1.在觀察、操作、想象等活動(dòng)中增強(qiáng)對(duì)空間物體的把握和理解能力；
2.通過實(shí)例了解中心投影與平行投影；
3.會(huì)畫直棱柱、圓柱、圓錐和球的三種視圖；
4.能根據(jù)三種視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體.
一、投影
投影現(xiàn)象
物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.
2. 中心投影
手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.
相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：
(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.
在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.
要點(diǎn)：
光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).
3.平行投影
1.平行投影的定義：太陽(yáng)光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.
相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：
①等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.
2. 物高與影長(zhǎng)的關(guān)系
①在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).
②在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.
即：.
利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.
注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).
要點(diǎn)：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.
2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說明是平行光線.
4、正投影
如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，這種投影稱為正投影.

要點(diǎn)：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
二、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系
1.區(qū)別：（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.
（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
2.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來的光線.
（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.
要點(diǎn)：在解決有關(guān)投影的問題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問題.
三、視圖
1.三視圖
（1）視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖.
（2）三視圖
在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個(gè)不同方向觀察一個(gè)物體，分別得到這個(gè)物體的三個(gè)視圖.通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖. 主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
2.三視圖之間的關(guān)系
（1）位置關(guān)系
一般地，把俯視圖畫在主視圖下面，把左視圖畫在主視圖右面，如圖(1)所示.

（2）大小關(guān)系
三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.
要點(diǎn)：三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高；俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).
3.畫幾何體的三視圖
畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下：
(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；
(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；
(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.
幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線要畫成虛線.
要點(diǎn)：畫一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.
4.由三視圖想象幾何體的形狀
由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.
要點(diǎn)：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.
題型一 平行投影
【例1】下列光線所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．太陽(yáng)光線B．臺(tái)燈的光線C．手電筒的光線D．路燈的光線
【答案】A
【分析】判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【解析】解：四個(gè)選項(xiàng)中只有太陽(yáng)光可認(rèn)為是平行光線；故太陽(yáng)光線下形成的投影是平行投影．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影，解題關(guān)鍵是看光線是否是平行的.
鞏固訓(xùn)練：
1．下圖中各投影是平行投影的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行投影定義即可判斷．
【解析】解：只有C中的投影線是平行的，且影子長(zhǎng)度與原物體長(zhǎng)度比一致．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影的知識(shí)，牢記平行投影的定義是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正五邊形，若，則（ ）

A．56°B．66°C．72°D．76°
【答案】B
【分析】根據(jù)正五邊形得到，利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．
【解析】解：如圖，延長(zhǎng)和分別交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和I，

