第8章 立體幾何初步 重難點(diǎn)歸納總結(jié) 考點(diǎn)一 體積 【例1】（2023浙江麗水）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積2倍，則圓錐的體積為（????） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·江西）陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也稱(chēng)陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀(guān)圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（????） A． B． C． D． 2．（2022秋·吉林）如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被過(guò)棱、的中點(diǎn)、，頂點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)頂點(diǎn)、的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（????） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2023·河南信陽(yáng)）已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為1：2，母線(xiàn)與底面所成的角為60°，其側(cè)面面積為，則該圓臺(tái)的體積為（????） A． B． C． D． 4．（2023·浙江）（多選）圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（????） A． B． C． D． 考點(diǎn)二 表面積 【例2】（2023遼寧）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為和的正方形，側(cè)面均為腰長(zhǎng)為的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的表面積為（????） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023江蘇無(wú)錫）為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為（????） A． B． C． D． 2（2022上海徐匯）若圓臺(tái)的高是4，母線(xiàn)長(zhǎng)為5，側(cè)面積是，則圓臺(tái)的上、下底面的面積之和是______. 考點(diǎn)三 直線(xiàn)、平面平行 【例3】（2022山東聊城）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)． (1)求證：∥平面； (2)求證：平面∥平面； (3)設(shè)平面與底面的交線(xiàn)為l，求證：． 【一隅三反】 1．（2022青海海南）如圖，四邊形是矩形，平面，平面． (1)證明：平面平面． (2)若平面與平面的交線(xiàn)為，求證： 2．（2022秋·貴州）正的邊長(zhǎng)為2，是邊上的高，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)（如圖甲）.現(xiàn)將沿翻成直二面角（如圖乙）.在圖乙中： (1)求證：平面； (2)求點(diǎn)到平面的距離. 3．（2022秋·上海）（1）敘述兩個(gè)平面平行的判定定理，并證明; （2）如圖，正方體中，分別為的中點(diǎn)，求證:平面平面. 考點(diǎn)四 直線(xiàn)、平面垂直 【例4】（2023浙江麗水）（多選）已知正方體是中點(diǎn)，則（????） A．面 B． C． D．平面 【一隅三反】 1．（2023·海南）（多選）在長(zhǎng)方體中，，，則下列線(xiàn)段與垂直的有（????） A． B． C． D． 2．（2022秋·河北唐山）（多選）如圖，在長(zhǎng)方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（????）. A．直線(xiàn)與是異面直線(xiàn) B．平面 C．平面 D． 3．（2022秋·青海海東）如圖，已知四棱錐的底面ABCD是菱形，，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)． (1)求證：平面BDE； (2)求證：平面平面PAC． 考點(diǎn)五 空間角 【例5】（2022·浙江）（多選）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鰲臑.”其中，陽(yáng)馬是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.如圖，在陽(yáng)馬中底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，側(cè)棱垂直于底面，則（????） A．直線(xiàn)與所成的角為60° B．直線(xiàn)與所成的角為60° C．直線(xiàn)與平面所成的角為30° D．直線(xiàn)與平面所成的角為30° 【一隅三反】 1．（2022春·廣西桂林·高二校考期中）如圖，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（????） A． B． C． D． 2．（2022上海黃浦）過(guò)正方形ABCD之頂點(diǎn)A作平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的度數(shù)為_(kāi)_______． 3．（2022秋·四川達(dá)州）如圖，在四棱錐中，面，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，. (1)證明：直線(xiàn)平面； (2)求二面角的余弦值. 考點(diǎn)六 空間距離 【例6-1】（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).求點(diǎn)到平面的距離等于_______ 【一隅三反】 1．