北師大版2024-2025學年九年級數學上冊專題4.3相似三角形的判定與性質(一)【八大題型】專題特訓(原卷版+解析)

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專題4.3 相似三角形的判定與性質（一）【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc30574" 【題型1 利用相似三角形的性質求面積】  PAGEREF _Toc30574 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc11487" 【題型2 添加條件使兩三角形相似】  PAGEREF _Toc11487 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc31088" 【題型3 根據圖形數據判斷兩三角形相似】  PAGEREF _Toc31088 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc19781" 【題型4 坐標系中確定坐標使兩三角形相似】  PAGEREF _Toc19781 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc25754" 【題型5 確定相似三角形的對數】  PAGEREF _Toc25754 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc26575" 【題型6 相似三角形的證明】  PAGEREF _Toc26575 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc15753" 【題型7 找格點中的相似三角形】  PAGEREF _Toc15753 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc11643" 【題型8 由圖形相似求線段長度】  PAGEREF _Toc11643 \h 10  【知識點1 相似三角形的性質】 【題型1 利用相似三角形的性質求面積】 【例1】（2023春·遼寧沈陽·九年級?？计谥校┤鐖D，△OAB∽△OCD，且OA:OC=6:5,∠A=α,∠B=β,△OAB與△OCD的面積分別是S1和S2，△OAB與△OCD的周長分別是C1和C2，則一定成立的等式是（ ） A．OBCD=65 B．αβ=65 C．S1S2=65 D．C1C2=65 【變式1-1】（2023春·九年級上海市民辦文綺中學校考期中）兩個相似三角形的面積之差為3cm2，周長比是2：3，那么較小的三角形面積是 cm2． 【變式1-2】（2023春·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┤鐖D所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，若ΔABC∽ΔDCE，則ΔDCE的面積是 ． 【變式1-3】（2023春·山東淄博·九年級統考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，點F在線段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=33cm，AF=23cm． （1）求DE的長； （2）求平行四邊形ABCD的面積． 【知識點2 相似三角形的判定】 【題型2 添加條件使兩三角形相似】 【例2】（2023春·山東濰坊·九年級統考期末）如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一動點，下列條件中，不能得到△ABP與△ECP相似的是（????） ?? A．ABCE=BPCP B．P是BC的中點 C．∠BAP=∠EPC D．AB:BP=3:2 【變式2-1】（2023春·北京石景山·九年級?？计谥校┤鐖D，標記了△ABC與△DEF邊、角的一些數據，如果再添加一個條件使△ABC∽△DEF，那么這個條件可以是 ．（只填一個即可） 【變式2-2】（2023春·四川雅安·九年級雅安中學?？计谥校└鶕铝懈鹘M條件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（????） A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70° B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3 C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5 D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10 【變式2-3】（2023春·河南南陽·九年級南陽市第十三中學校校考期末）如圖，在△ABC中，P為AB上一點，下列四個條件中：①AC2=AP?AB；②AB?CP=AP?CB；③∠APC=∠ACB﹔④∠ACP=∠B能滿足△APC與△ACB相似的條件是（?????） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【題型3 根據圖形數據判斷兩三角形相似】 【例3】（2023春·河北保定·九年級統考期末）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖中的虛線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形一定與原三角形相似的是（????） A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【變式3-1】（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級統考期末）如圖，已知△MNP．下列四個三角形，與△MNP相似的是（ ） A．B． C．D． 【變式3-2】（2023春·山西陽泉·九年級統考期末）如圖是老師畫出的△ABC，已標出三邊的長度．下面四位同學畫出的三角形與老師畫出的△ABC不一定相似的是（????） ?? A．?? B．?? C．?? D．?? 【變式3-3】（2023春·河南商丘·九年級統考期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，對于各組中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（） A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 【題型4 坐標系中確定坐標使兩三角形相似】 【例4】（2023春·浙江金華·九年級校聯考期中）如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（???） ?? A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 【變式4-1】（2023春·河南南陽·九年級?？茧A段練習）如圖，A、B、C、D都是格點（小正方形的頂點），動點E在線段AC上，若點A的坐標是1,1，則當△ADE與△ABC相似時，動點E的坐標是 ． ?? 【變式4-2】（2023·江西九江·統考三模）如圖，在平面直角坐標系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標軸上有一點P，它與A,C兩點形成的三角形與△ABC相似，則P點的坐標是 ． ?? 【變式4-3】（2023春·山東淄博·九年級統考期末）平面直角坐標系中，直線y=?12x+2和x、y軸交于A、B兩點，在第二象限內找一點P，使△PAO和△AOB相似的三角形個數為(????) ?? A．2 B．3 C．4 D．