∵六邊形是正五邊形，
∴，
∴，
∴，
由平行光線知，；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行投影的性質(zhì)、多邊形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造三角形是解決問題的關(guān)鍵．
題型二 中心投影
【例2】中心投影的光線是（ ）
A．平行的B．從一點(diǎn)發(fā)出的C．不平行的D．向四面發(fā)散的
【答案】B
【分析】根據(jù)中心投影的定義即可解答．
【解析】解：中心投影的光線是從一點(diǎn)發(fā)出的，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心投影的定義，解題的關(guān)鍵是掌握中心投影的光線是從一點(diǎn)發(fā)出的．
鞏固訓(xùn)練：
1．當(dāng)你走在路燈下，越來越接近路燈時(shí)，你的影子的長(zhǎng)是如何變化（ ）
A．變長(zhǎng)B．變短C．不變D．無(wú)法確定
【答案】B
【分析】根據(jù)中心投影的性質(zhì)，燈光下影子與物體離燈源距離有關(guān)，從而得出答案．
【解析】解：燈光下，涉及中心投影，根據(jù)中心投影的特點(diǎn)燈光下影子與物體離燈源距離有關(guān)，
你走在路燈下，越來越接近路燈時(shí)，你的影子的長(zhǎng)是變短．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律．中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng)；②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為，．則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．5D．6
【答案】D
【分析】延長(zhǎng)、分別交軸于、，作軸于，交于，證明，得到，即可求解．
【解析】解：延長(zhǎng)、分別交軸于、，作軸于，交于，如圖，
，，．
，，，
，
，
，即，
，
故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時(shí)的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．
題型三 正投影
【例3】物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)．一個(gè)三角板的正投影不可能是（ ）
A．一條線段B．一個(gè)與原三角板全等的三角形
C．一個(gè)等腰三角形D．一個(gè)小圓點(diǎn)
【答案】D
【分析】由三角板所在的平面與投影光線的關(guān)系逐一分析可得答案．
【解析】解：當(dāng)三角板所在的平面與投影光線平行時(shí)，可得投影是一條線段，故A不符合題意；
當(dāng)三角板所在的平面與投影光線垂直時(shí)，可得投影是一個(gè)與原三角板全等的三角板，故B不符合題意；
當(dāng)三角板所在的平面與投影光線成一定的角度時(shí)，可得投影是一個(gè)變形的三角板，可能為等腰三角形，不可能是一個(gè)點(diǎn)，故C不符合題意；D符合題意；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是投影的含義，理解物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)是解本題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．一個(gè)正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時(shí)的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】正投影即投影線垂直于頂面產(chǎn)生的投影，據(jù)此直接選擇即可．
【解析】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同．
2．幻燈機(jī)是教師常用的教具之一，它能把精致的圖片投到銀幕上，如圖，在與中，下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)投影的性質(zhì)：投影后的圖像與投影前的圖像相似，逐個(gè)判斷即可得到答案；
【解析】解：由題意可得，
，
∴，故A錯(cuò)誤，
，故B正確，
，故C，D不一定成立，
故選B；
【點(diǎn)睛】本題考查投影的性質(zhì)：投影后的圖像與投影前的圖像相似．
3．如圖，一塊含角的直角三角形木板，將它的直角頂點(diǎn)放置于直線上，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的正投影分別是點(diǎn)，點(diǎn)，若，，則在直線上的正投影的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)；通過證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)．
【解析】解：在中，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
即在直線上的正投影的長(zhǎng)是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影，掌握相似三角形的判斷與性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
題型四 視點(diǎn)、視角和盲區(qū)
【例4】．如圖，從點(diǎn)觀測(cè)建筑物的視角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)視角的定義，由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角，即可判斷．
【解析】如圖所示，根據(jù)視角的定義，建筑物兩端發(fā)出的光線在眼球內(nèi)交叉的角為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了視角的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉并掌握視角的定義．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，在房子屋檐E處安有一臺(tái)監(jiān)視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監(jiān)視器的盲區(qū)是（ ）

A．B．C．D．四邊形
【答案】C
【分析】解答此題首先要了解盲區(qū)的定義，視線覆蓋不到的地方即為該視點(diǎn)的盲區(qū)，由圖知，是視點(diǎn)，找到在點(diǎn)處看不到的區(qū)域即可．
【解析】解：由圖知：在視點(diǎn)的位置，看不到段，因此監(jiān)視器的盲區(qū)在所在的區(qū)域，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了投影和視圖的概念，解答此類問題，首先要確定視點(diǎn)，然后再根據(jù)盲區(qū)的定義進(jìn)行判斷．
2．圖1表示正六棱柱形狀的高大建筑物，圖2中的陰影部分表示該建筑物的俯視圖，P、Q、M、N表示小明在地面上的活動(dòng)區(qū)域．小明想同時(shí)看到該建筑物的三個(gè)側(cè)面，他應(yīng)在（ ）
A．P區(qū)域B．Q區(qū)域C．M區(qū)域D．N區(qū)域
【答案】B
【解析】根據(jù)清視點(diǎn)、視角和盲區(qū)的定義，觀察圖形解決．
解：由圖片可知，只有Q區(qū)域同時(shí)處在三個(gè)側(cè)面的觀察范圍內(nèi)．
故選B．
題型五 三視圖
【例5】．如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
【解析】解：從上面看，看的圖形為：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，掌握俯視圖是從物體的上面看得到的視圖，是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖是一個(gè)放置在水平試驗(yàn)臺(tái)上的錐形瓶，從上往下看該立體圖形得到的平面圖形是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的幾何特征，結(jié)合俯視圖的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解析】該幾何圖形是由圓柱和圓臺(tái)構(gòu)成，從上往下看，圓柱和圓臺(tái)的底面都是圓，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和圓臺(tái)的俯視圖的判斷，屬于容易題．
2．如圖是某組合體的三視圖，則該組合體是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三視圖分別判斷出兩部分的幾何體．
【解析】解：根據(jù)正視圖和俯視圖可知，組合體上部分為一個(gè)圓柱體，根據(jù)俯視圖和左視圖可知，組合體下部分為一個(gè)長(zhǎng)方體，故該組合體是有一個(gè)圓柱和長(zhǎng)方體組合而成，選項(xiàng)A滿足，

