專題4.5 相似三角形的應(yīng)用【九大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc18312" 【題型1 杠桿問題】  PAGEREF _Toc18312 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc4501" 【題型2 建筑物問題】  PAGEREF _Toc4501 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc20285" 【題型3 樹高問題】  PAGEREF _Toc20285 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc14088" 【題型4 河寬問題】  PAGEREF _Toc14088 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc209" 【題型5 影長問題】  PAGEREF _Toc209 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc13738" 【題型6 實(shí)驗(yàn)問題】  PAGEREF _Toc13738 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc24437" 【題型7 九章算術(shù)】  PAGEREF _Toc24437 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc19518" 【題型8 實(shí)際生活抽象出相似】  PAGEREF _Toc19518 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc15828" 【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】  PAGEREF _Toc15828 \h 13  【題型1 杠桿問題】 【例1】（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓 cm． ?? 【變式1-1】（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓 cm． 【變式1-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí)，拉力為F1，過點(diǎn)B1作B1C⊥OA，過點(diǎn)A1作A1D⊥OA，垂足分別為點(diǎn)C、D．①△OB1C∽△OA1D； ②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1． 其中正確的說法有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，G是BC的中點(diǎn)，E是AG的中點(diǎn)，CE的延長線交AB于D，求AD：BD （1）解：過G作GF∥AB，交CD于F． 請(qǐng)繼續(xù)完成解答過程： （2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理” 解答本題：（如圖2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為2kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg； 再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=1kg：2kg=1：2應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，G是BC上一點(diǎn)，E是AG上一點(diǎn)，CE的延長線交AB于D，且=，=2，求AD：BD 解：設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，則C端所掛物體質(zhì)量為 kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為 kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為 kg；再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD= ． 【題型2 建筑物問題】 【例2】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，建筑物BC上有一個(gè)旗桿AB，小芳計(jì)劃用學(xué)過的知識(shí)測(cè)量該建筑物的高度，測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB=3米，F(xiàn)D=4米，DE=5米，EG=1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高BC． 【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）小軍想出了一個(gè)測(cè)量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度． 【變式2-3】（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方． ①計(jì)算小亮在路燈D下的影長； ②計(jì)算建筑物AD的高． 【題型3 樹高問題】 【例3】（2023春·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測(cè)量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，他在點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在點(diǎn)C′處，他在點(diǎn)F′處正好在鏡中看到樹尖A的像．已知AB⊥BF′，EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=E′F′=1.7m），量得CC′=12m，CF=1.8m，C′F′=4.2m．求這棵古松樹的高度AB．（鏡子大小忽略不計(jì)） ?? 【變式3-1】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問島高幾何？ 譯文：今要測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，在B處和D處樹立標(biāo)桿BC和DE，標(biāo)桿的高都是3丈，B和D兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AH，CB和DE在同一平面內(nèi)．從標(biāo)桿BC后退123步的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在同一直線上；從標(biāo)桿ED后退127步的G處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在同一直線上．則山峰AH的高度是 ． 【變式3-2】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹，在某時(shí)刻，1.2m長的竹竿垂直地面，影長為2m，此時(shí)，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為2m，則這棵樹高約有多少米(?????) ?? A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米 【題型4 河寬問題】 【例4】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點(diǎn)P處，正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是 米． 【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？计谀┤鐖D，小斌想用學(xué)過的知識(shí)測(cè)算河的寬度EF．在河對(duì)岸有一棵高4米的樹GF，樹GF在河里的倒影為HF，GF=HF，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當(dāng)恰好站在點(diǎn)B處時(shí)看到岸邊點(diǎn)C和倒影頂點(diǎn)H在一條直線上，點(diǎn)C到水面EF的距離CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，視線AH與水面EF的交點(diǎn)為D，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量方法及數(shù)據(jù)求河的寬度EF． 【變式4-2】（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識(shí)后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過所學(xué)計(jì)算橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC=120米，DE=200米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長度． 【變式4-3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點(diǎn)2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對(duì)岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？ 【題型5 影長問題】 【例5】（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在陽光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長為0.2米，一級(jí)臺(tái)階高為0.3米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（　?。? A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【變式5-1】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谥校榱藴y(cè)量學(xué)校旗桿的高度AB，數(shù)學(xué)興趣小組帶著標(biāo)桿和皮尺來到操場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，測(cè) 量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)C沿BC后退，當(dāng)退行1.8米到D處時(shí)，恰好在鏡子中看到旗桿頂點(diǎn)A的像，此時(shí)測(cè)得小紅眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小明在F??