5 【題型5 確定相似三角形的對數】 【例5】（2023·安徽淮南·統考模擬預測）如圖，把ΔABC繞點A旋轉到ΔADE，當點D剛好落在BC上時，連結CE，設AC,DE，相交于點F，則圖中相似三角形（不含全等）的對數有（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【變式5-1】（2023春·河北石家莊·九年級統考期末）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長線上一點，BE交AD于G??， AF⊥BE于F??， 圖中相似三角形的對數是（　　） A．5 B．7 C．8 D．10 【變式5-2】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·九年級?？计谥校┤鐖D，AB與CD相交于點O，且∠OAD=∠OCB，延長AD、CB交于點P，那么圖中的相似三角形的對數為 ． 【變式5-3】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F是CD上一點，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對數是（　　） A．1 B． 2 C．3 D．)4 【題型6 相似三角形的證明】 【例6】（2023春·九年級課時練習）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25． (1)求CE的長； (2)求證：△ABC∽△DEF． 【變式6-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E是AB上一點，連接DE，BD2=BC·BE. 證明：△BCD∽△BDE. ?? 【變式6-2】（2013·廣西河池·中考真題）請在圖中補全坐標系及缺失的部分，并在橫線上寫恰當的內容．圖中各點坐標如下：A1，0，B6，0，C1，3，D6，2．線段AB上有一點M，使△ACM∽△BDM，且相似比不等于1．求出點M的坐標并證明你的結論． ???? 解：M（　 　，　 ?。?證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB， ∴∠CAM=∠DBM=　 　度． ∵CA=AM=3，DB=BM=2， ∴∠ACM=∠AMC（　 ?。?，∠BDM=∠BMD（同理）， ∴ ∠ACM=12(180°?　 　)＝45°． ∠BDM＝45°（同理）． ∴∠ACM＝∠BDM． 在△ACM與△BDM中，∠ACNM=∠BDM_______________， ∴△ACM∽△BDM（如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似）． 【題型7 找格點中的相似三角形】 【例7】（2023春·山西臨汾·九年級統考期末）如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與△ABC相似的是（????） ?? A．△FBE B．△BED C．△DFE D．△ABE 【變式7-1】（2023春·湖南衡陽·九年級?？计谥校┤鐖D，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是 ． ?? 【變式7-2】（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網格圖中的格點三角形，那么該網格中所有與△ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數是（???） ?? A．1 B．2 C．3 D．4 【變式7-3】（2023春·江蘇泰州·九年級統考期中）定義：我們知道，凸四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這個凸四邊形叫做“自相似四邊形”． 如圖，點A、B、C是正方網格中的格點，在網格中確定格點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是“自相似四邊形”，符合條件的格點D的個數是（????） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【題型8 由圖形相似求線段長度】 【例8】（2023春·安徽·九年級專題練習）矩形ABCD對角線的交點為O，點E在邊AB上，點F在AD的延長線上，連接EF，EO，FO，∠EOF=90°．試探究： ?? (1)如圖1，若EF垂直平分AO，AB=8，AD=4，則AE的長為 ； (2)如圖2，若BE=3，FD=1，則EF的長為 ． 【變式8-1】（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，在等邊△ABC中，點D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32，則DE的長度為（????） ?? A．1 B．43 C．2 D．83 【變式8-2】（2023春·四川南充·九年級?？茧A段練習）在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE交AB于點F． ?? (1)如圖1，當DE=DA時，求證：AF=EF； (2)如圖2，點E在運動過程中DEEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由； (3)如圖3，若點F為AB的中點，連接DF交AC于點G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點K，當AD=2，CD=23時，求KH的長． 【變式8-3】（2023春·廣東深圳·九年級校聯考階段練習）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長．???? （2）類比探究：如圖2，△ABC中，AC=14，BC=6，點D，E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，DE=2，求AD的長． （3）拓展延伸：如圖3，△ABC中，點D，點E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，延長DE，BC交于點F，AD=4，DE=5，EF=6， 求BD=______．  專題4.3 相似三角形的判定與性質（一）【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc30574" 【題型1 利用相似三角形的性質求面積】  PAGEREF _Toc30574 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc11487" 【題型2 添加條件使兩三角形相似】  PAGEREF _Toc11487 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc31088" 【題型3 根據圖形數據判斷兩三角形相似】  PAGEREF _Toc31088 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc19781" 【題型4 坐標系中確定坐標使兩三角形相似】  PAGEREF _Toc19781 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc25754" 【題型5 確定相似三角形的對數】  PAGEREF _Toc25754 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc26575" 【題型6 相似三角形的證明】  PAGEREF _Toc26575 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc15753" 【題型7 找格點中的相似三角形】  PAGEREF _Toc15753 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc11643" 【題型8 由圖形相似求線段長度】  PAGEREF _Toc11643 \h 26  【知識點1 相似三角形的性質】 【題型1 利用相似三角形的性質求面積】 【例1】（2023春·遼寧沈陽·九年級校考期中）如圖，△OAB∽△OCD，且OA:OC=6:5,∠A=α,∠B=β,△OAB與△OCD的面積分別是S1和S2，△OAB與△OCD的周長分別是C1和C2，則一定成立的等式是（ ） A．