故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握常見的幾何體的三視圖的特征，比如圓柱，圓錐之類．
題型六 由三視圖求體積和表面積
【例6】．如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體從正面、上面看到的圖形如圖所示，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積等于（ ）

A．18B．12C．9D．6
【答案】D
【分析】由主視圖和俯視圖知，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3、寬為1、高為2，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式即可得．
【解析】解：由主視圖和俯視圖知，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3、寬為1、高為2，
則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是熟練掌握長(zhǎng)方體的三視圖，并根據(jù)三視圖得出其長(zhǎng)、寬、高．
鞏固訓(xùn)練：
1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三視圖得，判斷此幾何體為直四棱柱，從而可以求解．
【解析】解：由三視圖得，此幾何體為直四棱柱，
()．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了通過三視圖求幾何體側(cè)面積，掌握三視圖與原幾何體的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是 （結(jié)果保留π）．

【答案】
【分析】由三視圖可知該幾何體是個(gè)半圓柱，且半圓柱的底面半徑是2，高是4，根據(jù)表面積的計(jì)算公式求解即可．
【解析】解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一道由三視圖求幾何體的表面積的題目，關(guān)鍵是由三視圖判斷出幾何體的形狀．
題型七 由三視圖判斷正方體個(gè)數(shù)最少或最多問題
【例7】．由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少和最多分別是（ ）
A．5，10B．6，10C．6，9D．5，9
【答案】A
【分析】由主視圖和左視圖確定俯視圖的形狀，再判斷最少和最多的正方體的個(gè)數(shù)．
【解析】解：由題中所給出的主視圖知物體共2列，且都是最高兩層；由左視圖知共3行，且正方體在搭建過程中在底層必須能棱與棱一起，
∴小正方體的個(gè)數(shù)最少的幾何體為：第一列2個(gè)小正方體，第二列3個(gè)小正方體，其余位置沒有小正方體，
即組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為：（個(gè)）；
小正方體的個(gè)數(shù)最多的幾何體為：第一列5個(gè)小正方體，第二列5個(gè)小正方體，其余位置沒有小正方體，
即組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為：（個(gè)）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)三視圖的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．
鞏固訓(xùn)練：
1．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．7個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．10個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)幾何體主視圖，在俯視圖上表上數(shù)字，即可得出搭成該幾何體的小正方體最多的個(gè)數(shù)．
【解析】解：根據(jù)題意得：
則搭成該幾何體的小正方體最多是1＋1＋1＋2＋2＝7（個(gè)）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體，在俯視圖上表示出正確的數(shù)字是解本題的關(guān)鍵．
2．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體從正面看和從上面看如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體最多是 個(gè)．
【答案】7
【分析】從俯視圖得到這個(gè)幾何體第一層有5個(gè)，從主視圖得到這個(gè)幾何體第2層的最多個(gè)數(shù)，得出結(jié)果．
【解析】從俯視圖得到這個(gè)幾何體第一層一共有5個(gè)，從主視圖得到這個(gè)幾何體有2層，第二層最多有2個(gè)，故最多一共有7個(gè)，
答案為7．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖抽象出幾何體，注意三視圖的作用：俯視圖打地基，主視圖定高度，左視圖拆違章．
題型八 投影與視圖綜合解答題
【例8】．下列物體是由六個(gè)小正方體搭成的，分別畫出從正面、左面、上面看到的立體圖形的形狀．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)主視圖，左視圖，俯視圖定義，首先運(yùn)用形體分析法把組合體分解為若干個(gè)形體，確定它們的組合形式，判斷形體間鄰接表面是否處于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐個(gè)畫出形體的三視圖．
【解析】 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的作圖，三視圖是主視圖、俯視圖、左視圖的統(tǒng)稱，從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖．
鞏固訓(xùn)練：
1．由小立方體堆成的某幾何體的俯視圖如圖所示，其中正方形內(nèi)的數(shù)字表示該位置小方塊的個(gè)數(shù)，請(qǐng)你畫出該幾何體的主視圖和左視圖．
【答案】見解析
【分析】由已知條件可知，主視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為4，3，1，左視圖有2列，每列小正方形數(shù)目分別為3，4，據(jù)此可畫出圖形．
【解析】解：如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的三視圖畫法．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．
2．陽(yáng)光明媚的天，實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上．此時(shí)他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)G處，測(cè)得米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)D、B、F、G在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．