處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿FG，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)H、標(biāo)桿頂點(diǎn)G和旗桿頂點(diǎn)A在一條直線上，此時(shí)測(cè)得FH為2.4米，DF為3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，點(diǎn)B、C、D、F、H在一條直線上． （1）直接寫出ABBC= ； （2）請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算學(xué)校旗桿AB的高度． 【變式5-2】（2023春·安徽亳州·九年級(jí)蒙城縣第六中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m． ①計(jì)算小亮在路燈D下的影長； ②計(jì)算建筑物AD的高． 【變式5-3】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀以下文字并解答問題：在“測(cè)量物體的高度”活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組的3名同學(xué)選擇了測(cè)量學(xué)校里的三棵樹的高度，在同一時(shí)刻的陽光下，他們分別做了以下工作： 小芳：測(cè)得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如1圖）． 小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如2圖），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米． 小明：測(cè)得丙樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如3圖）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測(cè)得他的影長為2米． （1）在橫線上直接填寫甲樹的高度為______米，乙樹的高度為________米﹔ （2）請(qǐng)求出丙樹的高度． 【題型6 實(shí)驗(yàn)問題】 【例6】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實(shí)驗(yàn)．他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個(gè)小孔，小孔對(duì)面的墻上就會(huì)出現(xiàn)外面景物的倒像．小宇在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來觀察小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點(diǎn)燃的蠟燭距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm處，小宇測(cè)得蠟燭的火焰高度為4cm，則光屏上火焰所成像的高度為（????） ?? A．8cm B．6cm C．5cm D．4cm 【變式6-1】（2023春·陜西西安·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．求燈泡到地面的高度AG． ???? 【變式6-2】（2023·陜西西安·?？家荒＃緦W(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律． 【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，C，D在同一條直線上，求燈泡到地面的高度AG． 【變式6-3】（2023春·河北唐山·九年級(jí)?？计谀┠承＞拍昙?jí)一班的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課安排了測(cè)量操場(chǎng)上豎直的懸掛國旗的旗桿的高度．甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)的測(cè)量方案如圖所示：甲組測(cè)得圖中BO=60米，OD=3.4米，CD=1.7米；乙組測(cè)得圖中，CD=1.5米，同一時(shí)刻影長FD=0.9米，EB=18米；丙組測(cè)得圖中，CD∥EF∥AB，l∥AD，AD=90米，EF=0.2米，人的臂長l為0.6米，請(qǐng)你任選兩種方案，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出該校旗桿的高度． 【題型7 九章算術(shù)】 【例7】（2023·河北·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是： 如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點(diǎn)，南門B位于EH的中點(diǎn)．從北門出去正北方向20步遠(yuǎn)的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（?????） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 【變式7-1】（2023春·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（????）米． A．5 B．4 C．3 D．2 【變式7-2】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：如圖，今有山AB位于樹的西面，山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，則山AB的高為（保留到整數(shù)，1丈=10尺）（????） A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 【變式7-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)距的方法．如圖，有座塔在河流北岸的點(diǎn)E處，一棵樹位于河流南岸的點(diǎn)A處，從點(diǎn)A處開始，在河流南岸立4根標(biāo)桿，以這4根標(biāo)桿為頂點(diǎn)，組成邊長為10米的正方形ABCD，且A，D，E三點(diǎn)在一條直線上，在標(biāo)桿B處觀察塔E，視線BE與邊DC相交于點(diǎn)F，如果測(cè)得FC=4米，那么塔與樹的距離AE為 米． 【題型8 實(shí)際生活抽象出相似】 【例8】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是一種手機(jī)托架，使用該手機(jī)托架示意圖如圖3所示，底部放置手機(jī)處寬AB?1.2厘米，托架斜面長BD?6厘米，它有C到F共4個(gè)檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個(gè)檔位間的距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米．將某型號(hào)手機(jī)置于托架上（圖2)，手機(jī)屏幕長AG是15厘米，O是支點(diǎn)且OB?OE?2.5厘米（支架的厚度忽略不計(jì)）．當(dāng)支架調(diào)到E檔時(shí)，點(diǎn)G離水平面的距離GH為 cm． 【變式8-1】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（　?。? A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm 【變式8-2】（2023春·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一個(gè)家用折疊梯子，使用時(shí)四個(gè)踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板寬BF=20cm，BC=CD=DE=EL=25cm，將踏板往上收起時(shí)（如圖2），點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，踏板可以看作與支架AL重合，將梯子垂直擺放時(shí)，點(diǎn)A離地面的高度AL為 cm．圖3是圖1的簡略視圖，若點(diǎn)H恰好在點(diǎn)A的正下方，此時(shí)點(diǎn)A到地面LM的高度是 ． 【變式8-3】（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時(shí)，測(cè)得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時(shí)將詞典無滑動(dòng)向右倒，書角H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰為CD中點(diǎn)． （1）收納盒的長BC= ； （2）現(xiàn)將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有 本書可與邊BC有公共點(diǎn)． 【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】 【例9】（2023春·河南平頂山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面BE的距離為1.6米，車頭FACD近似看成一個(gè)矩形，且滿足3FD=2FA，若盲區(qū)EB的長度是6米，求車寬FA的長度． 【變式9-1】（2023春·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，課本中有一道例題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．設(shè)PN=xmm，用x的代數(shù)式表示AE= mm，由PN//BC，可得△APN∽△ABC，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，可求得PN= mm． 拓展：原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖2，此時(shí)，PN= mm． 【變式9-2】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長分別為5cm和2cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長方形零件最多有 ． 【變式9-3】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀理解： 如圖1，AD是△ABC的高，點(diǎn)E、F分別在AB和AC邊上，且EF//BC，可以得到以下結(jié)論：AHAD=EFBC． 拓展應(yīng)用： (1)如圖2，在△ABC中，BC＝3，BC邊上的高為4，在△ABC內(nèi)放一個(gè)正方形EFGM，使其一邊GM在BC上，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，則正方形EFGM的邊長是多少？ (2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個(gè)腰長為100cm，底邊長為160cm的等腰三角形展臺(tái)．現(xiàn)需將展臺(tái)用隔板沿平行于底邊，每間隔10cm分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個(gè)無蓋正方體格子，要求每個(gè)正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設(shè)計(jì)圖如圖3所示，將底邊BC的長度看作是0排隔板的長度． ①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方體間的隔板厚度忽略不計(jì)時(shí)，每排的隔板長度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單位：排）的變化而變化．請(qǐng)完成下表： 若用n表示排數(shù)，y表示每排的隔板長度，試求出y與n的關(guān)系式； ②在①的條件下，請(qǐng)直接寫出該展臺(tái)最多可以擺放多少瓶葡萄酒？ 專題4.5 相似三角形的應(yīng)用【九大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc18312" 【題型1 杠桿問題】  PAGEREF _Toc18312 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc4501" 【題型2 建筑物問題】  PAGEREF _Toc4501 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc20285" 【題型3 樹高問題】  PAGEREF _Toc20285 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc14088" 【題型4 河寬問題】  PAGEREF _Toc14088 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc209" 【題型5 影長問題】  PAGEREF _Toc209 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc13738" 【題型6 實(shí)驗(yàn)問題】  PAGEREF _Toc13738 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc24437" 【題型7 九章算術(shù)】  PAGEREF _Toc24437 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc19518" 【題型8 實(shí)際生活抽象出相似】  PAGEREF _Toc19518 \h 32  HYPERLINK \l "_Toc15828" 【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】  PAGEREF _Toc15828 \h 39  【題型1 杠桿問題】 【例1】（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓 cm． ?? 【答案】27 【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)C向下壓的長度． 【詳解】解：由題意得，AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ACBD=AOBO， ∵AO=3OB， ∴ACBD=AOBO=3， ∴AC=3BD=27cm， ∴至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓27cm， 故答案為：27． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確地構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵． 【變式1-1】（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓 cm． 【答案】45 【分析】如圖：AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN，即△ACM∽△BCN，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可． 【詳解】解：如圖，AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN， ∵AM∥BN， ∴△ACM∽△BCN， ∴ACBC=AMBN， ∵AB:BC=10:1， ∴ACBC=AMBN=9，即AM=9BN， ∴當(dāng)BN≥5cm時(shí)，AM≥45cm， 故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓45cm． 故答案為：45． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí)，拉力為F1，過點(diǎn)B1作B1C⊥OA，過點(diǎn)A1作A1D⊥OA，垂足分別為點(diǎn)C、D．①△OB1C∽△OA1D； ②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1． 其中正確的說法有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】D 【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判斷出①正確；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；根據(jù)杠桿平衡原理：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂列式判斷出③正確；求出F的大小不變，判斷出④正確． 【詳解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA， ∴B1C∥A1D， ∴△OB1C∽△OA1D，故①正確； ∵△OB1C∽△OA1D， ∴OCOD=OB1OA1， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OB1，OA=OA1， ∴OA?OC=OB?OD，故②正確； 由杠桿平衡原理，OC?G=OD?F1，故③正確； ∴F1G=OCOD=OB1OA1=OBOA是定值， ∴F1的大小不變， ∴F=F1，故④正確． 綜上所述，說法正確的是①②③④． 故選D． 【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，G是BC的中點(diǎn)，E是AG的中點(diǎn)，CE的延長線交AB于D，求AD：BD （1）解：過G作GF∥AB，交CD于F． 請(qǐng)繼續(xù)完成解答過程： （2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理” 解答本題：（如圖2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為2kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg； 再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=1kg：2kg=1：2應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，G是BC上一點(diǎn)，E是AG上一點(diǎn)，CE的延長線交AB于D，且=，=2，求AD：BD 解：設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，則C端所掛物體質(zhì)量為 kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為 kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為 kg；再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD= ． 【答案】（1）AD：BD=1：2；（2）4，10，5，6：5． 【詳解】試題分析：（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F，得到△EFG∽△ADE，根據(jù)相似三角形的想知道的，求得GF=AD，根據(jù)△CGF∽△CBD，得到，即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)題目中提供的解題思路和方法，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案． 解：（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F， ∴△EFG∽△ADE， ∴， ∵E是AG的中點(diǎn)， ∴=1， ∴GF=AD， ∵GF∥BD， ∴△CGF∽△CBD， ∴， ∵G是BC的中點(diǎn)， ∴， ∴AD：BD=1：2； （2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg， ∵=， ∴C端所掛物體質(zhì)量：B端所掛物體質(zhì)量==， ∴C端所掛物體質(zhì)量=4kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量=C端所掛物體質(zhì)量+B端所掛物體質(zhì)量=10kg； 當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)， ∵=2， ∴A端所掛物體質(zhì)量：G點(diǎn)承受質(zhì)量=1：2， ∴A端所掛物體質(zhì)量=5kg； 以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=B端所掛物體質(zhì)量：A端所掛物體質(zhì)量=6：5． 故答案為4，10，5，6：5． 考點(diǎn)：相似形綜合題． 【題型2 建筑物問題】 【例2】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，建筑物BC上有一個(gè)旗桿AB，小芳計(jì)劃用學(xué)過的知識(shí)測(cè)量該建筑物的高度，測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB=3米，F(xiàn)D=4米，DE=5米，EG=1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高BC． 【答案】這座建筑物的高BC為14米． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出CD，進(jìn)而解答即可． 【詳解】解：由題意可得，∠ACE=∠FDE=90°，∠AEC=∠FED， ∴△ACE∽△FDE， ∴ACFD=CEDE，即 3+BC4=CD+55， ∴CD=5BC?54， 由題意可得，∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD， ∴△BCG∽△FDG， ∴BCFD=CGDG，即 BC4=CD+5+1.55+1.5， ∴6.5BC=4（CD+6.5）， ∴6.5BC=4×5BC?54+26， ∴BC=14， ∴這座建筑物的高BC為14米． 