知識清單
知識點1．菱形的性質
（1）菱形的性質
①菱形具有平行四邊形的一切性質；
②菱形的四條邊都相等；
③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；
④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．
（2）菱形的面積計算
①利用平行四邊形的面積公式．
②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）
知識點2．菱形的判定
①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；
②四條邊都相等的四邊形是菱形．
幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形
知識點3．菱形的判定與性質
（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．
（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）
（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．
題型強化
題型一．菱形的性質
1．（2024春?旬陽市期末）如圖，在菱形中，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出，再由平行線的性質即可得到答案．
【解答】解：四邊形是菱形，，
，，
，
故選：．
【點評】本題主要考查了菱形的性質，熟知菱形的性質是解題的關鍵．
2．（2024春?曲靖期末）菱形的對角線，，則的長為 ．
【分析】由菱形的性質得，，，再由菱形的面積求出，則，然后由勾股定理求出的長即可．
【解答】解：四邊形是菱形，，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案為：．
【點評】本題考查了菱形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質和勾股定理，由菱形的面積求出的長是解題的關鍵．
3．（2024?瑞安市二模）如圖，在菱形中，于點，于點．
（1）求證：．
（2）若，，求的長．
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質得出，，進而利用證明三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得出，進而利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）證明：四邊形是菱形，
，，
于點，于點，
，
在與中，
，
；
（2）解：，
，
，，
．
【點評】此題考查菱形的性質，關鍵是根據(jù)菱形的性質得出，解答．
題型二．菱形的判定
4．（2024春?潼關縣期末）下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標出的數(shù)據(jù)，不一定是菱形的是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質及菱形的判定定理求解即可．
【解答】解：根據(jù)等腰三角形的判定定理可得，平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，
故不符合題意；
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，平行四邊形的對角線互相垂直，即可判定該平行四邊形是菱形，
故不符合題意；
一組鄰角互補，不能判定該平行四邊形是菱形，
故符合題意；
根據(jù)平行四邊形的鄰角互補，對角線平分一個的角，可得平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，
故不符合題意；
故選：．
【點評】此題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質，熟記菱形的判定定理及平行四邊形的性質定理是解題的關鍵．
5．（2024春?富錦市期末）如圖，在中，對角線、相交于點，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件 （答案不唯一） ，使是菱形．
【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：四邊形為平行四邊形，
當或或平分時，四邊形為菱形．
故答案為：（答案不唯一）．
【點評】本題考查了菱形的判定，熟記菱形的判定方法是解題的關鍵．
6．（2024?高青縣校級一模）如圖，在中，，點關于的對稱點為，連接，．求證：四邊形是菱形．
【分析】先根據(jù)關于的對稱點為，得出，，結合，得出，因為對角線互相平分且相等的四邊形即為菱形，即可作答．
【解答】解：如圖，連接交于，
關于的對稱點為，
垂直平分，
，，
，
是等腰三角形
，
四邊形是菱形．
【點評】本題考查了菱形的判定，軸對稱的性質，抓錢舞記憶相關知識點是解題關鍵．
題型三．菱形的判定與性質
7．（2024?碑林區(qū)校級模擬）如圖，四邊形中，，，，連接，的角平分線交，分別于點、，若，，則的長為
A．4B．C．D．
【分析】連接，因為，，，可證四邊形為菱形，從而得到、的長，進而解答即可．
【解答】解：連接．
在直角三角形中，，，根據(jù)勾股定理，得．
，平分，
，
垂直平分，．
．
，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
由勾股定理得出，
，
故選：．
【點評】本題考查勾股定理的運用以及菱形的判定和性質，題目難度適中，根據(jù)條件能夠發(fā)現(xiàn)圖中的菱形是關鍵．
8．（2024春?平原縣期末）如圖，將兩條寬度都為3的紙條重疊在一起，使，則四邊形的面積為 ．