OBCD=65 B．αβ=65 C．S1S2=65 D．C1C2=65 【答案】D 【分析】根據相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，一一判斷即可． 【詳解】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=6：5， ∴C1C2=OAOC=65,S1S2=(OAOC)2=3625， ∴選項D正確，選項C錯誤， ∵無法確定OAOD,OBCD和∠ A與∠B的比的值，故選項A，B錯誤， 故選：D． 【點睛】本題主要考查相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方． 【變式1-1】（2023春·九年級上海市民辦文綺中學?？计谥校﹥蓚€相似三角形的面積之差為3cm2，周長比是2：3，那么較小的三角形面積是 cm2． 【答案】125 【分析】根據三角形相似的性質得到面積比，設較小三角形的面積為4S，則較大三角形的面積為9S，列出等量解出S的值即可求出結果． 【詳解】解：∵兩個三角形的周長比是2：3， ∴兩個三角形的面積比等于4：9， 設較小的三角形的面積為4S， 則較大的三角形面積為9S， ∴9S-4S=3， 解得S=35 ∴較小三角形的面積為4S=125cm2． 故答案為：125 【點睛】本題考查三角形相似的性質，相似三角形周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，熟記相關性質內容是解題關鍵． 【變式1-2】（2023春·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┤鐖D所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，若ΔABC∽ΔDCE，則ΔDCE的面積是 ． 【答案】253 【分析】根據圖形得到BC=3，CE=5，?ΔABC=2，再根據面積比等于相似比平方即可得到答案． 【詳解】解：由題意可得， BC=3，CE=5， ?ΔABC=2， ∴BCCE=35，SΔABC=12×3×2=3 ， ∴SΔABC:SΔDCE=(35)2=925， ∴SΔDCE=3×259=253， 故答案為253． 【點睛】本題考查相似比與面積比的換算，解題關鍵是從圖形得到相似比，熟練掌握面積比是相似比平方． 【變式1-3】（2023春·山東淄博·九年級統考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，點F在線段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=33cm，AF=23cm． （1）求DE的長； （2）求平行四邊形ABCD的面積． 【答案】（1）DE=6；（2）93cm2 【分析】（1）根據相似三角形的性質，列出比例式，進而即可求解； （2）根據勾股定理求出AE的長，進而即可求解． 【詳解】解：（1）∵△ADF∽△DEC， ∴ADDE=AFDC， ∴33DE=234， ∴DE=6； （2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠EAD=∠AEB=90°， ∴在Rt△EAD中，AE2=DE2?AD2=62?332=9， ∴AE=3（cm）， ∴S□ABCD=BC·AE=33×3=93cm2． 【點睛】本題主要考查相似三角形的性質，平行四邊形的性質以及勾股定理，熟練掌握上述性質和定理，是解題的關鍵． 【知識點2 相似三角形的判定】 【題型2 添加條件使兩三角形相似】 【例2】（2023春·山東濰坊·九年級統考期末）如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一動點，下列條件中，不能得到△ABP與△ECP相似的是（????） ?? A．ABCE=BPCP B．P是BC的中點 C．∠BAP=∠EPC D．AB:BP=3:2 【答案】B 【分析】由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中點，易得CE:AB=1:2，然后分別利用相似三角形的判定定理，判定△ABP與△ECP相似． 【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC， ∵E是CD的中點， ∴CE:CD=1:2， 即CE:AB=1:2， A、∵∠B=∠C，ABCE=BPCP， ∴△ABP∽△ECP，故A符合題意； B、∵P是BC中點， ∴BP=PC=BC， 沒辦法判定△ABP與△ECP中各邊成比例，故B符合題意； C、∵∠BAP=∠EPC時，∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCE， 故C不符合題意； D、∵AB:BP=3:2，AB=BC， ∴BP=2PC， ∴PC:BP=1:2， ∴PC:BP=CE:AB=1:2， ∴△ABP∽△PCE，故D不符合題意． 故選：B． 【點睛】本題考查了相似三角形的判定以及正方形的性質．注意靈活應用判定定理是解題的關鍵． 【變式2-1】（2023春·北京石景山·九年級?？计谥校┤鐖D，標記了△ABC與△DEF邊、角的一些數據，如果再添加一個條件使△ABC∽△DEF，那么這個條件可以是 ．（只填一個即可） 【答案】∠C=60°或∠B=40°或DF=6 【分析】利用三角形相似的條件即可進行解答. 【詳解】由圖可知：∠A=∠D=80°，且∠F=60°， ∴當∠C=60°時，△ABC∽△DEF； 由圖可知：∠A=∠D=80°，且∠F=60°， ∴當∠B=40°時，即可求得∠C=60°，△ABC∽△DEF； 由圖可知：AB=4，AC=3，DE=8， ∴當ABDE=ACDF，即DF=6時，△ABC∽△DEF； 綜上所述：當∠C=60°或∠B=40°或DF=6時，△ABC∽△DEF 【點睛】本題考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定條件是解題關鍵 【變式2-2】（2023春·四川雅安·九年級雅安中學?？计谥校└鶕铝懈鹘M條件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（????） A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70° B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3 C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5 D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10 【答案】C 【分析】兩角對應相等的兩個三角形相似；兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似．根據定理內容依次計算判定即可． 【詳解】解：A、∵∠B=60°,∠C=50° ∴∵∠A=180°?60°?50°=70° 又∵∠A1＝70°，∠B1＝60° ∴△ABC∽△A1B1C1 所以選項A正確； B、∵∠C＝∠C1＝90° ∴△ABC和△A1B1C1都是直角三角形 在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6 由勾股定理得：BC2=AB2?AC2=102?62=82 ∵BC>0 ∴BC=8 在Rt△A1B1C1中，A1B1＝5，A1C1＝3 由勾股定理得：B1C12=A1B12?A1C12=52?32=42 ∵B1C1>0 ∴B1C1=4 ∵ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1=2 ∴△ABC∽△A1B1C1 所以選項B正確； C、∵ABA1B1=24=12,ACA1C1=35 ∴不能判定兩個三角形相似 所以選項C錯誤； D、∵ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1=32 ∴△ABC∽△A1B1C1 所以選項D正確． 