【點(diǎn)睛】此題考查似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答． 【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）小軍想出了一個(gè)測(cè)量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度． 【答案】33米 【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出ABED=BCDC，進(jìn)而得出AB的長． 【詳解】解：由題意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ∴ABED=BCDC， ∵小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m， ∴AB1.65=603， 解得：AB＝33， 答：這座建筑物的高度為33m． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．結(jié)合平面鏡成像的特點(diǎn)證明兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023春·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明想測(cè)量河對(duì)岸建筑物AB的高度，在地面上C處放置了一塊平面鏡，然后從C點(diǎn)向后退了2.4米至D處，小明的眼睛E恰好看到了鏡中建筑物A的像，在D處做好標(biāo)記，將平面鏡移至D處，小明再次從D點(diǎn)后退2.52米至F處，眼睛G恰好又看到了建筑物頂端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均為1.6米，求建筑物AB的高度．（注：圖中的左側(cè)α，β為入射角，右側(cè)的α，β為反射角） 【答案】32米 【分析】易得△ABC∽△EDC以及△ABD∽△GFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于x和y的方程組，求解即可． 【詳解】解：設(shè)AB為xm，BC為ym， 根據(jù)題意知，△ABC∽△EDC，有xy=1.62.4①． △ABD∽△GFD，有xy+2.4=1.62.52②． 聯(lián)立①②，得x＝32． 答：建筑物AB的高度為32m． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方． ①計(jì)算小亮在路燈D下的影長； ②計(jì)算建筑物AD的高． 【答案】①1.5米????②12米 【分析】①根據(jù)EP⊥AB,CB⊥AB,找到∠EPA=∠CBA=90°，求證出△EAP∽△CAB根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例代入數(shù)據(jù)即可 ②根據(jù)FQ⊥AB,AD⊥AB,找到∠BFQ=∠BDA求證出△BFQ～△BDA,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可 【詳解】①∵EP⊥AB,CB⊥AB, ∴∠EPA=∠CBA=90° , ∵∠EAP=∠CAB, ∴△EAP∽△CAB ∴EPBC=APAB ， ∴1.89=2AB ， ∴AB=10, ∴BQ = 10- 2- 6.5= 1.5， 即小亮在路燈D下的影長是1.5米． ②∵FQ⊥AB,AD⊥AB, ∴FQ∥AB, ∴∠BFQ=∠BDA , ∵∠BQF=∠BAD, ∴△BFQ∽△BDA ∴BQBA=FQDA ， ∴1.510=1.8DA ， 解得DA=12， ∴建筑物的高為12米． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解。 【題型3 樹高問題】 【例3】（2023春·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測(cè)量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，他在點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在點(diǎn)C′處，他在點(diǎn)F′處正好在鏡中看到樹尖A的像．已知AB⊥BF′，EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=E′F′=1.7m），量得CC′=12m，CF=1.8m，C′F′=4.2m．求這棵古松樹的高度AB．（鏡子大小忽略不計(jì)） ?? 【答案】8.5米 【分析】先證明△ABC∽△EFC，得出EFAB=CFBC，再證明△ABC∽△E′F′C′，得出E′F′AB=C′F′BC′，由EF=E′F′，得出CFBC=C′F′BC′，繼而求出BC的長度，代入EFAB=CFBC即可求出AB的長度，即可得出答案． 【詳解】解：∵∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF， ∴△ABC∽△EFC， ∴ EFAB=CFBC， ∵∠ABC′=∠E′F′C′=90°，∠AC′B=∠E′C′F′， ∴△ABC∽△E′F′C′， ∴ E′F′AB=C′F′BC′， ∵EF=E′F′=1.7m， ∴ CFBC=C′F′BC′， ∵CC′=12m，CF=1.8m，C′F′=4。2m， ∴ 1.8BC=4.2BC+12， 解得：BC=9， ∴ 1.7AB=1.89， 解得：AB=8.5， 答：這棵古松樹的高度為8.5m． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問島高幾何？ 譯文：今要測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，在B處和D處樹立標(biāo)桿BC和DE，標(biāo)桿的高都是3丈，B和D兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AH，CB和DE在同一平面內(nèi)．從標(biāo)桿BC后退123步的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在同一直線上；從標(biāo)桿ED后退127步的G處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在同一直線上．則山峰AH的高度是 ． 【答案】1255步 【詳解】試題解析：∵AH∥BC， ∴△BCF∽△HAF， ∴BFHF＝BCAH， 又∵DE∥AH， ∴△DEG∽△HAG， ∴DGHG＝DEAH， 又∵BC=DE， ∴BFHF＝DGHG， 即123123+HB＝127127+1000+HB， ∴BH=30750（步）， 又∵BFHF＝BCAH， ∴AH=5×30750+123123=1255（步）． 【變式3-2】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹，在某時(shí)刻，1.2m長的竹竿垂直地面，影長為2m，此時(shí)，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為2m，則這棵樹高約有多少米(?????) ?? A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米 【答案】C 【分析】因?yàn)樵谕粫r(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長的比值相同，利用竹竿這個(gè)參照物就可以求出圖中的BE．BC是BE的影子，然后加上CD加上樹高即可． 【詳解】解：過點(diǎn)C作CE∥AD交AB于點(diǎn)E， ?? 則CD=AE=2m，△BCE∽△B′BA′， ∴A′B′：B′B=BE：BC， 即1.2：2=BE：4， ∴BE=2.4， ∴AB=2.4+2=4.4． 答：這棵樹高約有4.4m． 故選：C． 【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，此題主要是要知道在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長的比值相同這個(gè)結(jié)論，然后根據(jù)題目條件就可以求出樹高． 【變式3-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別為AB=8m，CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，王紅估計(jì)自己眼睛距地面1.6m．她沿著連接這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，在前進(jìn)的過程中，她發(fā)現(xiàn)看不到右邊較高的樹的頂端C．此時(shí)，她與左邊較低的樹AB的水平距離（????） ?? A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m 【答案】A 【分析】連接CA并延長交FG于點(diǎn)N，過N作NM⊥l于點(diǎn)M，設(shè)NH=xm，證明△NHA∽△NKC，由相似三角形的性質(zhì)即可求得x的值，從而確定答案． 【詳解】解：如圖，連接CA并延長交FG于點(diǎn)N，過N作NM⊥l于點(diǎn)M， ∵FG∥l，EF，NM，HB，KD均垂直于直線l， ∴NM=HB=KD=FE=1.6m， ∴AH=AB?HB=6.4m，CK=CD?KD=10.4m； 由題意知，四邊形HBDK是矩形，則HK=BD=5m； 設(shè)NH=xm，則NK=NH+HK=(x+5)m， ∵AH∥CK， ∴△NHA∽△NKC， ∴AHCK=NHNK， 即6.410.4=xx+5， 解得：x=8； 當(dāng)王紅剛好看到右邊較高的樹的頂端C時(shí)，她與左邊較低的樹AB的水平距離為8m，當(dāng)她看不到較高的樹的頂端C時(shí)，則她與左邊較低的樹AB的水平距離應(yīng)小于8m； 故選：A． ?? 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，靈活利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【題型4 河寬問題】 【例4】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點(diǎn)P處，正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是 米． 【答案】36 【分析】根據(jù)題意，利用相似三角形的判定定理可得?ABP~?DCP，再由其性質(zhì)：相似三角形高的比等于相似比進(jìn)行求解即可得． 【詳解】解：如圖， ∵北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住， ∴AB=16m，DC=80m， ∵AB∥CD， ∴?ABP~?DCP， ABDC=PEPF， ∵AB=16m，P到AB的距離即PE=9m， ∴1680=99+EF， 解得：EF=36m， ∴河寬為36米， 故答案為：36． 