【分析】先根據(jù)兩組對邊分別平行證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)兩張紙條的寬度相等，利用面積求出，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)寬度是3與求出菱形的邊長，然后利用菱形的面積底高計算即可．
【解答】解：紙條的對邊平行，即，，
四邊形是平行四邊形，
兩張紙條的寬度都是3，
，
，
平行四邊形是菱形，即四邊形是菱形．
如圖，過作，垂足為，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質，根據(jù)寬度相等，利用面積法求出邊長相等是證明菱形的關鍵．
9．（2024春?東昌府區(qū)校級期末）如圖，已知點，分別是的邊，上的中點，且；
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求菱形的面積．
【分析】（1）由平行四邊形的性質得出，由直角三角形斜邊上的中線性質得出，，得出，即可得出結論；
（2）連接交于點，解直角三角形求出，由三角形中位線定理求出，得出，菱形的面積，即可得出結果．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
在中，，點是邊的中點，
，
同理，，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接交于點，如圖：
，，，，
，
四邊形是菱形；
，，
是的中位線，
，
，
菱形的面積為．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、三角形中位線定理、菱形的面積公式；熟練掌握菱形的判定與性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．
題型四、利用菱形的性質證明
10．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）下列命題錯誤的是（ ）
A．菱形的四條邊都相等B．菱形的對角線互相平分
C．菱形的對角線互相垂直D．菱形的四個角都相等
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的性質，掌握這些性質是本題的關鍵．
根據(jù)菱形的性質求解即可．
【詳解】A、菱形的四條邊都相等，正確，故選項不符合題意；
B、菱形的對角線互相平分，正確，故選項不符合題意；
C、菱形的對角線互相垂直，正確，故選項不符合題意；
D、菱形的對角相等，但四個角不一定都相等，原說法錯誤，故選項符合題意；
故選：D．
11．（23-24九年級上·廣東揭陽·開學考試）如圖，在菱形中，E，F(xiàn)，G，H分別是菱形四邊的中點，連接，，交于點O，則圖中的菱形共有 個．
【答案】5
【分析】本題主要考查了菱形的性質與判定．根據(jù)四邊形是菱形，E，F(xiàn)，F(xiàn)，H分別是菱形四邊的中點，即可得到，由此求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，E，F(xiàn)，F(xiàn)，H分別是菱形四邊的中點，
∴，
∴四邊形和均為菱形，共5個．
故答案為：5．
12．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在菱形中，，是對角線上一點，是線段的延長線上一點，且，連接，．如圖1，當點是線段的中點時，易證．
(1)如圖②，當點E不是線段的中點，其他條件不變時，請你判斷結論：________；（填“成立”或“不成立”）
(2)如圖③，當點E是線段的延長線上一點，其他條件不變時，結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
【答案】(1)成立
(2)結論成立．證明見解析
【分析】（1）過點作交于點，求證和全等即可找到和的數(shù)量關系；
（2）過點作交延長線于點，同理求證和全等即可找到和的數(shù)量關系．
【詳解】（1）解：結論成立．
證明：過點作交于點，如圖所示．
四邊形為菱形，
，，，
，，
．
，
是等邊三角形，
，．
，
．
，
是等邊三角形，
，
，．
，
，
，
．
故答案為：成立．
（2）解：結論成立．
證明：過點作交延長線于點，如圖所示．
四邊形為菱形，
．
，
是等邊三角形，
，，
．
，
．
，
是等邊三角形，
，，
，．
，
，
，
．
【點睛】本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質；熟練掌握菱形的性質，證明三角形全等和等邊三角形是解決問題的關鍵．
題型五、根據(jù)菱形的性質與判定求角度
13．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，根據(jù)作圖可得四邊形是菱形，進而根據(jù)菱形的性質，即可求解．
【詳解】解：作圖可得
∴四邊形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故選：C．
14．（23-24九年級上·河南平頂山·期中）如圖，是的角平分線，交于E，交于F，且交于O，則 度．

【答案】
【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形為平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質及角平分線的性質得出，故可得出為菱形，根據(jù)菱形的性質即可得出結論．
【詳解】解：如圖：
，，
四邊形為平行四邊形，
，，
是的角平分線，
，
，
為菱形．
，即．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是菱形的判定與性質，平行線性質，等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，根據(jù)題意判斷出四邊形是菱形是解答此題的關鍵．
15．（22-23九年級上·北京海淀·階段練習）在平行四邊形內(nèi)有一點E，使得，作點E關于直線的對稱點F，連接，．
(1)依題補全圖形；
(2)若，求的大小（用含有的式子表示）；