【答案】
【分析】根據(jù)同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，證明，列式求解即可．
【解析】解：由題意，得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．
3．某工廠要加工一批上下底密封紙盒，設(shè)計(jì)者給出了密封紙盒的三視圖，如圖1．

(1)由三視圖可知，密封紙盒的形狀是______________；
(2)根據(jù)該幾何體的三視圖，在圖2中補(bǔ)全它的表面展開圖；
(3)請(qǐng)你根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算這個(gè)密封紙盒的側(cè)面積．
【答案】(1)正六棱柱
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)該幾何體的三視圖知道其是一個(gè)正六棱柱；
（2）根據(jù)正六棱柱的特征在圖2中補(bǔ)全它的表面展開圖；
（3）根據(jù)其側(cè)面積是六長(zhǎng)方形的面積，從而得出答案．
【解析】（1）解：由三視圖可知，密封紙盒的形狀是正六棱柱，
故答案為：正六棱柱；
（2）解：六棱柱的表面展開圖如圖所示．（答案不唯一）

（3）解：由圖中數(shù)據(jù)可知，六棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，
所以六棱柱的側(cè)面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體及求立體圖形側(cè)面積的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的判定幾何體．
4．甲、乙兩棟樓的位置如圖所示，甲樓高16米．當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．

(1)如圖1，當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，甲樓的影子剛好不落到乙樓上，則兩樓間距的長(zhǎng)為_________米．
(2)當(dāng)?shù)叵挛?4時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．如圖2，甲樓的影子有一部分落在乙樓上，求落在乙樓上的影子的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）根據(jù)物高與影長(zhǎng)的比是列出比例式解答即可；
（2）作于點(diǎn)F，則，根據(jù)即可求解．
【解析】（1）解：由題意得：，即，
解得，
故答案為：；
（2）解：如圖，作于點(diǎn)F，

在中，，，
物高與影長(zhǎng)的比是，
，
，
，
即落在乙樓上的影子的長(zhǎng)為米．
【點(diǎn)睛】本題考查平行投影，根據(jù)物高與影長(zhǎng)的比得出相關(guān)比例式是解題的關(guān)鍵．
5．通常，路燈、臺(tái)燈、手電筒……的光可以看成是從一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的，在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影．
(1)【畫圖操作】如圖①，三根底部在同一直線上的旗桿直立在地面上，第一根、第二根旗桿在同一燈光下的影長(zhǎng)如圖所示．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出光源的位置及第三根旗桿在該燈光下的影長(zhǎng)（不寫畫法）；

(2)【數(shù)學(xué)思考】如圖②，夜晚，小明從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B，他的影長(zhǎng)y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖像大致為________；
A． B．
C． D．
(3)【解決問題】如圖③，河對(duì)岸有一燈桿，在燈光下，小明在點(diǎn)D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)，沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)F處測(cè)得自己的影長(zhǎng)．已知小明的身高為，求燈桿的高度．

【答案】(1)見解析
(2)D
(3)
【分析】[畫圖操作]根據(jù)中心投影，直接畫圖即可；
[數(shù)學(xué)思考]等高的物體垂直地面時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng)；
[解決問題]根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【解析】（1）解：[畫圖操作]光源的位置及第三根旗桿在該燈光下的影長(zhǎng)如圖①所示；