【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？计谀┤鐖D，小斌想用學(xué)過的知識(shí)測(cè)算河的寬度EF．在河對(duì)岸有一棵高4米的樹GF，樹GF在河里的倒影為HF，GF=HF，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當(dāng)恰好站在點(diǎn)B處時(shí)看到岸邊點(diǎn)C和倒影頂點(diǎn)H在一條直線上，點(diǎn)C到水面EF的距離CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，視線AH與水面EF的交點(diǎn)為D，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量方法及數(shù)據(jù)求河的寬度EF． 【答案】7.2米 【分析】首先推知△ABC∽△CED，△CED∽△HFD，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得線段DF=6米，則EF=ED+DF=7.2米． 【詳解】解：∵BC∥EF，AB⊥BC，CE⊥EF， ∴∠ACB=∠CDE，∠ABC=∠CED=90°， ∴△ABC∽△CED， ∴ABCE=BCED，即1.60.8=2.4ED， ∴ED=1.2． ∵CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF， ∴∠CED=∠HFD=90°， ∵∠CDE=∠HDF， ∴△CED∽△HFD． ∴FHCE=DFED，即40.8=DF1.2， ∴DF=6， ∴EF=ED+DF=7.2米， ∴河的寬度EF為7.2米． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題． 【變式4-2】（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識(shí)后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過所學(xué)計(jì)算橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC=120米，DE=200米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長度． 【答案】橋AF的長度為90米 【分析】過E作EG⊥BC于G，可得△ABC∽△ADE，即可得出ACCE=32，再由△ACF∽△ECG，可得ACEC=AFEG，進(jìn)而得出AF的長． 【詳解】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G， ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴BCDE=ACAE=120200=35， ∴ACCE=32， ∵AF⊥BC，EG⊥BC． ∴AF∥EG， ∴△ACF∽△ECG， ∴ACEC=AFEG即AF60=32 解得AF=90， 答：橋AF的長度為90米． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似三角形的實(shí)際應(yīng)用．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 【變式4-3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點(diǎn)2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對(duì)岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？ 【答案】10米 【分析】延長AB交EP的反向延長線于點(diǎn)H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，即可解決問題， 【詳解】解：延長AB交EP的反向延長線于點(diǎn)H， 則四邊形BDEH是矩形， ∴BH=DE=1.25，BD∥EH， ∴AH=AB+BH=AB+DE=1+1.25=2.25， ∵BD∥OH， ∴△ABD∽△AHO， ∴BDHO=ABAH， ∴2OH=12.25， ∴HO=4.5， ∵PM=PN，MF=2.5米，F(xiàn)P=1.25米， ∴PN=MF+FP=3.75（米）， ∵AH⊥EP，PN⊥EP， ∴AH∥PN， ∴△AHO∽△NPO， ∴AHNP=HOPO， ∴2.253.75=4.5PO， ∴PO=7.5， ∴PE=PO+OE=7.5+4.5?2=10（米）， 答：河寬EP是10米． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造和證明三角形相似是解題的關(guān)鍵． 【題型5 影長問題】 【例5】（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在陽光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長為0.2米，一級(jí)臺(tái)階高為0.3米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（　?。? A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】B 【分析】作出圖形，先根據(jù)同時(shí)同地物高與影長成正比求出臺(tái)階的高落在地面上的影長EH，再求出落在臺(tái)階上的影長在地面上的長，從而求出大樹的影長假設(shè)都在地面上的長度，再利用同時(shí)同地物高與影長成正比列式計(jì)算即可． 【詳解】如圖，∵DEEH=10.6， ∴EH=0.3×0.6=0.18， ∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8． ∵ABAF=10.6， ∴AB=4.80.6=8(米)． 故選：B． 【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是畫出圖形，把大樹的影長分成三段求出假設(shè)都在地面上的長度． 【變式5-1】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)安慶市第四中學(xué)校考期中）為了測(cè)量學(xué)校旗桿的高度AB，數(shù)學(xué)興趣小組帶著標(biāo)桿和皮尺來到操場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，測(cè) 量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)C沿BC后退，當(dāng)退行1.8米到D處時(shí)，恰好在鏡子中看到旗桿頂點(diǎn)A的像，此時(shí)測(cè)得小紅眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小明在F??處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿FG，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)H、標(biāo)桿頂點(diǎn)G和旗桿頂點(diǎn)A在一條直線上，此時(shí)測(cè)得FH為2.4米，DF為3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，點(diǎn)B、C、D、F、H在一條直線上． （1）直接寫出ABBC= ； （2）請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算學(xué)校旗桿AB的高度． 【答案】（1）56；（2）學(xué)校旗桿AB的高度為25米． 【分析】（1）根據(jù)已知條件推出△ABC∽△EDC，即可求解； （2）根據(jù)已知條件推出△HGF∽△HAB，即可求解． 【詳解】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB， ∴△ABC∽△EDC， ∴ABBC=EDDC， ∵CD=1.8米，ED=1.5米， ∴ABBC=1.51.8=56； 故答案為：56； （2）設(shè)AB=x，則BC=65x， ∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF， ∴△HGF∽△HAB， ∴ABGF=BHFH， BH=BC+CD+DF+FH=65x+1.8+3.3+2.4=1.2x+7.5，GF=1.6米，F(xiàn)H=2.4米， ∴x1.6=1.2x+7.52.4， 解得：x=25． 答：學(xué)校旗桿AB的高度為25米． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決． 【變式5-2】（2023春·安徽亳州·九年級(jí)蒙城縣第六中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m． ①計(jì)算小亮在路燈D下的影長； ②計(jì)算建筑物AD的高． 【答案】①BQ=1.5；②DA=12． 【分析】解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解． 【詳解】①∵EP⊥AB，CB⊥AB， ∴∠EPA=∠CBA=90° ∵∠EAP=∠CAB， ∴△EAP∽△CAB ∴EPBC=APAB ∴1.89=2AB ∴AB=10 BQ=10?2?6.5=1.5； ②∵HQ⊥AB，DA⊥AB， ∴∠HQB=∠DAB=90° ∵∠HBQ=∠DBA， ∴△BHQ∽△BDA ∴HPDA=BQAB ∴1.8DA=1.510 ∴DA=12． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解. 【變式5-3】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀以下文字并解答問題：在“測(cè)量物體的高度”活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組的3名同學(xué)選擇了測(cè)量學(xué)校里的三棵樹的高度，在同一時(shí)刻的陽光下，他們分別做了以下工作： 小芳：測(cè)得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如1圖）． 小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如2圖），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米． 小明：測(cè)得丙樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如3圖）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測(cè)得他的影長為2米． （1）在橫線上直接填寫甲樹的高度為______米，乙樹的高度為________米﹔ （2）請(qǐng)求出丙樹的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙樹的高為5.56米 【分析】(1)如下圖1，根據(jù)測(cè)得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲樹高，接著如下圖2先利用△C1D1E1～△CDE，求出C1E1的長，接著利用△A1B1E1～△D1C1E1，可得出乙樹的高； (2)如下圖3，先通過△C2D2E2～△FGE2求出FG的長，然后通過△GFH～△DCH求出FH的長，最后通過△FGH～△B2A2H可求出丙樹的高． 