸，
，
假設(shè)點坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為，
則，
，，
四邊形面積．
故選：C
【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義，難易程度適中．過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積．
4．如圖，點是反比例函數(shù)圖像上的點，點分別在x軸，y軸正半軸上．若四邊形為菱形，軸，，則k的值（）

A．3B．6C．12D．24
【答案】B
【分析】連接，過點作軸于點，由菱形的性質(zhì)及面積可得出，證得四邊形為矩形，得出，則可得出答案．
【解析】解：連接，過點作軸于點，

四邊形是菱形，
，，
，
，
，
軸，軸，
，
四邊形為矩形，
，
，
，
故選：B
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象點的特點，菱形的性質(zhì)和面積．熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，點A在軸的正半軸上，，點在軸的負(fù)半軸上，，連接，過點A作交軸于點，點在直線上，連接，．若的面積為4.5，則的值為．

【答案】3
【分析】根據(jù)同底等高把面積進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)的幾何意義，從而求出的值．
【解析】解：因為，依據(jù)同底等高的原理，的面積等于的面積，
設(shè)，則，
解得，
所以．
故．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是根據(jù)同底等高把面積進行轉(zhuǎn)化．
題型四反比例函數(shù)與不等式
【例4】．如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且與反比例函數(shù)圖像的另一個交點為．

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，并在圖中畫出該一次函數(shù)的圖像；
(2)結(jié)合圖像，直接寫出不等式組的解集_________．
(3)把的圖像向下平移4個單位長度，若平移后的直線與反比例函數(shù)的圖像在第三象限交于點，求的面積．
【答案】(1)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，一次函數(shù)的關(guān)系式為，在圖中畫出該一次函數(shù)的圖像見解析
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可得到答案，然后作出圖像即可；
（2）不等式組的解集，數(shù)形結(jié)合，是指直線圖像在反比例函數(shù)圖像上方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)圖像平移，得到直線解析式，求出，再由平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法求解即可得到答案．
【解析】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，
∴，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，
當(dāng)時，，即點，
∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，
∴，解得，
∴一次函數(shù)的關(guān)系式為，
作圖如下：

（2）解：如圖所示：

不等式組的解集：或，
故答案為：或；
（3）解：如圖所示：

把的圖像向下平移4個單位長度，得到，
直線與反比例函數(shù)的圖像在第三象限交于點，
，
．
【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、利用函數(shù)圖像解不等式、平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積等，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點，一次函數(shù)的圖象與軸和軸分別交于，兩點，過點作軸于點，連接，，且．
(1)直接寫出的值以及，的坐標(biāo)；
(2)根據(jù)圖象直接寫出：當(dāng)時x的取值范圍；
(3)求的面積．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)3
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，由，求得的值，繼而得出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立解析式求得點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象，找到反比例函數(shù)在直線上方部分的自變量取值范圍即可求解；
（3）先根據(jù)一次函數(shù)解析式，求得點的坐標(biāo)，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【解析】（1）解：∵，軸，且反比例函數(shù)圖象在第一，三象限，
∴，
∴反比例數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為：
聯(lián)立
解得：或
∴，．
∴，，．
（2）∵，，根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)時，或
（3）由，令，解得：，
∴點D坐標(biāo)為，即
．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，解一元二次方程，求直線圍成的三角形面積，掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型五反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合分析
【例5】．已知點與點在反比例函數(shù)的圖象上，( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征研究反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解析】解：A、若，則反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在每個象限y隨x的增大而減小，
∵，
∴，
∴點與點在第一象限，
∴，故選項A錯誤；
B、若，則反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在每個象限y隨x的增大而減小，
∵，
∴，
∴點與點在第三象限，
∴，故選項B錯誤；
C、若，則反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個象限y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
∴點在第二象限，
∴，不合題意，故選項C錯誤；
D、若，則反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個象限y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
∴點在第二象限，點在第四象限，
∴，
∴，故選項D正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
已知點，，在反比例函數(shù)的圖象上，，則下列結(jié)論一定成立的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小，對選項逐一進行分析，即可得到答案．
【解析】解：反比例函數(shù)，
函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小，
A、若，則或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
原結(jié)論不一定成立，不符合題意，選項錯誤；
B、若，則
，原結(jié)論不成立，不符合題意，選項錯誤；
C、若，則或，
，原結(jié)論一定成立，符合題意，選項正確；
D、若，則或或，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
原結(jié)論不一定成立，不符合題意，選項錯誤，
故選C．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)比例系數(shù)時，函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)比例系數(shù)時，函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大．
2．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，有點，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則（）

A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】先求出和的坐標(biāo)，得出，，根據(jù)即可求解．
【解析】解：把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
由圖可知：，
，
故選：C．