（2022秋·上海黃浦）的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，為平面外一點(diǎn)，它到三邊的距離都等于2，則到平面的距離是________． 2．（2022秋·上海黃浦）若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，與底面成角，則到底面的距離為_(kāi)_________. 3．（2023重慶巫山）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點(diǎn)為F. (1)求證：平面； (2)求直線(xiàn)到面的距離. 4．（2023浙江）已知正方體的棱長(zhǎng)均為1. (1)求到平面的距離； (2)求平面與平面之間的距離. 第8章 立體幾何初步 重難點(diǎn)歸納總結(jié) 考點(diǎn)一 體積 【例1】（2023浙江麗水）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積2倍，則圓錐的體積為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)為l，由題意得，解得， 所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：B 【一隅三反】 1．（2023·江西）陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也稱(chēng)陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀(guān)圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知底面圓的半徑，由，則， 故該陀螺的體積.故選：D. 2．（2022秋·吉林）如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被過(guò)棱、的中點(diǎn)、，頂點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)頂點(diǎn)、的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（????） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】如圖將正方體還原可得如下圖形： 則，，， 所以該幾何體的體積.故選：C 3．（2023·河南信陽(yáng)）已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為1：2，母線(xiàn)與底面所成的角為60°，其側(cè)面面積為，則該圓臺(tái)的體積為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圓臺(tái)軸截面如圖，則，∴.圓臺(tái)高， ∴. 故選：D 4．（2023·浙江）（多選）圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（????） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形， 若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，則底面半徑，， 此時(shí)圓柱的體積 若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，則底面半徑，， 此時(shí)圓柱的體積故選：BD 考點(diǎn)二 表面積 【例2】（2023遼寧）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為和的正方形，側(cè)面均為腰長(zhǎng)為的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的表面積為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)在正四棱臺(tái)中，取側(cè)面， 則，，，如下圖所示： 分別過(guò)點(diǎn)、在側(cè)面內(nèi)作，，垂足分別為、， 因?yàn)?，，?所以，，， 因?yàn)?，，，故四邊形為矩形，故?所以，，， 因此，該四棱臺(tái)的表面積為.故選：C. 【一隅三反】 1．（2023江蘇無(wú)錫）為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意 設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，設(shè)六棱柱的高為3b，六棱錐的高為b， 正六棱柱的側(cè)面積，正六棱錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為 ∴正六棱錐的側(cè)面積， ∵正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，∴，∴∴， 故選：B． 2（2022上海徐匯）若圓臺(tái)的高是4，母線(xiàn)長(zhǎng)為5，側(cè)面積是，則圓臺(tái)的上、下底面的面積之和是______. 【答案】 【解析】設(shè)上下底的半徑分別為，，則母線(xiàn)，高，構(gòu)成一個(gè)直角三角形， 母線(xiàn)為斜邊5，高為直角邊4，由勾股定理得，即， 圓臺(tái)的側(cè)面積，所以，則， 所以圓臺(tái)的上、下底面的面積之和是.故答案為：. 考點(diǎn)三 直線(xiàn)、平面平行 【例3】（2022山東聊城）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)． (1)求證：∥平面； (2)求證：平面∥平面； (3)設(shè)平面與底面的交線(xiàn)為l，求證：． 【答案】證明見(jiàn)解析 【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接， ∵是四棱柱，∴， ∴四邊形為平行四邊形，∴， 又平面平面，∴平面． （2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴， ∵平面平面，∴平面， 由（1）得平面且，平面， ∴平面平面． （3）由（2）得：平面， 又平面，平面平面，∴． 