故選：C 【點睛】本題考查三角形相似的判定，根據定理內容解題是關鍵． 【變式2-3】（2023春·河南南陽·九年級南陽市第十三中學校?？计谀┤鐖D，在△ABC中，P為AB上一點，下列四個條件中：①AC2=AP?AB；②AB?CP=AP?CB；③∠APC=∠ACB﹔④∠ACP=∠B能滿足△APC與△ACB相似的條件是（?????） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根據相似三角形的判定方法對每個條件進行分析，從而獲得答案． 【詳解】解：①∵AC2=AP?AB， ∴ACAP=ABAC， 又∵∠A=∠A， ∴△APC∽△ACB； ②∵AB?CP=AP?CB， ∴APAB=CPCB，AP是△APC的最短邊，AB是△ACB的最長邊，AP和AB不是對應邊，不能判定△APC與△ACB相似； ③∵∠APC=∠ACB，∠A=∠A， ∴△APC∽△ACB； ④∠ACP=∠B，∠A=∠A， ∴△APC∽△ACB． 綜上所述，能滿足△APC與△ACB相似的條件是①③④． 故選：C． 【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定方法，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵． 【題型3 根據圖形數據判斷兩三角形相似】 【例3】（2023春·河北保定·九年級統考期末）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖中的虛線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形一定與原三角形相似的是（????） A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可． 【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個角對應相等，故兩三角形相似； ②陰影部分的三角形與原三角形有兩個角對應相等，故兩三角形相似； ③兩三角形雖然滿足23=46，但兩邊所夾的角不一定相等，故兩三角形不一定相似； ④兩三角形對應邊成比例4?16=6?44=12且夾角相等，故兩三角形相似． 故正確的有①②④， 故選：D． 【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵． 【變式3-1】（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級統考期末）如圖，已知△MNP．下列四個三角形，與△MNP相似的是（ ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根據相似三角形的判定條件分別判斷即可； 【詳解】根據圖形可知，MN=MP，∠P=∠N=75°， ∴∠M=180°?75°?75°=30°， ∴根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得C中的圖形與△MNP相似； 故選C． 【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定條件，結合三角形內角和定理計算是解題的關鍵． 【變式3-2】（2023春·山西陽泉·九年級統考期末）如圖是老師畫出的△ABC，已標出三邊的長度．下面四位同學畫出的三角形與老師畫出的△ABC不一定相似的是（????） ?? A．?? B．?? C．?? D．?? 【答案】C 【分析】根據兩個三角形相似的判定方法進行判定即可． 【詳解】解：A、由有兩個角對應相等的三角形相似即可判定這兩個三角形相似； B、由于48=3.46.8，且夾角相等，所以這兩個三角形相似； C、不能判定相似； D、由有兩個角對應相等的三角形相似即可判定這兩個三角形相似； 故選：C． 【點睛】本題考查了兩個三角形相似的判定，掌握相似三角形判定的方法是關鍵． 【變式3-3】（2023春·河南商丘·九年級統考期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，對于各組中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（） A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 【答案】A 【分析】根據相似三角形的判定去判斷兩個三角形是否相似即可． 【詳解】在圖①中：第一個三角形三個角分別為：75°，35°，180°－75°－35°＝70°； 第二個三角形的兩個角分別為：75°，70°； 故根據兩個角分別相等的兩個三角形相似，得兩個三角形相似； 在圖②中：∵AOOD=43，COBO=86=43， ∴AOOD=COBO， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△DOB, 故都相似． 故選：A 【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關鍵． 【題型4 坐標系中確定坐標使兩三角形相似】 【例4】（2023春·浙江金華·九年級校聯考期中）如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（???） ?? A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 【答案】B 【詳解】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、當點E的坐標為（6，0）時，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，則AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項不符合題意； B、當點E的坐標為（6，3）時，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項符合題意； C、當點E的坐標為（6，5）時，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，則AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項不符合題意； D、當點E的坐標為（4，2）時，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，則AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項不符合題意． 故選B． 【變式4-1】（2023春·河南南陽·九年級校考階段練習）如圖，A、B、C、D都是格點（小正方形的頂點），動點E在線段AC上，若點A的坐標是1,1，則當△ADE與△ABC相似時，動點E的坐標是 ． ?? 【答案】(3，3)或(54，54) 【分析】首先根據圖，可得AD=1，AB=3， AC=62+62=62，然后分別從若△ADE∽△ABC與若△ADE∽△ACB去分析，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AE的值． 【詳解】解：根據題意得：AD=1，AB=3， AC=62+62=62， ∵∠A=∠A， ∴若△ADE∽△ABC時，ADAB＝AEAC， 即：13=AE62， 解得： AE=2， ∵點A的坐標是(1，1)， ∴E(3，3)； 若△ADE∽△ACB時，ADAC＝AEAB， 即： 162=AE3， 解得：AE＝24， ∴E(54，54)， ∴當△ADE與△ABC相似時，動點E的坐標是(3，3)或(54，54)， 故答案為：(3，3)或(54，54)． 【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是注意數形結合思想與分類討論思想的應用． 