專題4.4 相似三角形的判定與性質(zhì)（二）【九大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc25165" 【題型1 尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc25165 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc27128" 【題型2 三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc27128 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc23141" 【題型3 裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc23141 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc11649" 【題型4 折疊與相似三角形綜合運(yùn)用】  PAGEREF _Toc11649 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc22258" 【題型5 判斷與相似有關(guān)結(jié)論的正誤】  PAGEREF _Toc22258 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc637" 【題型6 用相似三角形的判定與性質(zhì)證明】  PAGEREF _Toc637 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc6069" 【題型7 用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段比值】  PAGEREF _Toc6069 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc8755" 【題型8 利用相似三角形的判定與性質(zhì)求最值】  PAGEREF _Toc8755 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc12087" 【題型9 利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】  PAGEREF _Toc12087 \h 12  【題型1 尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】 【例1】（2023春·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知菱形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)． (1)在BC的右側(cè)求作△AEF，使得EF∥BD，且EF=12BD；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡） (2)在（1）的條件下，若∠EAF=12∠ABC，求證：AE=2EF． 【變式1-1】（2023·陜西·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，請(qǐng)你利用尺規(guī)在BC邊上求一點(diǎn)P，使△PAB∽△ABC（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡） 【變式1-2】（2023·陜西西安·西安行知中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AM∥BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線AM上求作一點(diǎn)D，使得△DCA～△ABC．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法） ?? 【變式1-3】（2023春·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D，使△ACD∽△ABC，根據(jù)下列作圖痕跡判斷，正確的是（????） A．??B．????C．??D． 【題型2 三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】 【例2】（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)． (1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀； (2)在（1）問(wèn)的條件下，F(xiàn)E、PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積； (3)在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長(zhǎng)． 【變式2-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)，(點(diǎn)P與A，D不重合)，一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊與射線AB交于點(diǎn)E． (1)求證：△AEP∽△DPC； (2)當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求PE的長(zhǎng)； (3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式2-2】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．則DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變． ①如圖2，若PQ＝5，求AP長(zhǎng)． ②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長(zhǎng)為 ． 【變式2-3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一副三角板按如圖1放置，圖2為簡(jiǎn)圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM= ． 【題型3 裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】 【例3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期中）如圖1所示，一個(gè)木板余料由一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形組成，甲、乙兩人打算采用剪拼的辦法，把余料拼成一個(gè)與它等積的正方形木板． 甲：如圖2，沿虛線剪開(kāi)可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2． 乙：如圖3，沿虛線剪開(kāi)可以拼接成所需正方形，并求得AM＝32 下列說(shuō)法正確的是（　?。? A．甲的分割方式不正確 B．甲的分割方式正確，AM的值求解不正確 C．乙的分割方式與所求AM的值都正確 D．乙的分割方式正確，AM的值求解不正確 【變式3-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖為三角形紙片ABC，其中D點(diǎn)和E點(diǎn)將AB三等分，F(xiàn)點(diǎn)為DE中點(diǎn)．若小慕從AB上的一點(diǎn)P，沿著與直線BC平行的方向?qū)⒓埰糸_(kāi)后，剪下的小三角形紙片面積為△ABC的13，則下列關(guān)于P點(diǎn)位置的敘述正確的是（????） A．在FE上，但不與F點(diǎn)也不與E點(diǎn)重合 B．在DF上，但不與D點(diǎn)也不與F點(diǎn)重合 C．與E點(diǎn)重合 D．與D點(diǎn)重合 【變式3-2】（2023·福建泉州·中考真題）（1）如圖1是某個(gè)多面體的表面展開(kāi)圖． ①請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)多面體的名稱，并指出圖中哪三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn)； ②如果沿BC、GH將展開(kāi)圖剪成三塊，恰好拼成一個(gè)矩形，那么△BMC應(yīng)滿足什么條件？（不必說(shuō)理） （2）如果將一個(gè)三棱柱的表面展開(kāi)圖剪成四塊，恰好拼成一個(gè)三角形，如圖2，那么該三棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中所有接縫均忽略不計(jì)） 【變式3-3】（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）綜合與實(shí)踐 折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過(guò)折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)． 折一折：把邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD對(duì)折，使邊AB與CD重合，展開(kāi)后得到折痕EF.如圖①；點(diǎn)M為CF上一點(diǎn)，將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處，展開(kāi)后連接DN，MN，AN，如圖②． (1)圖②中，∠CMD=______；線段NF=______． (2)圖②中，試判斷△AND的形狀，并給出證明． 剪一剪、折一折：將圖②中的△AND剪下來(lái)，將其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，分別得到圖③、圖④． (3)圖③中，陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)_____． (4)圖③中，若∠A'GN=80°，則∠A'HD=______°. (5)圖③中，相似三角形(包括全等三角形)共有______對(duì)． (6)如圖④，點(diǎn)A'落在邊ND上，若A'N=2A'D，則AGAH=______． 【題型4 折疊與相似三角形綜合運(yùn)用】 【例4】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，C′E與AD交于F，點(diǎn)N為DE中點(diǎn)，射線AN交CD邊于點(diǎn)G，連接AE，若∠FAE=∠FEC，AB=15，BC=6，則DG長(zhǎng)為_(kāi)_____ 【變式4-1】2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊AB上，AE=2，連接DE，將△ADE沿著DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，連接EP、DP，分別交邊BC于點(diǎn)F、G，如果BF=14BC，那么CG的長(zhǎng)是 ． ?? 【變式4-2】（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG． （1）求證：四邊形EFDG是菱形； （2）求證EG2＝12GF?AF； （3）若AG＝3，EG＝5，求BE的長(zhǎng)． 