(3)用等式表示線段，和之間的數(shù)量關系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)，證明見解析
【分析】（1）依題補全圖形即可；
（2）根據(jù)軸對稱的性質及已知條件證明四邊形是菱形，設，利用平行線的性質證明，進而得出，再根據(jù)，結合三角形內(nèi)角和定理可得；
（3）作于點M，于點N，根據(jù)勾股定理可得，利用等腰三角形“三線合一”可得，，再證，推出，即可推導得出．
【詳解】（1）解：補全后圖形如下圖所示：
（2）解：如圖，連接，，連接交于點G．
點E點F關于直線對稱，
，，，
又，
四邊形是菱形，
設，則，
平行四邊形中，，
，即，
，
，
，，，
，
，
即；
（3）解：，證明如下：
如圖，作于點M，于點N，
，，
，，
同理，，，
，
在和中，
，
，
．
在中，由勾股定理得，
，
即．
【點睛】本題考查軸對稱的性質、菱形的判定與性質、平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理解直角三角形等，解題的關鍵是綜合運用上述知識，正確作出輔助線，構造．
分層練習
一、單選題
1．如圖，下列條件中不能使成為菱形的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，且，
∴是菱形，故不符合題意；
B、四邊形是平行四邊形，且，
∴是菱形，故不符合題意；
C、四邊形是平行四邊形，且，
∴是菱形，故不符合題意；
D、四邊形是平行四邊形，且，不能判定是菱形，故符合題意，
故選：D．
2．增加了下述條件，仍不能判定平行四邊形是菱形的是（ ）
A．鄰邊相等B．對角線互相垂直
C．對角線相等D．對角線平分一組對角
【答案】C
【分析】此題主要考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關鍵．
根據(jù)菱形的判定方法：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形；逐項判斷即可．
【詳解】解：A、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故此選項正確，不符合題意；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故此選項正確，不符合題意；
C、對角線相等的平行四邊形是矩形不一定是菱形，故此選項錯誤，符合題意；
D、對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，故此選項正確，不符合題意；
故選：C．
3．如圖，為菱形的對角線，已知，（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【答案】C
【分析】此題主要考查了菱形的性質，直接利用菱形的性質可得的度數(shù)，利用角平分線的性質進而得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
4．如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形，若測得之間的距離為，點之間的距離為，則線段的長（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，過點作，過點作，根據(jù)平行四邊形的判定與性質可知，再根據(jù)菱形的性質與判定可知，，，最后利用勾股定理即可解答．本題考查了平行三邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，熟練菱形的判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，過點作，過點作，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴在中，，
故選：．
5．若菱形的周長為，兩鄰角的度數(shù)之比為，則菱形的較短對角線的長為（ ）
A．B． C．D．cm
【答案】B
【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握菱形的性質與等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．
根據(jù)已知可求得菱形的邊長，由菱形的性質可求得其較小的一個內(nèi)角為，從而得到較短的對角線與菱形的兩邊組成一個等邊三角形，則較短的對角線等于其邊長．
【詳解】解：∵菱形的周長為，
∴菱形的邊長為，
設菱形兩鄰角的度數(shù)為，，則，
解得：，
∴菱形的一銳角為，
則較短對角線與菱形的兩邊組成等邊三角形，
較短對角線的長等于菱形的邊長，
∴菱形較短對角線的長等于，
故選：B．
6．如圖，在菱形中，，則菱形的面積為（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】B
【分析】本題考查了菱形的性質．根據(jù)菱形的面積等于其對角線積的一半即可解題．
【詳解】解：四邊形是菱形，對角線，，
，
故選：B．
7．如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形，若測得，之間的距離為，點，之間的距離為，則四邊形面積為( )

A．20B．24C．28D．48
【答案】B
【分析】本題考查了菱形的性質與判定，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半即可求解．
【詳解】解：解：如圖，作于，于，連接，交于點，

由題意知，，
四邊形是平行四邊形．
兩張紙條等寬，
．
，
，
平行四邊形是菱形，
，之間的距離為，點，之間的距離為，
四邊形面積為
故選：B．
8．如圖，四邊形是菱形，等邊的頂點分別在上，且，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由四邊形的四邊都相等，可證得四邊形是菱形，又由等邊的頂點、分別在、上，且，可設，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案．