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握過反比例函數(shù)圖像上的點，作x軸和y軸的垂線，圍成的矩形面積等于．
3．在同一坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒有交點，則與的關(guān)系，下面四種表述：①；②；③；④或．正確的有( )
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得出和異號，再分別判斷各項即可．
【解析】解：∵同一坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒有交點，
若，則正比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，則反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，則，
若，則正比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，從而反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，則，
綜上：和異號，
①∵和的絕對值的大小未知，故不一定成立，故①錯誤；
②∵和異號，則，故②正確；
③，故③正確；
④或，故④正確；
故正確的有3個，
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是得到和異號．
題型六反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
【例6】．某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的壓強與氣體的體積成反比例．當(dāng)氣體的體積時，氣球內(nèi)氣體的壓強．
(1)當(dāng)氣體的體積為時，它的壓強是多少？
(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的壓強大于時，氣球就會爆炸．問：氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于多少氣球才不會爆炸？
【答案】(1)當(dāng)氣體的體積為時，它的壓強是
(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于時，氣球才不會爆炸
【分析】（1）先求出氣球內(nèi)氣體的壓強與氣體的體積的反比例函數(shù)關(guān)系式，然后代入進行求解即可；
（2）先求出當(dāng)時，的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解析】（1）解：設(shè)，
由題意得：，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，，
∴當(dāng)氣體的體積為時，它的壓強是；
（2）解：當(dāng)時，，
∵，
∴V隨p的增大而增大，
∴要使氣球不會爆炸，則，
∴當(dāng)氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于時，氣球才不會爆炸．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意得到是解題的關(guān)鍵．
題型七反比例函數(shù)綜合解答題
【例7】．如圖，已知，是反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象的兩個交點．
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
【分析】（1）先把代入求得，再把A點坐標(biāo)代入求得，從而求得點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式，即可求出結(jié)果；
（2）先求出一次函數(shù)與x軸的交點C的坐標(biāo)，然后利用，進行計算即可；
（3）根據(jù)可知，即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，再根據(jù)圖象即可求得結(jié)果．
【解析】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
，即，
∴反比例函數(shù)解析式為：，
∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
∴點A的坐標(biāo)為，
、在一次函數(shù)的圖象上，可得：
，解得，
∴一次函數(shù)解析式為：．
（2）解：如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，
，
．
（3）解：，
，
∴由圖象可知，x的取值范圍是：或．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及觀察函數(shù)圖象的能力，求點A、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A，與y軸交于點B，與x軸交于點．

(1)求b與m的值；
(2)為x軸上一點，連接AP，當(dāng)?shù)拿娣e為9時，求a的值．
【答案】(1)的值為2，的值為6
(2)=2或
【分析】（1）把代入可得的值，進而可求出一次函數(shù)解析式，得到點A 的坐標(biāo)，再將點A的坐標(biāo)代入反比例解析式即可求得的值；
（2）確定與點的坐標(biāo)之間的等量關(guān)系即可求解．
【解析】（1）解：把代入得：
解得，
∴．
把A代入得：
解得，
∴．
把代入得=6．
故的值為2，的值為6．
（2）解：由（1）可知，．
∵為軸上一動點，
∴，
∴，
解得或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題．掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式、用點的坐標(biāo)表示圖形面積是解題關(guān)鍵．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，
兩點．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)直線分別交x軸、y軸于兩點．
①請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作出的平分線，交直線于點P；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
②求出點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①見解析；②
【分析】（1）由“反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，”即可求解；
（2）①按照角平分線的尺規(guī)作圖方法即可作出點；②分別求出直線和直線的解析式即可．
【解析】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，
∴
解得：
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式
（2）解：①如圖所示：