【詳解】解：（1）如圖1，假設(shè)線段AB是甲樹，線段CD是竹竿， 線段BE和線段CE分別為甲樹和竹竿的影子， ∴CD=1m,CE=0.8m,BE=4.08m, ∵CD//AB,∴△ABE～△DCE, ∴CDAB=CEBE, ∴1AB=0.84.08, ∴AB=5.1米， 故甲樹的高為5.1米； 如圖2，假設(shè)線段A1B1是乙樹，線段C1D1為乙樹在墻壁上的影長， 線段B1C1為乙樹落在地面上的影長， ∴C1D1=1.2m,B1C1=2.4m, ∵△C1D1E1與圖1中的△CDE相似， ∴C1D1CD=C1E1CE,∴1.21=C1E10.8,∴C1E1=0.96m, 又∵C1D1//A1B1， ∴△A1B1E1～△D1C1E1,∴A1B1D1C1=B1E1C1E1,∴A1B11.2=B1C1+C1E10.96,∴A1B11.2=2.4+0.960.96,∴A1B1=4.2m, 故乙樹的高為4.2米； 故答案為：5.1，4.2； （2）如圖3，假設(shè)線段A2B2是丙樹，線段B2F為丙樹落在地面上的影長， 線段FE2為丙樹落在坡面上影長，C2D2為小明，C2E2為小明落在坡面上影長， 則B2F=2.4米，F(xiàn)E2=3.2米，C2D2=1.6米，C2E2=2米， ∵C2D2//FG,∴△C2D2E2～△FGE2,∴C2D2FG=C2E2FE2,∴1.6FG=23.2,∴FG=2.56m, 又∵△GFH與圖1中的△DCE相似， ∴GFDC=FHCE,∴2.561=FH0.8,∴FH=2.048m, 又∵△FGH～△B2A2H, ∴FGB2A2=FHB2H,∴2.56B2A2=2.048B2F+FH,∴2.56B2A2=2.0484.448,∴B2A2=5.56m, 故丙樹的高為5.56米． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，有一定難度和綜合性，根據(jù)同一時(shí)刻影長與高成比例以及假設(shè)沒有墻或臺(tái)階時(shí)求出影長是解決問題的關(guān)鍵． 【題型6 實(shí)驗(yàn)問題】 【例6】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實(shí)驗(yàn)．他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個(gè)小孔，小孔對(duì)面的墻上就會(huì)出現(xiàn)外面景物的倒像．小宇在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來觀察小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點(diǎn)燃的蠟燭距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm處，小宇測(cè)得蠟燭的火焰高度為4cm，則光屏上火焰所成像的高度為（????） ?? A．8cm B．6cm C．5cm D．4cm 【答案】B 【分析】畫出圖像，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高度． 【詳解】解：如圖，設(shè)蠟燭的高度為線段AB，蠟燭的像為A′B′，PC⊥AB于C，PC′⊥A′B′于C′，則PC=20cm，PC′=30cm． ?? 由題知A′B′∥AB， ∴∠A′=∠A,∠B′=∠B， ∴△PA′B′∽△PAB， ∴A′B′AB=PC′PC， ∴A′B′4=3020， 解得A′B′=6(cm)， 即光屏上火焰所成像的高度為6cm． 故選：B 【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”解決實(shí)際問題．熟練掌握這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式6-1】（2023春·陜西西安·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．求燈泡到地面的高度AG． ???? 【答案】1.2m 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可求解． 【詳解】證明：△BFC∽△BED， 故BCBD=FCED，即BCBC+4=1.53.5， ∴ BC=3， ∵ AC=5.4m， ∴ AB=5.4?3=2.4m， ∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角， ∴ ∠FBC=∠GBA， 又∵ ∠FCB=∠GAB， ∴ △BGA∽△BFC， ∴ AGCF=ABBC， ∴ AG1.5=2.43， 解得：AG=1.2m， ∴燈泡到地面的高度AG為1.2m． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由相似得到對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵． 【變式6-2】（2023·陜西西安·?？家荒＃緦W(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律． 【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，C，D在同一條直線上，求燈泡到地面的高度AG． 【答案】燈泡到地面的高度AG為1.2m． 【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)而求出AG的長． 【詳解】解：由題意可得：FC∥DE， 則△BFC∽△BED， ∴BCBD=FCDE， 即BCBC+4=1.53.5， 解得：BC=3， ∵AC=5.4m ∴AB=5.4?3=2.4m， ∵光在鏡面反射中的反射角等于入射角， ∴∠FBC=∠GBA， 又∵∠FCB=∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴AGAB=FCBC， ∴AG2.4=1.53， 解得：AG=1.2m， 答：燈泡到地面的高度AG為1.2m． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形，列出比例式是解題關(guān)鍵． 【變式6-3】（2023春·河北唐山·九年級(jí)?？计谀┠承＞拍昙?jí)一班的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課安排了測(cè)量操場(chǎng)上豎直的懸掛國旗的旗桿的高度．甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)的測(cè)量方案如圖所示：甲組測(cè)得圖中BO=60米，OD=3.4米，CD=1.7米；乙組測(cè)得圖中，CD=1.5米，同一時(shí)刻影長FD=0.9米，EB=18米；丙組測(cè)得圖中，CD∥EF∥AB，l∥AD，AD=90米，EF=0.2米，人的臂長l為0.6米，請(qǐng)你任選兩種方案，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出該校旗桿的高度． 【答案】30米 【分析】此題三種方案均為把實(shí)際問題抽象成三角形相似的問題，解題方法都是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出結(jié)果．采用甲組方案，證明△ABO∽△CDO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出ABCD=OBOD，然后求出該校旗桿的高度即可；采用乙方案，連接AE,CF，則∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，根據(jù)△ABE∽△CDF，可得EFAB=CFAC，即可求解；采用丙方案，根據(jù)△CFG∽△CAD，可得FGAD=CFAC，再由△CEF∽△CBA，可得EFAB=CFAC，從而得到EFAB=FGAD，即可求解． 【詳解】解：采用甲組方案， 在△ABO和△CDO中， ∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD， ∴△ABO∽△CDO， ∴ABCD=OBOD，即AB1.7=603.4， 解得AB=30米， 即該校旗桿的高度為30米． 采用乙方案， 如圖，連接AE,CF，則∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF， ∵∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF， ∴△ABE∽△CDF， ∴ABBE=CDDF，即AB18=1.50.9， 解得：AB=30米， 即該校旗桿的高度為30米． 采用丙方案， 如圖， ∵l∥AD， ∴△CFG∽△CAD， ∴FGAD=CFAC， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴EFAB=CFAC， ∴EFAB=FGAD，即0.2AB=0.690， 解得：AB=30米， 即該校旗桿的高度為30米． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)建相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求解． 【題型7 九章算術(shù)】 【例7】（2023·河北·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是： 如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點(diǎn)，南門B位于EH的中點(diǎn)．從北門出去正北方向20步遠(yuǎn)的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（?????） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 【答案】C 【分析】此題文字?jǐn)⑹霰容^多，解題時(shí)首先要理解題意，找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例． 【詳解】設(shè)小城的邊長為x步，根據(jù)題意， Rt△CAF∽R(shí)t△CDM， ∴CACD=FAMD， 即2020+14+x=0.5x1775， 去分母并整理， 得x2+34x-71000=0， 解得x1=250，x2=-284（不合題意，舍去）， ∴小城的邊長為250步． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程即可求出小城的邊長． 【變式7-1】（2023春·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（????）米． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD． 