【詳解】解：四邊形的四邊都相等，
四邊形是菱形，
，，，
，
是等邊三角形，，
，，
，，
由三角形的內(nèi)角和定理得：，
設，
則，
，
，
解得：，
．
故選：B．
【點睛】本題主要考查對菱形的判定和性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質等知識點．注意掌握方程思想的應用是解此題的關鍵．
9．已知四邊形是菱形，給出下列各式：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的性質，向量，根據(jù)大小和方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征和幾何特征，借助于向量可以實現(xiàn)某些代數(shù)問題與幾何問題的相互轉化．
【詳解】解：如圖，
①由菱形圖象可知，的大小，方向一樣，故，①正確；
②這兩個向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長相等，得到②正確；
③，，
，故③正確；
④，，
，，
成立，④正確，
綜上所述，正確的有：①②③④，
故選：D．
10．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于點E，交對角線AC于點P，過點P作PF⊥CD于點F．若△PDF的周長為8．則菱形ABCD的面積為（ ）
A．16B．16C．32D．32
【答案】D
【分析】證是等腰直角三角形，得，，再證是等腰直角三角形，得，，設，則，求出，則，，即可求解．
【詳解】解：四邊形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
設，則，
的周長為8，
，
解得：，
，，，
，
，
，
菱形的面積，
故選：D．
【點睛】本題考查了菱形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、角平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質，證明為等腰直角三角形．
二、填空題
11．如圖，將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形，若，，則A，C兩點間的距離為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了菱形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，連接，由題意得出四邊形是菱形，由菱形的性質可得，證明出是等邊三角形，得出，即可得解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形，
∴，四邊形是菱形，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，即兩點間的距離為2，
故答案為：2．
12．如圖，四邊形是平行四邊形．請?zhí)砑右粋€條件 ，使平行四邊形為菱形．（只填一種情況即可）

【答案】（符合題意即可)
【分析】根據(jù)菱形的判定定理進行求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形．
∴添加，則可得為菱形．（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）
故答案為：（符合題意即可)
【點睛】本題考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定是解題的關鍵．
13．菱形兩對角線之比是，它們的差是，則菱形的兩條對角線的長分別是 ．
【答案】和
【分析】本題考查了菱形，二元一次方程組的應用．理解題意，列出方程是解題的關鍵．
設兩對角線為，，由菱形兩對角線之比是則，由它們的差是，則，列出二元一次方程組為，求解即可．
【詳解】解：設兩對角線為，，由題意可得
，
解得：，
∴菱形的兩條對角線的長分別是和．
14．在菱形中，E，F(xiàn)分別是、上的點，是等邊三角形，若，則的度數(shù)是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查菱形的性質及等邊三角形的性質，平行線有性質，難度一般．
利用菱形以及等邊三角形的性質，設，用表示出和，利用平行線的性質得，求解得，即，進而可求的度數(shù)．
【詳解】解：如圖所示：
在菱形中，、分別在、上，且是等邊三角形，，
，，，
設，則，
故，則，
在菱形，
，，
，
，
解得：，即，
∵，
∴．
故答案為：．
15．如圖，在邊長為6的菱形中，，E為的中點，F(xiàn)是上的一動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查軸對稱?最短路線問題，三角形三邊關系，菱形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，確定F點位置在何處時，取得最小值是解答本題的關鍵．連接，交于，連接交于，由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于對稱，則，根據(jù)三角形三邊關系，進而得到，由此得到當點與重合時，取得最小值，根據(jù)等腰三角形三線合一性質和勾股定理，即可求得．
【詳解】解：連接，交于，連接交于，
由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于對稱，則，
，
當點與重合時，取得最小值．
四邊形是邊長為6的菱形，，
，是等邊三角形，
，
，
在中，，
的最小值為．
故答案為．
16．如圖，在菱形中，，，是對角線的交點，在邊上任取一點E，連接，在邊上取一點F，使，則 ，四邊形的面積為 ．
【答案】 8
【分析】本題主要考查菱形性質、含角的直角三角形性質和割補法求面積的相關內(nèi)容，根據(jù)菱形性質和得為等邊三角形即可求得答案；根據(jù)菱形性質得到點G到的距離相等，由已知得可證明≌則有面積相等，再利用直角三角形性質可以求得邊長，根據(jù)割補法有即可求得答案．