【變式4-2】（2023·江西九江·統考三模）如圖，在平面直角坐標系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標軸上有一點P，它與A,C兩點形成的三角形與△ABC相似，則P點的坐標是 ． ?? 【答案】3,0或0,2或0,3 【分析】分兩種情形：當點P在x軸上時，△PAC～△CAB時，當點P′在y軸上時，△P′CA∽△BAC或△P″AC～△BCA，分別求解即可． 【詳解】解：如圖， ?? ∵A(1,0),B(2,0),C(0,1)， ∴OA=OC=1,OB=2,AB=OB?OA=1， ∴AC=2， 當點P在x軸上時，△PAC～△CAB時， ∴ACAB=APAC， ∴21=PA2， ∴PA=2， ∴OP=3， ∴P(3,0)， 當點P′在y軸上時，△P′CA∽△BAC， ∵AC=CA， ∴AB=CP′=1， ∴OP′=2， ∴P′(0,2)． 當△P″AC～△BCA時，有ABAC=ACCP″， ∴CP″=AC2AB=2, ∴OP″=1+2=3, ∴P″0,3, 綜上所述，滿足條件的點P的坐標為3,0或0,2或0,3． 【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會與分類討論的射線思考問題． 【變式4-3】（2023春·山東淄博·九年級統考期末）平面直角坐標系中，直線y=?12x+2和x、y軸交于A、B兩點，在第二象限內找一點P，使△PAO和△AOB相似的三角形個數為(????) ?? A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根據相似三角形的相似條件，畫出圖形即可解決問題． 【詳解】解：如圖， ?? ①分別過點O、點A作AB、OB的平行線交于點P1，則△OAP1與△AOB相似（全等）， ②作AP2⊥OP1，垂足為P2則△AOP2與△AOB相似． ③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，則△AOP3與△AOB相似． ④作AP4⊥OP3垂足為P4，則△AOP4與△AOB相似． 故選C． 【點睛】本題考查相似三角形的判定、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型． 【題型5 確定相似三角形的對數】 【例5】（2023·安徽淮南·統考模擬預測）如圖，把ΔABC繞點A旋轉到ΔADE，當點D剛好落在BC上時，連結CE，設AC,DE，相交于點F，則圖中相似三角形（不含全等）的對數有（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根據旋轉的性質得到△ABC≌△ADE，∠2=∠l，利用三角形內角和得到∠3=∠4，則可判斷△AFE∽△DFC；根據相似的性質得AF：DF=EF：FC，而∠AFD=∠EFC，則可判斷△AFD∽△EFC；由于∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，所以∠3=∠5，于是可判斷△ABD∽△AEC． 【詳解】 ∵把△ABC繞點A旋轉得到△ADE（D與E重合）， ∴△ABC≌△ADE，∠2=∠1， ∴∠3=∠4， ∴△AFE∽△DFC， ∴AF：DF=EF：FC， 又∵∠AFD=∠EFC， ∴△AFD∽△EFC， ∵把△ABC繞點A旋轉得到△ADE（D與E重合）， ∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE， ∴∠3=∠5， ∴△ABD∽△AEC， 綜上，共有3對相似三角形， 故選：C． 【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握知識點是解題關鍵． 【變式5-1】（2023春·河北石家莊·九年級統考期末）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長線上一點，BE交AD于G??， AF⊥BE于F??， 圖中相似三角形的對數是（　?。? A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【詳解】試題解析：∵矩形ABCD ∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=90° ∴△EDG∽△ECB∽△BAG ∵AF⊥BE ∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=90° ∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA ∴△GAF∽△GBA∽△ABF ∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA ∴共有10對 故選D． 【變式5-2】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·九年級?？计谥校┤鐖D，AB與CD相交于點O，且∠OAD=∠OCB，延長AD、CB交于點P，那么圖中的相似三角形的對數為 ． 【答案】3 【詳解】分析：圖中有4對相似三角形，利用相似三角形的判定方法一一證明即可． 詳解： ∵在△ABP與△CDP中，∠BAP=∠DCP，∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP， ∴∠ABP=∠CDP，AP：CP=BP：DP， ∴∠ADO=∠CBO， 又∵∠OAD=∠OCB， ∴△OAD∽△OCB， ∴OAOC=ODOB, ∴OAOD=OCOB， ∵∠AOC=∠DOB， ∴△AOC∽△DOB， ∵在△PAC與△PBD中，∠P=∠P，AP：BP=CP：DP ∴△PAC∽△PBD， 綜上所述，圖中的相似三角形有4對：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB，△PAC∽△PBD，△AOC∽△DOB． 故答案是：4． 點睛：考查了相似三角形的判定．①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似． 【變式5-3】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F是CD上一點，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對數是（　?。? A．1 B． 2 C．3 D．)4 【答案】C 【詳解】FD=k,CF=3k,DE=AE=2k 在RtΔBCF 中，CF=3k,BC=4k,BF=5k 在RtΔDEF 中，DF=k,DE=2k,EF=5k 在RtΔABE 中，AE=2k,AB=4k,BE=25k 在RtΔBEF 中，EF=5k,BE=25k,BF=5k 根據相似三角形的判定，RtΔDEF～RtΔABE～RtΔEBF,故選C. 【題型6 相似三角形的證明】 【例6】（2023春·九年級課時練習）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25． (1)求CE的長； (2)求證：△ABC∽△DEF． 【答案】(1)CE=15 (2)見解析 【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF?CF即可求出CE的長； （2）先求出BC的長，得到ABDE=BCEF，再根據∠B=∠E=90°，即可得證． 【詳解】（1）解：∵DE=15,DF=25,∠E=90°， ∴EF=DF2?DE2=20， ∴CE=EF?CF=15； （2）證明：∵BF=3，CF=5， ∴BC=BF+CF=8， ∵ABDE=615=25，BCEF=820=25， ∴ABDE=BCEF， ∵∠B=∠E=90°， ∴△ABC∽△DEF． 【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定．熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的關鍵． 【變式6-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E是AB上一點，連接DE，BD2=BC·BE. 證明：△BCD∽△BDE. ?? 