【詳解】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE=∠C，∠B=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴ABCD=AECE， ∴1CD=0.41.6?0.4， ∴CD=3， 經(jīng)檢驗(yàn)，CD=3是所列方程的解， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵． 【變式7-2】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：如圖，今有山AB位于樹的西面，山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，則山AB的高為（保留到整數(shù)，1丈=10尺）（????） A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 【答案】D 【分析】先求出各線段的長，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得出△ECH∽△EAG，列出比例式即可求出AG的長，從而求出結(jié)論． 【詳解】解：由題意可知：EF=HD=GB=7尺=0.7丈，CD=9丈5尺=9.5丈，BD=GH=53里，DF=EH=3里，AB⊥BF，CD⊥BF ∴CH=CD－HD=8.8尺，AB∥CD ∴△ECH∽△EAG ∴CHAG=EHEG 即8.8AG=33+53 解得：AG=246415 ∴AB=AG＋GB=246415＋0.7≈165丈 故選D． 【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵． 【變式7-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)距的方法．如圖，有座塔在河流北岸的點(diǎn)E處，一棵樹位于河流南岸的點(diǎn)A處，從點(diǎn)A處開始，在河流南岸立4根標(biāo)桿，以這4根標(biāo)桿為頂點(diǎn)，組成邊長為10米的正方形ABCD，且A，D，E三點(diǎn)在一條直線上，在標(biāo)桿B處觀察塔E，視線BE與邊DC相交于點(diǎn)F，如果測(cè)得FC=4米，那么塔與樹的距離AE為 米． 【答案】25 【分析】根據(jù)題意可以利用正方形的性質(zhì)求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，從而運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求解ED，即可得出結(jié)論． 【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，邊長為10米， ∴AD=CD=BC=10，F(xiàn)D=CD-CF=6， ∵AD∥BC，且A，D，E三點(diǎn)在一條直線上， ∴AE∥BC， ∴△FDE∽△FCB， ∴FDFC=EDBC， 即：64=ED10， ∴ED=15， ∴AE=AD+ED=25米， 故答案為：25． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確判斷出相似三角形，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 【題型8 實(shí)際生活抽象出相似】 【例8】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是一種手機(jī)托架，使用該手機(jī)托架示意圖如圖3所示，底部放置手機(jī)處寬AB?1.2厘米，托架斜面長BD?6厘米，它有C到F共4個(gè)檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個(gè)檔位間的距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米．將某型號(hào)手機(jī)置于托架上（圖2)，手機(jī)屏幕長AG是15厘米，O是支點(diǎn)且OB?OE?2.5厘米（支架的厚度忽略不計(jì)）．當(dāng)支架調(diào)到E檔時(shí)，點(diǎn)G離水平面的距離GH為 cm． 【答案】453434 【分析】如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性質(zhì)求出DT，BT，AD，即可求出GH的長． 【詳解】如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K． ∵OB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.8×2=4(cm)，OK⊥BE， ∴BK=KE=2(cm)， ∴OK=OB2?BK2=2.52?22=1.5(cm)， ∵∠OBK=∠DBT，∠OKB=∠BTD=90°， ∴△BKO∽△BTD， ∴BKBT=BOBD=OKDT， ∴2BT=2.56=1.5DT， ∴BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)， ∴AD=AT2+DT2=62+3.62=6534(cm)， ∵DT∥GH， ∴△ATD∽△AHG， ∴DTGH=ADAG， ∴3.6GH=653415， ∴GH=453434(cm)． 故答案為：453434． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題． 【變式8-1】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（　?。? A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm 【答案】A 【分析】連接圖2、圖3中的BD，圖2中證明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)求得BD，在圖3中證明四邊形EFDB是矩形，求得BD，進(jìn)而作差即可求解． 【詳解】解：如圖2，連接BD， ∵AE=CF=28，BE=DF=35????， ∴AEAB=AFAD=2863=49，又∠EAF=∠BAD， ∴△AEF∽△ABD， ∴BDEF=ABAE，又EF=20， ∴BD20=94，解得：BD=45， 如圖3，連接BD， ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四邊形EFDB是平行四邊形， ∵∠BEF=90°， ∴四邊形EFDB是矩形，則BD=EF=20， ∴從閉合到打開B，D之間的距離減少了45-20=25（mm）， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)，理解題意，會(huì)利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決實(shí)際問題是解答的關(guān)鍵． 【變式8-2】（2023春·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一個(gè)家用折疊梯子，使用時(shí)四個(gè)踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板寬BF=20cm，BC=CD=DE=EL=25cm，將踏板往上收起時(shí)（如圖2），點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，踏板可以看作與支架AL重合，將梯子垂直擺放時(shí)，點(diǎn)A離地面的高度AL為 cm．圖3是圖1的簡略視圖，若點(diǎn)H恰好在點(diǎn)A的正下方，此時(shí)點(diǎn)A到地面LM的高度是 ． 【答案】 120 36057 【分析】由點(diǎn)A與點(diǎn)F重合能夠得出AB的長，從而可以求出點(diǎn)A離地面的高度AL．連接AH并延長，交LM于點(diǎn)Q，得到直角三角形，又由使用時(shí)四個(gè)踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到DH//LM，得到△ADH∽△ALQ，利用相似三角形的性質(zhì)可以求出LQ的長，進(jìn)而利用勾股定理可以求出點(diǎn)A到地面LM的高度． 【詳解】∵將踏板往上收起時(shí)（如圖2），點(diǎn)A與點(diǎn)F重合， ∴AB=BF=20 cm． ∴AL=AB+BC+CD+DE+EL=20+4×25=120(cm)， 即點(diǎn)A離地面的高度AL為120 cm． 如圖，連接AH并延長，交LM于點(diǎn)Q，則AQ⊥LM． ∵使用時(shí)四個(gè)踏板都是平行于地面且全等的矩形， ∴DH//LM，DH=BF=20 cm， ∴△ADH∽△ALQ， ∴ADAL=DHLQ， 即20+25+25120=20LQ， 解得LQ=2407 cm． 在Rt△AQL中，由勾股定理，得 AQ=AL2?LQ2=1202?24072=36057(cm)， 即點(diǎn)A到地面LM的高度是36057 cm． 故答案為：120，36057． 【點(diǎn)睛】本題是一道實(shí)際應(yīng)用題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確理解題意，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵． 【變式8-3】（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時(shí)，測(cè)得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時(shí)將詞典無滑動(dòng)向右倒，書角H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰為CD中點(diǎn)． （1）收納盒的長BC= ； （2）現(xiàn)將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有 本書可與邊BC有公共點(diǎn)． 【答案】 2518cm 7 【分析】（1）由圖知BC=BF+FG′+G′C，已知BF=8，根據(jù)ΔHAE∽ΔEBF得到FG′=HE=178，在RtΔG′CH′中根據(jù)勾股定理得到G′C=15，從而得到結(jié)論； （2）延長HF交BC于G'，如圖2所示，由（1）知在RtΔAHE中，HA=HE2?AE2=158， 根據(jù)ΔHAE∽ΔFGG′，得到FG′=289120，由FCFG′=732289得到最多有7本書可與邊BC有公共點(diǎn)． 