02 知識(shí)速記
一、反比例函數(shù)的概念
一般地，形如 (為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).
要點(diǎn)：在中，自變量的取值范圍是， ()可以寫(xiě)成()的形式，也可以寫(xiě)成的形式.
二、反比例函數(shù)解析式的確定
反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.
三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1.反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．
要點(diǎn)：
觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．
①的圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為兩條直線；
②的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)（0，0）；
③(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱.
注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)
當(dāng)時(shí)，同號(hào)，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，異號(hào)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.
（2）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較
（4）反比例函數(shù)y＝中的意義
①過(guò)雙曲線(≠0) 上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
②過(guò)雙曲線(≠0) 上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.
四、應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題須注意以下幾點(diǎn)
1．反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.
2．列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.
03 題型歸納
題型一 反比例函數(shù)的概念及應(yīng)用
例題
1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
鞏固訓(xùn)練
2．下列問(wèn)題中的兩個(gè)變量是成反比例的是（ ）
A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商B．貨物的單價(jià)一定，貨物的總價(jià)與貨物的數(shù)量
C．等腰三角形的周長(zhǎng)一定，它的腰長(zhǎng)與底邊的長(zhǎng)D．汽車(chē)所行的速度一定，它所行駛的路程與時(shí)間
3．下列函數(shù)表達(dá)式中，表示是的反比例函數(shù)的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值為 ．
6．如果是反比例函數(shù)，那么的值是 ．
題型二 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)
例題
7．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像分別位于第一、三象限B．函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)
C．函數(shù)圖像過(guò)，則D．函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
鞏固訓(xùn)練
8．如圖是三個(gè)反比例函數(shù)，，在軸上方的圖象，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
9．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．函數(shù)圖像位于第一、三象限
C．函數(shù)值隨著的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，
10．若點(diǎn)，，是反比例函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
題型三 根據(jù)圖像或性質(zhì)求參數(shù)范圍
例題
11．反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，當(dāng)，則的取值范圍是 ．
鞏固訓(xùn)練
12．若反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則的取值范圍是 ．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，則的取值范圍是 ．
14．若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則的值（ ）
A．B．或C．或D．
題型四 參數(shù)范圍、圖像與性質(zhì)的相互判斷
例題
15．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓(xùn)練
16．一次函數(shù)y=kx?1與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
17．已知反比例函數(shù) ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像分布在第二、四象限B．隨的增大而減小
C．如果兩點(diǎn)，都在圖像上，則D．圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
18．在函數(shù)(m為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，則函數(shù)值的大小關(guān)系是( )．
A． B． C． D．
題型五 反比例函數(shù)與方程、不等式
例題
19．如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象交于、兩點(diǎn)．則關(guān)于的方程的解為 ．
鞏固訓(xùn)練
20．如圖，已知一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)．的圖象交于兩點(diǎn)．觀察圖象可知，不等式 的解集是 ．
21．已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
題型六 k的幾何意義
例題
22．如圖，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，，交軸、軸于點(diǎn)、，所得矩形的面積為8，則的值是（ ）

A．4B．C．8D．
鞏固訓(xùn)練
23．如圖，反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)P，軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y軸上，則的面積為（ ）
A．1B．2C．4D．8
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值為 ．

25．函數(shù)與的圖象如圖所示，點(diǎn)C是y軸上的任意一點(diǎn)．直線平行于y軸，分別與兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)A、B，連接．當(dāng)從左向右平移時(shí)，的面積是 ．

26．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)分別在x軸，y軸正半軸上．若四邊形為菱形，軸，，則k的值（ ）

A．3B．6C．12D．24
題型七 反比例函數(shù)的代數(shù)應(yīng)用
例題
27．已知點(diǎn)與點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
鞏固訓(xùn)練
28．已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
題型八 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
例題
29．驗(yàn)光師檢測(cè)發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調(diào)整到0.5米，則近視眼鏡的度數(shù)減少了（ ）度．
A．150B．200C．250D．300
鞏固訓(xùn)練
30．機(jī)器狗是一種模擬真實(shí)犬只形態(tài)和部分行為的機(jī)器裝置，其最快移動(dòng)速度是載重后總質(zhì)量的反比例函數(shù)．已知一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動(dòng)速度；當(dāng)其載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動(dòng)速度 ．
31．為檢測(cè)某品牌一次性注射器的質(zhì)量，將注射器里充滿一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，注射器里的氣體的壓強(qiáng)（）是氣體體積（）的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示．則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）

A．這一函數(shù)的表達(dá)式為
B．當(dāng)氣體體積為40時(shí)，氣體的壓強(qiáng)值為150
C．當(dāng)溫度不變時(shí)，注射器里氣體的壓強(qiáng)隨著氣體體積增大而減小
D．若注射器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)不能超過(guò)400，則其體積不能超過(guò)15
題型九 最值問(wèn)題、其他問(wèn)題
例題
32．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，則的值為 ．
鞏固訓(xùn)練
33．反比例函數(shù)，當(dāng)（b，a為常數(shù)，且）時(shí)，的最小值為m，的最大值為n，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
34．在同一坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則與的關(guān)系，下面四種表述：①；②；③；④或．正確的有( )
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
題型十 解答綜合題
例題
35．已知與成反比例，且當(dāng)時(shí)，，求：
(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)時(shí)，的值．
鞏固訓(xùn)練
36．如圖，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象分別交于B，C兩點(diǎn)．

(1)求a和b的值；
(2)求的長(zhǎng)度；
(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出時(shí)x的取值范圍（不需說(shuō)明理由）．
37．某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)與氣體的體積成反比例．當(dāng)氣體的體積時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)．
(1)當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是多少？
(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)大于時(shí)，氣球就會(huì)爆炸．問(wèn)：氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于多少氣球才不會(huì)爆炸？
38．如圖，已知，是反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集．
39．已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于兩點(diǎn)．
(1)①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
②求的面積．
(2)在x軸的負(fù)半軸上，是否存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
40．已知：如圖，直線與函數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，且與x，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)．
(1)若直線與直線平行，且面積為2，求m的值；
(2)若的面積是的面積的倍，過(guò)A作軸于E，過(guò)B作軸于F，與交于H點(diǎn)．
①求的值；
②求k與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
(3)若點(diǎn)P坐標(biāo)為2,0，在（2）的條件下，是否存在k，m，使得為直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

正比例函數(shù)
反比例函數(shù)
解析式
圖 像
直線
有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增減性
，隨的增大而增大
，隨的增大而減小
，在每個(gè)象限，隨的增大而減小
，在每個(gè)象限，隨的增大而增大

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1 反比例函數(shù)

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