【詳解】解：∵四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴；
過點G作交于點K，作交于點H，如圖，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，
∴≌，
則，
∵，
∴在中，，得，，
∴，，
則，
故答案為：8；．
17．如圖，四邊形是平行四邊形，過點A作于點E，于點F，連接，下列說法：①若，則平行四邊形是菱形；②若是等邊三角形，則；③若平行四邊形是菱形，則．其中說法正確的是 ．（只需填寫正確結論的序號）
【答案】①②③
【分析】利用平行四邊形的面積，若，則，即可由菱形的判定得出平行四邊形是菱形，可判定①正確；由是等邊三角形，得，由四邊形內(nèi)角和可求得，再利用菱形的性質求出，可判定②正確；利用菱形的面積，可得出，再利用等腰三角形的性質可得出，可判定③正確．
【詳解】解：①∵，
又∵，
∴，
∴平行四邊形是菱形，故①正確；
②是等邊三角形，
，
又，，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，故②正確；
③∵平行四邊形是菱形
∴
∵
∴
∴，故③正確；
故答案為：①②③．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的性質，菱形的判定與性質，等腰三角形的性質，四邊形內(nèi)角和，熟練掌握等邊三角形和菱形的判定與性質是解決問題的關鍵．
18．如圖，在菱形中，，在上，將沿翻折至，且剛好過的中點，則 ．
【答案】30°
【分析】由菱形的性質得出AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，得出△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出AD⊥BC，由翻折變換的性質得：=∠D=60°，求出∠CME==30°，即可得出的度數(shù)．
【詳解】解：連接AC，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AD'剛好過BC的中點P，
∴AD⊥BC，
∴∠D'PC=90°，
由翻折變換的性質得：=∠D=60°，
∴∠CME=∠PMD'=30°，
∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°；
故答案為：30°．
【點睛】本題考查了翻折變換的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、直角三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握翻折變換的性質和菱形的性質是解題關鍵．
三、解答題
19．圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，點、在小正方形的頂點上．
(1)在圖①中畫一個四邊形（點、在小正方形的頂點上），使四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形；
(2)在圖②中畫一個四邊形（點、在小正方形的頂點上），使四邊形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且面積為4．
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
【分析】本題考查格點作圖，軸對稱圖形和中心對稱圖形，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質．掌握相關定義和定理，是解題的關鍵；
（1）構造一個平行四邊形即可；
（2）構造一個對角線的長分別為2，4的菱形即可．
【詳解】（1）解：如圖，平行四邊形即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖，菱形即為所求；
20．如圖，在菱形中，，對角線．若過點作，垂足為，求的長．
【答案】
【分析】此題主要考查了菱形的性質，勾股定理，解題關鍵是掌握菱形的對角線互相垂直且平分．
連接，根據(jù)菱形的性質可得，，然后根據(jù)勾股定理計算出長，再算出菱形的面積，然后再根據(jù)面積公式可得答案．
【詳解】解：連接，交于點．
四邊形是菱形，
，，，．
在中，由勾股定理得：，
．
，
，
．
21．指出下列命題中的真命題，對于假命題，分別給出一個反例．
①兩鄰邊相等的四邊形是菱形；
②一條對角線平分一組內(nèi)角的平行四邊形是菱形；
③對角線垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形；
④對角線垂直的四邊形是菱形．
【答案】②是真命題，①③④是假命題
【分析】本題考查了命題真假的判定，解題的關鍵是了解菱形的判定方法，難度不大．
利用菱形的判定方法分別判斷即可．
【詳解】解：如答圖，

①中，但四邊形不是菱形，
故①是腵命題；
②中平分，即．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴，即四邊形是一組鄰邊相等的平行四邊形，故是菱形，
故②是真命題；
③中，，四邊形不一定是平行四邊形，
故③是腵命題；
④中，但與不一定平分，四邊形不一定是菱形，
故④是假命題．
22．如圖所示，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，求的度數(shù)．

【答案】
【分析】中垂線的性質，得到，證明，得到，進而得到，得到，再利用，進行求解即可．
【詳解】解：連接

∵的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，
∴，
∵菱形，
∴，，，
又，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
【點睛】本題考察菱形的性質．熟練掌握菱形的性質，中垂線的性質，是解題的關鍵．
23．如圖，平行四邊形中，，點為的中點，連接.