【變式4-3】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB上點(diǎn)D′處，折痕為AE；再次折疊，使點(diǎn)C落在ED′上點(diǎn)C′處，連接FC′并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)G．若AB=8，AD=5，則FG長(zhǎng)為（????） A．52 B．29 C．203 D．4 【題型5 判斷與相似有關(guān)結(jié)論的正誤】 【例5】（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為4的正方形．ABCD．中，對(duì)角線，BD交于點(diǎn)O，E在線段OD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，連接CF交BD于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①EF=EC；②CF2=CG?CA；③BE?DH=16；④若BF=1，則DE=322，正確的是（???） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【變式5-1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點(diǎn)C與AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q重合．DE交BC于點(diǎn)F，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．DQ交BC于點(diǎn)P，DM⊥AB于點(diǎn)M，AM=4，則下列結(jié)論，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正確的是（????） ?? A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【變式5-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，沿△ABC的邊AC翻折得△ADC，連接BD交AC于點(diǎn)O，點(diǎn)M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，射線AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交BC于點(diǎn)N，連接MN、OM．以下四個(gè)結(jié)論：①△AMN是等邊三角形：②MN的最小值是3；③當(dāng)MN最小時(shí)S△CMN=18S菱形ABCD；④當(dāng)OM⊥BC時(shí)，OA2=DN?AB．正確的是（????） ?? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【變式5-3】（2023春·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∠FOG=120°，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交線段AB，BC于D，E兩點(diǎn)，連接DE．有下列四個(gè)結(jié)論：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四邊形ODBE的面積始終等于433；④△BDE周長(zhǎng)的最小值為6，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【題型6 用相似三角形的判定與性質(zhì)證明】 【例6】（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上的點(diǎn)，連接EF，EF⊥FG且EF=FG． ? (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：DG=BE； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2=MN?MD． 【變式6-1】（2023春·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在CB、AC的延長(zhǎng)線上，∠ADE=60°． ?? (1)求證：AD2=AE?AC； (2)求證：△ABD∽△DCE． 【變式6-2】（2023春·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，點(diǎn)E是DC邊上的任一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)D，C），過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)DE=a． ?? (1)求BF的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）； (2)連接EF交AB于點(diǎn)G，連接GC，當(dāng)GC∥AE時(shí)，求證：EA=EC． 【變式6-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=14AB，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：BC＝2CD． 【題型7 用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段比值】 【例7】（2023·廣東佛山·佛山市華英學(xué)校?？家荒＃┌褍蓚€(gè)含30°角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F．若CD＝2，則AFAC= ． 【變式7-1】（2023春·安徽宿州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，則AGGF的值是 ． ?? 【變式7-2】（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)在BC邊上，且EF=EC，垂足為點(diǎn)H，連接FG． ?? (1)若∠GCB=20°，求∠BEC的度數(shù)； (2)求證：BG=2DE； (3)若F為BC的中點(diǎn)，求GHHF的值． 【變式7-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）【問(wèn)題探究】 課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，同學(xué)們正在解決如下問(wèn)題： 如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊DC，BC上的點(diǎn)，連接AE，DF，且AE⊥DF于點(diǎn)G，若AB=6，BC=8，求DFAE的值． ?? (1)請(qǐng)你幫助同學(xué)們解決上述問(wèn)題，并說(shuō)明理由． 【初步運(yùn)用】 (2)如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，ABAC=34，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連接BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，求AFBD的值． 【靈活運(yùn)用】 (3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且DE⊥CF，垂足為G，則CFDE=__________________． 【題型8 利用相似三角形的判定與性質(zhì)求最值】 【例8】（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=1，AC=22 點(diǎn)D，E分別是邊BC,AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DA+DE的最小值為（　?。? A．89 B．169 C．29 D．1629 【變式8-1】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是OD、OC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=4，P是EF的中點(diǎn)，連接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，則PC+14PD的最小值為 ． ?? 【變式8-2】（2023·廣東廣州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)沿FC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PQ，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥PQ于點(diǎn)H，連接DH．若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過(guò)程中，線段DH長(zhǎng)度的最小值為 ． ?? 【變式8-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是AB上一點(diǎn)，BE=2．F是BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF，H是CF上一點(diǎn)且HFCF=k（k為常數(shù)，k≠0），分別過(guò)點(diǎn)F，H作EF，BC的垂線，交點(diǎn)為G．設(shè)BF的長(zhǎng)為x，GH的長(zhǎng)為y． ?? (1)若x=4，y=6，則k的值是 (2)若k=1時(shí)，求y的最大值． (3)在點(diǎn)F從點(diǎn)B到點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若線段AD上存在唯一的一點(diǎn)G，求此時(shí)k的值． 【題型9 利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 【例9】（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=23，∠CAB=60°，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為斜邊作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且點(diǎn)F和點(diǎn)A位于DE的兩側(cè)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是 ． ?? 【變式9-1】（2023春·山東青島·九年級(jí)校考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8，AD=10，AB和CD之間的距離是8，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q在線段BC上從點(diǎn)B出發(fā)沿BC的方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，交線段AD于點(diǎn)E，若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0

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