【答案】見解析 【分析】根據角平分線的定義可得∠DBE=∠CBD，由BD2=BC?BE可得BCBD=BDBE，根據相似三角形的判定定理即可得△BCD∽△BDE. 【詳解】∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE=∠CBD， ∵BD2=BC?BE， ∴BCBD=BDBE， ∴△BCD∽△BDE. 【點睛】本題考查相似三角形的判定，如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，且相對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；正確找出對應邊和對應角是解題關鍵. 【變式6-2】（2013·廣西河池·中考真題）請在圖中補全坐標系及缺失的部分，并在橫線上寫恰當的內容．圖中各點坐標如下：A1，0，B6，0，C1，3，D6，2．線段AB上有一點M，使△ACM∽△BDM，且相似比不等于1．求出點M的坐標并證明你的結論． ???? 解：M（　 　，　 ?。?證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB， ∴∠CAM=∠DBM=　 　度． ∵CA=AM=3，DB=BM=2， ∴∠ACM=∠AMC（　 ?。?，∠BDM=∠BMD（同理）， ∴ ∠ACM=12(180°?　 　)＝45°． ∠BDM＝45°（同理）． ∴∠ACM＝∠BDM． 在△ACM與△BDM中，∠ACNM=∠BDM_______________， ∴△ACM∽△BDM（如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似）． 【答案】詳見解析 【分析】根據題意補圖，應用相似三角形的判定證明即可． 【詳解】解：補全坐標系及缺失的部分如下： ?? M4,0 證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB， ∴∠CAM=∠DBM=90度． ∵CA=AM=3，DB=BM=2， ∴∠ACM=∠AMC（　 等邊對等角 　），∠BDM=∠BMD（同理）， ∴∠ACM=12180°?90°=45°． ∠BDM=45°(同理)． ∴∠ACM=∠BDM． 在△ACM與△BDM中，∠ACM=∠BDM∠CAM=∠DBM， ∴△ACM∽△BDM（如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似）． 【點睛】此題考查了坐標與圖形，相似三角形的判定，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．同時還要注意解題的完整性． 【變式6-3】（2023·河南平頂山·統考一模）三角形的布洛卡點（Brocardpoint）是法國數學家和數學教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現，但他的發(fā)現并未被當時的人們所注意．1875年，布洛卡點被一個數學愛好者法國軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現，并用他的名字命名．如圖1，若△ABC內一點P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α，則點P是△ABC的布洛卡點，∠α是布洛卡角． （1）如圖2，點P為等邊三角形ABC的布洛卡點，則布洛卡角的度數是______；PA、PB、PC的數量關系是______； （2）如圖3，點P為等腰直角三角形ABC（其中∠BAC=90°）的布洛卡點，且∠1=∠2=∠3． ①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明； ②若△ABC的面積為52，求△PBC的面積． 【答案】（1）30°，PA=PB=PC；（2）①△ABP∽△BCP，證明見解析；（3）S△PBC=1． 【分析】（1）根據題意理清布洛卡點、布洛卡角的概念，利用概念來解答； （2）①找△ABP∽△BCP，證明過程利用等腰直角三角形的性質及布洛卡角的概念，通過找出三個角分別對應相等來證明； ②把三角形△ABC面積看作三個三角形面積之和來表示，除所求三角形面積之外的兩個，其中一個根據條件可以利用勾股定理求出面積，另一個可以利用所求三角形面積來表示，建立等式即可求解． 【詳解】解：（1）由題意知：∠BAP=∠CBP=∠ACP， ∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC=∠BCA=∠CAB，AB=BC=AC, ∴△APB≌△BPC， ∴AP=BP， ∴∠PAB=∠PBA， ∴∠PBA=∠PBC,∠PBA+∠PBC=60°， ∴∠PBC=30°， 同理可證得出： ∠BAP=∠CBP=∠ACP=30°， ∠ABP=∠BCP=∠CBP=30°， PA=PB=PC 故答案是：30°，PA=PB=PC． （2）①△ABP∽△BCP 證明：∵△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ABC=∠ACB=45°， 即∠ABP+∠2=∠3+∠BCP=45°， ∵∠2=∠3，∴∠ABP=∠BCP， 又∵∠1=∠2， ∴△ABP∽△BCP. （3）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴S△ABC=12AB?AC=12AC2=52，∴AC=5. ∵△PAB∽△PBC， ∴BPCP=APBP=ABBC=22， ∴AP=22BP，CP=2BP，S△PAB=12S△PBC， ∴CP=2AP. ∵∠APB=∠BPC=180°?(∠1+∠ABP)=180°?(∠2+∠ABP)=135°， ∴∠APC=360°?∠APB?∠BPC=90°. 在Rt△APC中，∵CP=2AP，AC=5， 由勾股定理得AP=1，CP=2， ∴S△APC=12CP?AP=1， ∴S△ABC=S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△PBC+1+12S△PBC=52 ∴S△PBC=1． 【點睛】本題考查了新概念問題、等邊三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性質、相似三角形的判定定理和性質、勾股定理，涉及知識點多，綜合性強，題目較難，解題的關鍵是：通過閱讀材料，弄明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運用所學知識點進行解答． 【題型7 找格點中的相似三角形】 【例7】（2023春·山西臨汾·九年級統考期末）如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與△ABC相似的是（????） ?? A．△FBE B．△BED C．△DFE D．△ABE 【答案】B 【分析】直接利用相似三角形的判定方法結合正方形的性質分析得出答案． 【詳解】解：由題意可得：∠BDE=90°+45°=135°，∠BCA=90°+45°=135°， BD=1，DE=2，BC=2，AC=2， ∵ BDAC=12=22，DEBC=22， ∴ BDAC=DEBC， 又∵∠BDE=∠BCA， ∴△BDE∽△ACB． 故選：B． 【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確得出對應邊的關系是解題關鍵． 【變式7-1】（2023春·湖南衡陽·九年級?？计谥校┤鐖D，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是 ． ?? 【答案】A 【分析】根據網格中的數據求出AB,AC,BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可． 【詳解】解：根據題意可得：AB=32+12=10,BC=2,AC=2, ∴AC:BC:AB=2:2:10, A．三邊之比為1:2:5=2:2:10,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似． B．