【詳解】解：（1）如圖所示： 在RtΔBEF中，∠B=90°，EF=17，BF=8，則BE=EF2?BF2=172?82=15， ∵AB=16， ∴AE=AB?BE=16?15=1， 連接AH，如圖所示： ∵恰好能蓋上盒蓋， ∴AH⊥AB， ∵詞典是長方體， ∴∠HEF=90°，即∠HEA+∠BEF=90°， 在RtΔBEF中，∠BFE+∠BEF=90°， ∴∠HEA=∠BFE， ∴ΔHAE∽ΔEBF， ∴HEAE=EFBF，即HE1=178，解得HE=178， ∵將詞典無滑動(dòng)向右倒， ∴FG′=HE=178， ∵書角H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰為CD中點(diǎn)， ∴H′C=12CD=12AB=8， 在RtΔG′CH′中，∠C=90°，G′H′=EF=17，H′C=8，則G′C=(G′H′)2?H′C2=172?82=15， ∴BC=BF+FG′+G′C=8+178+15=2518， ∴收納盒的長BC=2518cm， 故答案為：2518cm； （2）延長HF交BC于G'，如圖2所示： 由（1）知FG=HE=178， ∵∠BFE+∠GFG′=90°，∠HEA+∠AHE=90°， 由（1）知∠HEA=∠BFE ∴∠GFG′=∠AHE， ∴ΔHAE∽ΔFGG′， ∴FG′GF=HEAH， 由（1）知在RtΔAHE中，∠A=90°，HE=178，AE=1，則HA=HE2?AE2=(178)2?12=158， ∴FG′178=178158，解得FG′=289120， 由（1）知FC=2518?8=1718， ∵1718÷289120=732289， ∴最多有7本書可與邊BC有公共點(diǎn)． 【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理及相似的實(shí)際運(yùn)用，涉及到勾股定理求線段長及三角形相似的判定與性質(zhì)，讀懂題意，根據(jù)圖形作出輔助線，找到直角三角形靈活運(yùn)用勾股定理及相似求線段長是解決問題的關(guān)鍵． 【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】 【例9】（2023春·河南平頂山·九年級(jí)校考期中）如圖，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面BE的距離為1.6米，車頭FACD近似看成一個(gè)矩形，且滿足3FD=2FA，若盲區(qū)EB的長度是6米，求車寬FA的長度． 【答案】127米 【分析】過點(diǎn)P作PM⊥BE，垂足為M，交AF于點(diǎn)N，根據(jù)題意，設(shè)FA=x米，由3FD=2FA得，F(xiàn)D=23x=MN，證明△PAF∽△PBE，得出PN=415x，根據(jù)PN+MN=PM列出方程，解方程即可求解． 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BE，垂足為M，交AF于點(diǎn)N， 則PM=1.6，設(shè)FA=x米， 由3FD=2FA得，F(xiàn)D=23x=MN， ∵四邊形ACDF是矩形， ∴AF∥CD， ∴△PAF∽△PBE， ∴PNPM=FAEB， 即PN1.6=x6， ∴PN=415x， ∵PN+MN=PM， ∴415x+23x=1.6， 解得，x=127， ∴車寬FA的長度為127米． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式9-1】（2023春·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，課本中有一道例題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．設(shè)PN=xmm，用x的代數(shù)式表示AE= mm，由PN//BC，可得△APN∽△ABC，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，可求得PN= mm． 拓展：原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖2，此時(shí)，PN= mm． 【答案】 80?x 48 4807 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)高的比等于相似比進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可設(shè)BQ=x，則PN=2x，AE=80?x，進(jìn)行求解即可； 【詳解】設(shè)PN=xmm，則PN=PQ=ED=xmm， AE=AD?ED=80?xmm， ∵PN∥BC， ∴△APN～△ABC， ∴PNBC=AEAD， 即x120=80?x80，解得x=48， ∴PN=48mm， 拓展：設(shè)PQ=xmm，則PN=2xmm， AE=AD?ED=80?xmm， ∵PN∥BC， ∴△APN～△ABC， ∴PNBC=AEAD， ∴2x120=80?x80，解得x=2407， ∴PN=2x=4807； 故答案是：80?x；48；4807． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵． 【變式9-2】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)石家莊二十三中校考階段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長分別為5cm和2cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用△ABC∽△AEF求得AG=4，然后求得DG=AD?AG=8，這樣就可以計(jì)算得小長方形一共有4層，然后再次利用相似比，可求得每層可分割幾個(gè)小長方形，最后確定小長方形的總數(shù)即可. 【詳解】如圖：當(dāng)最上層的小長方形的一邊與AB、AC交于點(diǎn)E、F時(shí)，EF∥BC ∴△ABC∽△AEF ∴EFBC=AGAD，且EF=5，BC=15，AD=12 ∴AG=4 ∴DG=AD?AG=8 ∵小長方形的寬為2cm ∴能分割四層小長方形 設(shè)最底層的上一層的靠近點(diǎn)A的邊為x 根據(jù)三角形相似可得：x15=812 解得x=10，正好能分割兩個(gè)小長方形 再上一層靠近點(diǎn)A的邊就會(huì)小于10cm，因此只能分割一個(gè)小長方形，且最上層分割了一個(gè)小長方形 ∴按如圖方式分割成的小長方形零件最多有2+2+1+1=6個(gè) 故答案為6 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的相似在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠靈活應(yīng)用相似比求解對(duì)應(yīng)的邊是解決問題的關(guān)鍵 【變式9-3】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀理解： 如圖1，AD是△ABC的高，點(diǎn)E、F分別在AB和AC邊上，且EF//BC，可以得到以下結(jié)論：AHAD=EFBC． 拓展應(yīng)用： (1)如圖2，在△ABC中，BC＝3，BC邊上的高為4，在△ABC內(nèi)放一個(gè)正方形EFGM，使其一邊GM在BC上，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，則正方形EFGM的邊長是多少？ (2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個(gè)腰長為100cm，底邊長為160cm的等腰三角形展臺(tái)．現(xiàn)需將展臺(tái)用隔板沿平行于底邊，每間隔10cm分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個(gè)無蓋正方體格子，要求每個(gè)正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設(shè)計(jì)圖如圖3所示，將底邊BC的長度看作是0排隔板的長度． ①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方體間的隔板厚度忽略不計(jì)時(shí)，每排的隔板長度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單位：排）的變化而變化．請(qǐng)完成下表： 若用n表示排數(shù)，y表示每排的隔板長度，試求出y與n的關(guān)系式； ②在①的條件下，請(qǐng)直接寫出該展臺(tái)最多可以擺放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)正方形的邊長為127 (2)①4003，3203，80；y=?803n+160；②最多可以擺放38瓶葡萄酒 【分析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交EF于H，由AHAD=EFBC，可求解； （2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分別設(shè)第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3，由閱讀理解的結(jié)論可列方程，即可求解． ②分別求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【詳解】（1）如圖2，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交EF于H， 由閱讀理解的結(jié)論可得：AHAD=EFBC， 設(shè)正方形的邊長為x， ∴4?x4=x3， ∴x=127， ∴正方形的邊長為127； （2）①如圖3﹣1，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝80cm， ∴AD=AB2?BD2=10000?6400=60（cm）， 分別設(shè)第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3， 由閱讀理解的結(jié)論可得：5060=y1160，4060=y2160，3060=y3160 解得：y1=4003，y2=3203，y3＝80， 故答案為：4003，3203，80； ∴60?10n60=y160， ∴y=?803n+160； ②當(dāng)n＝1時(shí)，隔板長4003cm， ∴可以作正方體的個(gè)數(shù)=4003÷10≈13（個(gè)）， 當(dāng)n＝2時(shí)，隔板長3203cm， ∴可以作正方體的個(gè)數(shù)=3203÷10≈10（個(gè)）， 當(dāng)n＝3時(shí)，隔板長80cm， ∴可以作正方體的個(gè)數(shù)＝80÷10≈8（個(gè)）， 當(dāng)n＝4時(shí)，隔板長1603cm， ∴可以作正方體的個(gè)數(shù)=1603÷10≈5（個(gè)）， 當(dāng)n＝5時(shí)，隔板長803cm， ∴可以作正方體的個(gè)數(shù)=803÷10≈2（個(gè)）， 當(dāng)n＝6時(shí)，隔板長0cm，可以作正方體的個(gè)數(shù)為0個(gè)， ∴第1排最多可以擺放13瓶葡萄酒，第2排最多可以擺放10瓶葡萄酒，第3排最多可以擺放8瓶葡萄酒，第4排最多可以擺放5瓶葡萄酒，第5排最多可以擺放2瓶葡萄酒，第6排最多可以擺放0瓶葡萄酒， ∴13+10+8+5+2＝38（瓶）， 綜上所述：最多可以擺放38瓶葡萄酒． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 排數(shù)/排0123…隔板長度/厘米160__________________…排數(shù)/排0123…隔板長度/厘米160__________________…

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