②由（1）得：，
設(shè)直線的解析式為：
則
解得：
∴直線的解析式為：
∵，平分
∴點在一、三象限的角平分線上
∴直線的解析式為：
聯(lián)立得：
∴點P的坐標(biāo)為
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、尺規(guī)作圖等．掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．
3．為加強生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)(含15天)排污達(dá)標(biāo)．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y與時間天的變化規(guī)律如圖所示，其中線段表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的濃度降為4從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關(guān)系：
(1)在整改過程中，當(dāng)時，求硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在整改過程中，當(dāng)時，求硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度在第幾天降為？
【答案】(1)；
(2)；
(3)第15天
【分析】（1）設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為：，把A、B兩點坐標(biāo)代入求出k、b的值即可；
（2）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，把B點坐標(biāo)代入，求出k的值即可；
（3）令，即可得知企業(yè)所排污水中硫化物的濃度在第15天降為．
【解析】（1）解：設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為，
∵在線段上，
∴將A，B兩點坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，
得，解得，
∴當(dāng)時，硫化物的濃度與時間的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：∵，
∴當(dāng)時，與成反比例，
設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，
將點B代入得：，
解得：，
∴當(dāng)時，硫化物的濃度與時間的函數(shù)表達(dá)式為；
（3）解：令．
解得．
∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度在第15天降為．
【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握根據(jù)坐標(biāo)確定解析式的一次項系數(shù)和常數(shù)項是解題關(guān)鍵．
4．《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一搬，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題，新結(jié)論的重要方法．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點在軸負(fù)半軸，頂點在軸正半軸，，分別在的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，連接，，四邊形的面積為．
(1)__________________．直線的表達(dá)式為__________________
(2)如圖2，為該反比例函數(shù)圖象上任意一點，過點作軸交直線于點，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，延長交反比例函數(shù)的圖象于點，過點作直線于，過點作直線于，試判斷的值是否為定值，若是，請直接寫出定值；若不是．請說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見解析．
(3)
【分析】（1）設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)可求得的數(shù)值，采用待定系數(shù)法，即可求得答案．
（2）過點作，交（或的延長線）于點，可先用含，的代數(shù)式表示出，然后根據(jù)勾股定理計算出，即可求得與的數(shù)量關(guān)系．
（3）過點作軸交直線于點，則，可證得為等腰直角三角形，求得，同理可求得．
【解析】（1）設(shè)正方形的邊長為．根據(jù)題意，得：
．
解得：，(舍去)．
所以，點的坐標(biāo)為．
因為反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
所以．
解得：．
根據(jù)題意可知，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的表達(dá)式為．
因為的圖象過點，，所以
解得
所以，直線的表達(dá)式為．
故答案為：，；
（2），理由如下：
如圖所示，過點作，交（或的延長線）于點．

因為反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
所以．
∴．
根據(jù)題意可知，點的縱坐標(biāo)為．
將代入直線的表達(dá)式，得
．
解得．
所以，點的坐標(biāo)為．
所以，．
所以，．
根據(jù)題意可知，．
所以，．
所以，．
所以，．
（3），理由如下：
如圖所示，過點作軸交直線于點．

根據(jù)（2）的證明過程可知．
∵軸，
∴．
∴為等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
同理可得．
∴．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、勾股定理、平面直角坐標(biāo)系等，能根據(jù)題意構(gòu)建輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．【探索發(fā)現(xiàn)】
如圖1，四邊形、、都是邊長為1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，②，③，④，試確定與圖中的和為45°的角有______．（填寫對應(yīng)序號）
【問題解決】
如圖1，在線段上取點I，使得為，則______．

【拓展應(yīng)用】
如圖2，反比例函數(shù)和的圖象分別是和．射線交于點A，射線交于點B，且，連接．
（1）如圖3，當(dāng)軸時，
①求點A的坐標(biāo)；
②在y軸上找一點P，使得時，直接寫出點P的坐標(biāo)______．
（2）在如圖，將繞點O旋轉(zhuǎn)，射線始終在第一象限，在旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出的面積為時點A的坐標(biāo)______．
【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】①③；【問題解決】13；【拓展應(yīng)用】（1）①點A的坐標(biāo)為1,2；②0,103或0,?10；（2）4,12或12,4
【分析】探索發(fā)現(xiàn)：如圖，由正方形性質(zhì)及外角定理得∠DAF+∠AFB=∠ADB=45°，由勾股定理，AD=2，可證△DAH～△DFA，得∠DHA=∠DAF，于是∠AHB+∠AFB=45°，得出答案；
問題解決：如圖，∠IAF=45°，則∠BAI+∠FAG=45°，可證∠BAI=∠BHA，于是△BAI～△BHA，從而BIBA=BABH=13，得出結(jié)論BI=13BA=13；
拓展應(yīng)用：（1）如圖3，當(dāng)AB∥x軸時，①設(shè)A(2n,n)，B(?8n,n)(n>0)，則由勾股定理，OA2+OB2=AB2，所以n2+4n2+n2+64n2=(10n)2，求解得A(1,2)；②兩種情況，如圖，∠PBO=45°,點P在正半軸,如圖BP與OA的延長線交于點C,過點C作CE⊥x軸，點B作BD⊥x軸，垂足分別為點E,D,求證△BDO?△OEC，得CE=OD,OE=BD，由A(1,2),AB∥x知，B(?4，2)，C(2,4)，待定系數(shù)法求BC解析式為y=13x+103，從而求得P(0,103)；如圖，∠PBO=45°,點P在負(fù)半軸,延長AO,交BP于點C,過點C作CF⊥y軸,垂足為F,則△OBC是等腰直角三角形,OB=OC，同前一種情況,可證△GOB?△FCO，可得C(?2,?4),待定系數(shù)求BC解析式為y=?3x?10，從而求得P(0,?10)；
（2）如圖，分別過點B，A作BC⊥x軸, AF⊥x軸，垂足為C, F，可知 S△OAF=1,S△OBC=4，求證△BCO～△OFA，得(COFA)2=(BCOF)2=S△OBCS△OAF=4，于是CO=2FA，BC=2OF，設(shè)A(2m,m)，得S△OAB=S梯形BCFA?S△OBC?S△OAF=654，即(m2+4)(m2+1)m2?4?1=654，解得m=12或m=4，2m=4或2m=12，于是A4,12或12,4．
【解析】解：【探索發(fā)現(xiàn)】，如圖，正方形ABDC中，∠ADB=45°
∴∠DAF+∠AFB=∠ADB=45°
由勾股定理，AD=AD2+BD2=2，
∵DADF=2 ，DHDA=22=2
∴DADF=DHDA
而∠FDA=∠ADH
∴△DAH～△DFA
∴∠DHA=∠DAF
∴∠DHA+∠AFB=45°即∠AHB+∠AFB=45°
根據(jù)圖中角的位置關(guān)系，可知其它兩角不符合條件，
故選：①③；