三邊之比為2:5:3,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似． C．三邊之比為1:5:8=2:10:16,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似． D．三邊之比為2:5:13=2:52:132,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似． 故答案為：A． 【點睛】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關鍵． 【變式7-2】（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網格圖中的格點三角形，那么該網格中所有與△ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數是（???） ?? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】取AB,BC,AC的中點D,F,E，再取網格點M、N，連接格點DE,DF,EF,MN，結合中位線的性質可證明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根據BN=32，BM=4，BA=42，BC=6，可得BNBM=BCBA，結合∠ABC=∠MBN，有△ABC∽△MBN，即可獲得答案． 【詳解】解：如圖，取AB,BC,AC的中點D,F,E，再取網格點M、N，連接格點DE,DF,EF,MN， ?? 則DE∥BC，且DE=12BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC． 同理可證：△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB． ∵BN=32，BM=4，BA=42，BC=6， ∴BNBM=324=32×24×2=BCBA， ∴BNBM=BCBA，∠ABC=∠MBN， ∴△ABC∽△MBN， 綜上，滿足條件的三角形有4個， 故選：D． 【點睛】本題主要考查了中位線的性質、相似三角形的判定等知識，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關鍵． 【變式7-3】（2023春·江蘇泰州·九年級統考期中）定義：我們知道，凸四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這個凸四邊形叫做“自相似四邊形”． 如圖，點A、B、C是正方網格中的格點，在網格中確定格點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是“自相似四邊形”，符合條件的格點D的個數是（????） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【答案】D 【分析】根據題目中“自相似四邊形”的定義，在網格中找到符合條件的點D即可． 【詳解】解：如圖1，由ABD1A=ACD1C=BCAC=105，得△ABC∽△D1AC，故D1為所求點； 如圖2，由ABD2A=BCAB=ACD2B=2，得△ABC∽△D2AB，故D2為所求點； 如圖3，由BCAB=CD3BD3=BD3AD3=2，得△BCD3∽△ABD3，故D3為所求點； 如圖4，由ABD4C=BCCA=ACD4A=105，得△ABC∽△D4CA，故D4為所求點； 如圖5，由ABBC=BCCD5=ACBD5=22，得△ABC∽△BCD5，故D5為所求點； ∴符合條件的格點D的個數有5個． 故選：D． 【點睛】此題是新定義題，主要考查了網格中的勾股定理、判定兩個格點三角形相似，熟練掌握三邊對應成比例的兩個三角形相似是解答此題的關鍵． 【題型8 由圖形相似求線段長度】 【例8】（2023春·安徽·九年級專題練習）矩形ABCD對角線的交點為O，點E在邊AB上，點F在AD的延長線上，連接EF，EO，FO，∠EOF=90°．試探究： ?? (1)如圖1，若EF垂直平分AO，AB=8，AD=4，則AE的長為 ； (2)如圖2，若BE=3，FD=1，則EF的長為 ． 【答案】(1)52 (2)10 【分析】（1）設EF與AO交于點H，根據矩形的性質，得∠ABC=90°，AO=OC=12AC；根據EF垂直平分AO，則AE=EO=12AO，∠AHE=90°；根據相似三角形的判定和性質，得△EAH～△CAB，推出AEAC=AHAB，解出AE，即可； （2）延長EO交CD于點G，連接FG，根據矩形的性質，得AB∥CD，AO=CO，根據平行線的性質，對頂角相等，得△AOE≌△COG，推出AE=CG，OE=OG，再根據∠EOF=90°，OE=OG，得FO是EG的垂直平分線，則EF=GF，根據勾股定理求出FG，即可． 【詳解】（1）設EF與AO交于點H， ∵四邊形ABCD是矩形，AC是對角線， ∴BC=AD=4，∠ABC=90°，OA=12AC， ∵AB=8， ∴AC2=AB2+BC2=82+42=45， ∴OA=25， ∵EF垂直平分AO， ∴AH=OH=5，∠AHE=∠ABC=90°， ∵∠EAH=∠CAB， ∴△EAH～△CAB， ∴AEAC=AHAB=AE45=58， ∴AE=52， 故答案為：52； ?? （2）延長EO交CD于點G，連接FG， ∵四邊形ABCD是矩形 ∴AO=CO，AB∥CD，AB=CD， ∴∠OAE=∠OCG， ∵∠AOE=∠COG， ∴△AOE≌△COG， ∴AE=CG，OE=OG， ∵AB=CD， ∴BE=DG=3， ∵∠EOF=90°，OE=OG， ∴FO是EG的垂直平分線， ∴EF=GF， ∵∠GDF=90°， ∴GF=DG2+DF2=10， ∴EF=10， 故答案為：10． ?? 【點睛】本題考查矩形的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，關鍵是準確作出輔助線構造全等三角形解決問題． 【變式8-1】（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，在等邊△ABC中，點D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32，則DE的長度為（????） ?? A．1 B．43 C．2 D．83 【答案】D 【分析】利用等邊三角形的性質和相似三角形的判定與性質解答即可得出結論． 【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∴∠ADB+∠BAD=180°?∠B=120°． ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=180°?∠ADE=120°， ∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠EDC， ∴∠BAD=∠EDC， ∴△BAD∽△CDE， ∴ BDCE=ADDE， ∴ 4DE=32， ∴DE=83． 故選：D． 【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質． 【變式8-2】（2023春·四川南充·九年級?？茧A段練習）在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE交AB于點F． ?? (1)如圖1，當DE=DA時，求證：AF=EF； (2)如圖2，點E在運動過程中DEEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由； (3)如圖3，若點F為AB的中點，連接DF交AC于點G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點K，當AD=2，CD=23時，求KH的長． 【答案】(1)見解析； (2)DEEF的值不變； (3)KH=9112． 