(1)過點作，交于點（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)求證：四邊形為菱形；
(3)若平行四邊形的周長為18，，求四邊形的面積.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)6
【分析】本題考查作圖-基本作圖，平行四邊形的性質，菱形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
（1）利用作一個角等于已知角作圖即可解題；
（2）先根據(jù)平行四邊形的性質得到，再結合作圖得到四邊形為平行四邊形，然后證明即可得到結論；
（3）連接，先利用勾股定理求出長，再證明是平行四邊形，求出長，利用菱形的性質求面積即可．
【詳解】（1）如圖，即為所作；
（2）證明：∵是平行四邊形，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，點為的中點，
∴，
∴四邊形為菱形；
（3）連接，
設，
∵平行四邊形的周長為18，
∴，即，
∵，即，
解得，
又∵四邊形為菱形，
∴，，
又∵，
∴是平行四邊形，
∴，
∴．
24．如圖，平行四邊形的兩條對角線與相交于點O，E，F(xiàn)是線段上的兩點，且，連接，，，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)從下列條件：①平分，②，③中選擇一個合適的條件添加到題干中，使得四邊形為菱形．我選的是 （請?zhí)顚懶蛱枺?，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)①，見解析（答案不唯一）
【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理，菱形的判定定理，熟練掌握各判定定理并正確應用是解題的關鍵．
（1）利用證明，得出，然后證明，即可得證；
（2）由（1）知：四邊形是平行四邊形，則要證四邊形為菱形，只需證明一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可，如添①平分，則可證；如添③，則可證．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：選①平分，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形 ；
選③，
∵平行四邊形，
∴O為中點，
∵，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
25．綜合與實踐課上，諸葛小組三位同學對含角的菱形進行了探究．
【背景】在菱形中，，作，分別交邊于點．
(1)【感知】如圖，若點是邊的中點，小南經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)了線段與之間的數(shù)量關系 ．
(2)【探究】如圖，小陽說“點為上任意一點時，（）中的結論仍然成立”，你同意嗎？請說明理由；
(3)【應用】小宛取出如圖3所示的菱形紙片，測得，，在邊上取一點，連接，在菱形內(nèi)部作，交于點，當時，請直接寫出線段的長．
【答案】(1)；
(2)同意，理由見解析；
(3)或．
【分析】（）連接，證明即可得證；
（）連接，同法()證明即可得證；
（）過點作于點，分點在點的兩側進行討論求解即可；
本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.
【詳解】（1）解：連接，
∵在菱形中，，
∴，，，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴
故答案為：；
（2）解：同意，理由如下：
連接，
同理（）可得，
∴；
（3）解：過點作于點，
同理（）可知，為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴或，
由（）知，，
∴，
∴或．
26．是等邊三角形，將線段AC繞點A逆時針旋轉得到線段AD，連接BD，交AC于點O，連接CD，過點A作于點P，交BD于點E，連接
(1)如圖1，當時，則______；
(2)如圖2，當時，依題意補全圖
①猜想中結論是否仍然成立，并說明理由；
②求證：
【答案】(1)60
(2)①成立，理由見解析；②見解析
【分析】（1）當時，是等邊三角形，，四邊形ABCD是菱形，可得，易證，因為，所以，進而可求出的值；
（2）依題意畫圖即可；
①成立；，，可得≌，，，則，可得，由三角形內(nèi)角和定理可得的值；
②用截長補短法，在BE上截取，可得是等邊三角形，，證明≌，則，進而可證明
【詳解】（1）解：，，
是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，
四邊形ABCD是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，是等邊三角形，
，
故答案為：60；
（2）解：如圖2所示：
①（1）中結論是否仍然成立，理由如下：
如圖2所示：
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，，
，
≌，
，
，
，，
，
，，
，
，，
；
②如圖3所示：在BE上截取，
，，
是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
【點睛】本題考查了三角形的變換、等腰三角形和等邊三角形的性質、三角形的全等等知識點，用截長補短法構造三角形的全等是解本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．

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