【問題解決】如圖，∠IAF=45°
∴∠BAI+∠FAG=90°?∠IAF=45°
∵AG∥BH
∴∠FAG=∠AFB
∵∠DHA+∠AFB=45°
∴∠DHA+∠FAG=45°
∴∠BAI=∠DHA=∠BHA
∴△BAI～△BHA
∴BIBA=BABH=13
∴BI=13BA=13

【拓展應(yīng)用】（1）如圖，當(dāng)AB∥x軸時，
①設(shè)A(2n,n)，B(?8n,n)(n>0)，則OA2=(2n)2+n2=n2+4n2，OB2=(?8n)2+n2=n2+64n2，
AB=2n??8n=10n，
∵∠MON=90°
∴OA2+OB2=AB2
∴n2+4n2+n2+64n2=(10n)2，解得n=2，2n=1
∴A(1,2)

②兩種情況，如圖，∠PBO=45°,點P在正半軸,
如圖BP與OA的延長線交于點C,過點C作CE⊥x軸，過點B作BD⊥x軸，垂足分別為點E,D,
∵∠PBO=45°,∠BOC=90°
∴∠OCB=∠OBC=45°
∴OB=OC
∵∠DBO+∠DOB=90°，∠DOB+∠EOC=90°
∴∠DBO=∠EOC
又∠BDO=∠OEC=90°
∴△BDO?△OEC
∴CE=OD,OE=BD
由A(1,2),AB∥x知，B(?4，2)
∴CE=OD=4，OE=BD=2，即C(2,4)
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b(k≠0),則
?4k+b=22k+b=4,解得k=13b=103
∴y=13x+103
x=0時,y=103
∴P(0,103)
,
如圖，∠PBO=45°,點P在負(fù)半軸,延長AO,交BP于點C,過點C作CF⊥y軸,垂足為F,
則△OBC是等腰直角三角形,OB=OC

同前一種情況,可證△GOB?△FCO，而B(?4，2)
∴OF=BG=4，CF=OG=2
∴C(?2,?4),
設(shè)直線BC解析式為y=px+q(p≠0)，則
?2p+q=?4?4p+q=2解得p=?3q=?10
∴y=?3x?10
x=0時，y=?10
∴P(0,?10)
綜上, P(0,103)或P(0,?10)
（2）如圖，分別過點B，A作BC⊥x軸, AF⊥x軸，垂足為C, F，

∵點A，點B在反比例函數(shù)y=2xx>0和y=?8xx0)，則FA=m，OF=2m，CO=2m，BC=4m，
∴S梯形BCFA=12(4m+m)(2m+2m)=(m2+4)(m2+1)m2
而，S△OBC=82=4，S△OAF=22=1
∴S△OAB=S梯形BCFA?S△OBC?S△OAF=654
即(m2+4)(m2+1)m2?4?1=654，解得4m4?65m2+16=0，m2=14或m2=16
∴m=12或m=4，2m=4或2m=12
∴A4,12或12,4
【點睛】本題考查反比例函數(shù)性質(zhì)，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，結(jié)合條件添加輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形尋求線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

正比例函數(shù)
反比例函數(shù)
解析式
圖像
直線
有兩個分支組成的曲線（雙曲線）
位置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增減性
，隨的增大而增大
，隨的增大而減小
，在每個象限，隨的增大而減小
，在每個象限，隨的增大而增大
時間x(天)
3
5
6
8
……
硫化物的濃度
4
2.4
2
1.5
……

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