（2）[數(shù)學(xué)思考]如圖②所示，等高的物體垂直地面時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng)，所以小明的影長(zhǎng)從到的變化是先越來越短再越來越長(zhǎng)；
故答案為：D；
（3）[解決問題]，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
燈桿的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影，相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用等，把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出結(jié)果．
6．（1）一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體搭成，如圖是從上面看這個(gè)幾何體的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．
（2）用小立方塊搭一幾何體，使它從正面看，從左面看，從上面看得到的圖形如圖所示．請(qǐng)?jiān)趶纳厦婵吹降膱D形的小正方形中填人相應(yīng)的數(shù)字，使得小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個(gè)數(shù)．其中，圖1填人的數(shù)字表示最多組成該幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)，圖2填入的數(shù)字表示最少組成該幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)俯視圖中小正方體的個(gè)數(shù)結(jié)合主視圖，主視圖是從前面向后看得到的圖形，從正面看分左中右三列，左邊列有2個(gè)正方形，中間列有3個(gè)正方形，右邊列有4個(gè)正方形畫出圖形，根據(jù)俯視圖中小正方體的個(gè)數(shù)結(jié)合左視圖，左視圖是從左邊向右看得到的圖形，從左邊看分左中右三列，左邊列1個(gè)正方形，中間列4個(gè)正方形，右邊列2個(gè)正方形畫出圖形即可；
（2）根據(jù)俯視圖的圖形兩行三列，中間列一行，從正面看分左中右三例，左邊列3個(gè)正方形，中間列1個(gè)正方形，右邊列2個(gè)正方形，從左面看，分兩行，前行后行，前行2個(gè)正方形，后行3個(gè)正方形，左列前行可以是1個(gè)正方體或2個(gè)正方體，左列后行3個(gè)正方體，中間列只有前行1個(gè)正方體，右邊列前行2個(gè)正方體，右邊列后行可以1個(gè)或2個(gè)正方體，最多10個(gè)正方體如圖1，最少8個(gè)正方體如圖2在俯視圖中標(biāo)出個(gè)數(shù)即可．
【解析】解：（1）從正面看分左中右三列，左邊列有2個(gè)正方形，中間列有3個(gè)正方形，右邊列有4個(gè)正方形，如圖
從左邊看分左中右三列，左邊列1個(gè)正方形，中間列4個(gè)正方形，右邊列2個(gè)正方形，
如圖所示：
（2）從正面看分左中右三例，左邊列3個(gè)正方形，中間列1個(gè)正方形，右邊列2個(gè)正方形，
從左面看，分兩行，前行后行，前行2個(gè)正方形，后行3個(gè)正方形，
左列前行可以是1個(gè)正方體或兩個(gè)正方體，，左列后行3個(gè)正方體，中間列只有前行1個(gè)正方體，右邊列前行2個(gè)正方體，后列可以1個(gè)或2個(gè)正方體，最多10個(gè)正方體如圖1，最少8個(gè)正方體如圖2．
根據(jù)題意，填圖如下：
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)俯視圖畫主視圖與左視圖，根據(jù)主視圖與左視圖確定組成圖形的正方體的個(gè)數(shù)，從立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化三視圖，由平面圖形三視圖到立體圖形還原幾何體空間想象能力，本題難度較大，培養(yǎng)空間想象力，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
7．操作與研究：如圖，被平行于的光線照射，于D，在投影面上．
(1)指出圖中線段的投影是______，線段的投影是______．
(2)問題情景：如圖1，中，，，我們可以利用與相似證明，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，請(qǐng)證明這個(gè)定理．
(3)【結(jié)論運(yùn)用】如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為15，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在上，過點(diǎn)C作，垂足為F，連接，
①試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明；
②若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)，
(2)見解析；
(3)①見解析；②．
【分析】（1）根據(jù)題意，即可解答；
（2）通過證明得到，然后利用比例性質(zhì)即可得到；
（3）①根據(jù)射影定理得，，則，即，加上，于是可根據(jù)相似三角形的判定得到結(jié)論；
（2）②先計(jì)算出，，，再利用（1）中結(jié)論得到，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【解析】（1）解：根據(jù)題意，圖中線段的投影是，線段的投影是．
故答案為：，；
（2）證明：如圖，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（3）①證明：如圖，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
而，
∴；
②∵，
而，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．也考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．

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