【一隅三反】 1．（2022青海海南）如圖，四邊形是矩形，平面，平面． (1)證明：平面平面． (2)若平面與平面的交線(xiàn)為，求證： 【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?在矩形中，，平面，平面， 所以平面， 又，所以平面平面； (2)證明：， 平面， 又， . 2．（2022秋·貴州）正的邊長(zhǎng)為2，是邊上的高，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)（如圖甲）.現(xiàn)將沿翻成直二面角（如圖乙）.在圖乙中： (1)求證：平面； (2)求點(diǎn)到平面的距離. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【解析】（1）在△ABC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)， 所以. 又平面DEF，平面DEF， 所以平面DEF. （2）在題圖甲中，因?yàn)槭钦母撸?所以， 所以在題圖乙中，，所以是二面角的平面角， 又二面角是直二面角，所以， 由于平面，所以平面. 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以三棱錐的高為. 三角形的面積是， 又是的中點(diǎn)，所以， 所以. 因?yàn)椋?所以. 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則， 解得， 所以點(diǎn)到平面的距離為. 3．（2022秋·上海）（1）敘述兩個(gè)平面平行的判定定理，并證明; （2）如圖，正方體中，分別為的中點(diǎn)，求證:平面平面. 【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）見(jiàn)解析. 【解析】（1）面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，即，，，，， 證明：假設(shè)， ∵，，， ∴，同理可得，， ∴，與矛盾，所以不成立， 所以. （2） 取中點(diǎn)，連接，，， ∵為正方體，，為，中點(diǎn)， ∴，，，， ∴四邊形，為平行四邊形，，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∵平面，平面，， ∴平面∥平面. 考點(diǎn)四 直線(xiàn)、平面垂直 【例4】（2023浙江麗水）（多選）已知正方體是中點(diǎn)，則（????） A．面 B． C． D．平面 【答案】BC 【解析】 與平面相交于點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； ,面 面 面 ,故選項(xiàng)B正確； 連接,為等邊三角形， 為中點(diǎn)， ,,則故選項(xiàng)C正確； 由于,故不垂直于，不垂直于平面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 故選：BC. 【一隅三反】 1．（2023·海南）（多選）在長(zhǎng)方體中，，，則下列線(xiàn)段與垂直的有（????） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如圖所示， 因?yàn)?，所以?cè)面是正方形，所以， 長(zhǎng)方體中，平面，平面， ， 平面，，故平面， 平面， ，A選項(xiàng)正確； 同理平面，平面，，B選項(xiàng)正確； ，所以四邊形為正方形，所以，D選項(xiàng)正確； 易知，交于長(zhǎng)方體的中心O，，在中，可得，故，所以不與垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選：ABD 2．（2022秋·河北唐山）（多選）如圖，在長(zhǎng)方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（????）. A．直線(xiàn)與是異面直線(xiàn) B．平面 C．平面 D． 【答案】AB 【解析】由與平面相交于點(diǎn)，且不在直線(xiàn)上，平面， 故與是異面直線(xiàn)，故A正確； 根據(jù)題意知為長(zhǎng)方體，故平面，故B正確； 取的中點(diǎn)為Q，連接，且，故四邊形為平行四邊形，故， 又與平面相交于點(diǎn)A，故與平面不平行，即與平面不平行，故C錯(cuò)誤； 因?yàn)椋遗c不垂直，所以與也不垂直，故D錯(cuò)誤． 故選：AB． 3．（2022秋·青海海東）如圖，已知四棱錐的底面ABCD是菱形，，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)． (1)求證：平面BDE； (2)求證：平面平面PAC． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【解析】（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接EO， ∵底面ABCD是菱形，O為AC的中點(diǎn)， ∵點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，，??????????? ∵平面BDE，且平面BDE，∴平面BDE； （2）∵底面ABCD是菱形，∴，????????????????? ∵，，平面PAC，平面PAC，???????????? ∴平面PAC，??????????????? 又平面PBD， ∴平面平面PAC． 考點(diǎn)五 空間角 【例5】（2022·浙江）（多選）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鰲臑.”其中，陽(yáng)馬是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.如圖，在陽(yáng)馬中底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，側(cè)棱垂直于底面，則（????） A．直線(xiàn)與所成的角為60° B．直線(xiàn)與所成的角為60° C．直線(xiàn)與平面所成的角為30° D．