【分析】（1）連接DF，證明Rt△DAF≌Rt△DEFHL，由全等三角形的性質得出AF=EF； （2）如圖，過點E作EM⊥AD于點M，過點E作EN⊥AB于點N，證明△EAM∽△CAD，得出比例線段AMAD=EMCD①，證明△DME∽△FNE，得出比例線段DEEF=EMEN②，由①②可得DEEF=DCAD，則可得出結論； （3）連接GH交EF于點I，由勾股定理求出DF的長，證明△AGF∽△CGD，由相似三角形的性質得出DGGF=DCAF=2，則GFDF=13，由折疊的性質可知GI=IH，GH⊥EF，證明△GFI∽△DFE，由相似三角形的性質得出GIDE=FIEF=GFDF=13，證明△DEK∽△HIK，由相似三角形的性質得出KIEK=IHDE=13，由勾股定理可求出答案． 【詳解】（1）證明：如圖，連接DF，在矩形ABCD中，∠DAF=90°， ?? 又∵DE⊥EF， ∴∠DEF=90°， ∵AD=DE，DF=DF， ∴Rt△DAF≌Rt△DEFHL， ∴AF=EF； （2）解：DEEF的值不變； 如圖，過點E作EM⊥AD于點M，過點E作EN⊥AB于點N， ?? ∴四邊形ANEM是矩形， ∴EN=AM， ∵∠EAM=∠CAD，∠EMA=∠CDA． ∴△EAM∽△CAD， ∴ AMAD=EMCD，即EMEN=CDAD①， ∵∠DEF=∠MEN=90°， ∴∠DEM=∠FEN， 又∵∠DME=∠ENF=90°， ∴△DME∽△FNE， ∴ DEEF=EMEN②， 由①②可得DEEF=DCAD， ∵AD與DC的值不變， ∴ DEEF的值不變； （3）解：連接GH交EF于點I， ?? ∵點F是AB的中點， ∴AF=3， 在Rt△DAF中，DF=DA2+AF2=22+(3)2=7， 由（2）知DEEF=DCAD=232=3， ∴DE=3EF， 在Rt△DEF中，EF=72，DE=212， 又∵AB∥CD， ∴△AGF∽△CGD， ∴ DGGF=DCAF=2， ∴ GFDF=13， 由折疊的性質可知GI=IH，GH⊥EF， 又∵DE⊥EF， ∴GH∥DE， ∴△GFI∽△DFE， ∴ GIDE=FIEF=GFDF=13， ∴EI=23EF=73，GI=IH=216， 又∵GH∥DE， ∴△DEK∽△HIK， ∴ KIEK=IHDE=13， ∴KI=14EI=712， ∴HK=IH2+KI2=9112． 【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，折疊的性質，相似三角形的性質與判定，直角三角形的性質，矩形的性質等知識的綜合運用，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵． 【變式8-3】（2023春·廣東深圳·九年級校聯考階段練習）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長．???? （2）類比探究：如圖2，△ABC中，AC=14，BC=6，點D，E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，DE=2，求AD的長． （3）拓展延伸：如圖3，△ABC中，點D，點E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，延長DE，BC交于點F，AD=4，DE=5，EF=6， 求BD=______． 【答案】(1) AD=4；(2) AD=83；(3) BD=559 【分析】(1)證明△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質得到ADAC=AEAB，把已知數據代入計算，求出AD； (2)在AC上截取CH=CB，連接BH，根據等邊三角形的性質得到CH=BH=BC=6，∠CHB=60°，證明△ADE∽△AHB，根據相似三角形的性質計算即可； (3)過點B作BM⊥DE于點M，過點E作EN⊥AB于點N，設DM=a，用a表示出FM、BM，證明△AEN∽△FMB，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可． 【詳解】(1) ∵∠ADE=∠C=90°，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴ADAC=AEAB， ∵AB=10，AC=8，AE=5， ∴AD8=510， 解得：AD=4． (2)如圖2，在AC上截取CH=CB，連接BH， ∵∠ACB=60°， ∴△BCH為等邊三角形， ∴CH=BH=BC=6，∠CHB=60°， ∴AH=AC?CH=8，∠AHB=120°， ∵∠EDB=60°， ∴∠ADE=120°，∠ADE=∠AHB， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AHB，DEBH=ADAH，即26=AD8， 解得：AD=83． (3)如圖3，過點B作BM⊥DE于點M，過點E作EN⊥AB于點N， ∴∠BMD=∠BME=∠ANE=90°， ∵∠EDN=60°， ∴∠DEN=30°， ∴DN=12DE=52， 則EN=DE2?DN2=523， ∴AN=AD+DN=4+52=132， 設DM=a， ∵∠BDM=60°，∠DMB=30°， ∴∠MBD=30°，BD=2a， ∴BM=BD2?DM2=3a， ∵DE=5，EF=6， ∴MF=DE+EF?DM=11?a， ∵∠BCA=∠F+∠FEC，∠BDE=∠A+∠AED，∠AED=∠FEC， ∠BCA=∠BDE， ∴∠A=∠F， ∴△AEN∽△FMB， ∴NEBM=ANMF，即5233a=13211?a， 解得：a=5518， ∴BD=2a=559． 【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、等邊三角形的性質，正確作出輔助線、熟記三角形相似的判定定理是解題的關鍵．①相似三角形的對應角相等． 如圖，，則有 ．②相似三角形的對應邊成比例． 如圖，，則有 （為相似比）．③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比． 如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有 ④相似三角形周長的比等于相似比． 如圖，∽，則有 ．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方． 如圖，∽，則有 判定定理判定定理1： 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似． 簡稱為兩角對應相等，兩個三角形相似． 如圖，如果，，則 ．判定定理2： 如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似． 簡稱為三邊對應成比例，兩個三角形相似． 如圖，如果，則 ．判定定理3： 如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似． 簡稱為兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．①相似三角形的對應角相等． 如圖，，則有 ．②相似三角形的對應邊成比例． 如圖，，則有 （為相似比）．③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比． 如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有 ④相似三角形周長的比等于相似比． 如圖，∽，則有 ．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方． 如圖，∽，則有 判定定理判定定理1： 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似． 簡稱為兩角對應相等，兩個三角形相似． 如圖，如果，，則 ．判定定理2： 如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似． 簡稱為三邊對應成比例，兩個三角形相似． 如圖，如果，則 ．判定定理3： 如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似． 簡稱為兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．