直線(xiàn)與平面所成的角為30° 【答案】AD 【解析】連接，由底面，所以， 由，是邊長(zhǎng)為1的正方形， 所以，， 對(duì)A，由底面，所以， 又， 所以平面， 由∥， 所以直線(xiàn)與所成的角為直線(xiàn)與所成的角， ，所以，故A正確； 對(duì)B，由是邊長(zhǎng)為1的正方形， 所以，由底面，所以， 又，所以平面， 所以，故B錯(cuò)誤； 對(duì)C，由底面，所以直線(xiàn)與平面所成的角為， 由，所以，故C錯(cuò)誤； 對(duì)D，由底面，所以， 又，， 所以， 直線(xiàn)與平面所成的角為， 由，所以， 所以，故D正確. 故選：AD 【一隅三反】 1．（2022春·廣西桂林·高二?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】連接BD交于，四邊形ABCD為正方形，則為中點(diǎn)， ∵G為△ABC的重心，則G在BD上，且， ∴， ∵PD⊥底面ABCD，∴為PG與底面ABCD所成的角，面ABCD，則， ∴， ∴. 故選：C 2．（2022上海黃浦）過(guò)正方形ABCD之頂點(diǎn)A作平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的度數(shù)為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】根據(jù)已知條件可將四棱錐補(bǔ)成正方體如圖所示： 連接CE，則平面CDP和平面CPE為同一個(gè)平面， 由題可知平面，平面， ∴，，又平面和平面，平面，平面， ∴為平面和平面所成的銳二面角的平面角，大小為. 故答案為：. 3．（2022秋·四川達(dá)州）如圖，在四棱錐中，面，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，. (1)證明：直線(xiàn)平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2). 【解析】（1）證明：點(diǎn)分別為的中點(diǎn)， ， ，， 平面，平面， 平面. （2）解：，， 連接，由得， ，， 所以， ， 底面，底面，， 是平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)， 平面， 平面， 二面角得平面角為， ，，， 所以二面角的余弦值為， 即二面角的余弦值為. 考點(diǎn)六 空間距離 【例6-1】（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).求點(diǎn)到平面的距離等于_______ 【答案】 【解析】因?yàn)槭侵比庵?所以平面，而平面， 所以， 因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以， 由勾股定理可得：， ， 因?yàn)槭堑冗吶切?，是棱的中點(diǎn).， 所以，所以， 因?yàn)椋裕?因此， 因?yàn)槠矫?，平面?所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，所以平面， 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為， 由， 故答案為： 【一隅三反】 1．（2022秋·上海黃浦）的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，為平面外一點(diǎn)，它到三邊的距離都等于2，則到平面的距離是________． 【答案】 【解析】如圖，，則為直角三角形， 作平面于，于，于，于，連接， 由題可知，故， 由平面，平面， 所以，又，平面，平面， 平面，平面， ，同理， 故O是的內(nèi)切圓圓心，設(shè)其半徑為， 則， 所以，所以.故答案為：. 2．（2022秋·上海黃浦）若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，與底面成角，則到底面的距離為_(kāi)_________. 【答案】 【解析】∵正四棱柱， ∴平面平面， 平面， 平面, 到底面的距離為正四棱柱的高 ∵正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，與底面成角， 故答案為:． 3．（2023重慶巫山）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點(diǎn)為F. (1)求證：平面； (2)求直線(xiàn)到面的距離. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2). 【解析】（1）連接BD交AC于O，連接FO， ∵F為AD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，則， ∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF. （2）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD. 由于平面ACF，則PB到平面ACF的距離，即P到平面ACF的距離. 又因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ACF的距離與點(diǎn)D到平面ACF的距離相等. 取AD的中點(diǎn)E，連接EF，CE， 則，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD， 因?yàn)槠矫?，所以?因?yàn)榱庑吻?，?所以，， 則，，，， 設(shè)點(diǎn)D到平面ACF的距離為，由得 即直線(xiàn)PB到平面ACF的距離為. 4．（2023浙江）已知正方體的棱長(zhǎng)均為1. (1)求到平面的距離； (2)求平面與平面之間的距離. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1） 如圖： 設(shè)到平面的距離為，正方體的棱長(zhǎng)均為1， 且面. ,. ??????????????? . （2） 平面,平面. 故平面平面. 到平面的距離等于平面與平面之間的距離，設(shè)為. 即. .

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