典例精講
考點(diǎn)一 多面體
【例1-1】（2022·安徽）關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等
B．四棱錐有四個(gè)頂點(diǎn)
C．三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形
D．有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等
【例1-2】（2022江蘇揚(yáng)州）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺(tái)
D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐
【例1-3】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是______（填序號(hào)）.
①有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；
②有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；
③有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
④用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺(tái)；
⑤存在一個(gè)四棱錐，其四個(gè)側(cè)面都是直角三角形.
【一隅三反】
1．（2022吉林）下列命題中，正確的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方體
B．棱錐的高線(xiàn)可能在幾何體之外
C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（ ）
①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．
②有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．
③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是正六棱錐
A．0個(gè)B．1個(gè)
C．2個(gè)D．3個(gè)
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題：
①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過(guò)斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
考點(diǎn)二 旋轉(zhuǎn)體
【例2-1】（2022山東）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．以直角三角形的一邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
B．以直角梯形的一腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)
C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面
D．一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)
【例2-2】（2022上海）給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；
②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線(xiàn)是圓錐的母線(xiàn)；
③在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓臺(tái)的母線(xiàn)；
④圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)是互相平行的；⑤圓臺(tái)所有母線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)其中正確的命題是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
【一隅三反】
1．（2022云南）下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球
B．直角三角形繞一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體
D．用一個(gè)平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺(tái)
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：
①圓柱的母線(xiàn)與它的軸可以不平行；
②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線(xiàn)都可以構(gòu)成直角三角形；
③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓臺(tái)的母線(xiàn)；
④圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)是互相平行的.
其中正確的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
考點(diǎn)三 組合體
【例3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（ ）
A．由兩個(gè)圓錐組合成的
B．由兩個(gè)圓柱組合成的
C．由一個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱組合成的
D．由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合成的
【例3-2】（2022廣東）如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（ ）
A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱
B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱
C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐
D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的平面軸對(duì)稱(chēng)圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，下面說(shuō)法不正確的是 ( )
A．該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體
B．該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱(chēng)
C．該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)
D．該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是
A．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱
C．一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱臺(tái)中挖去一個(gè)圓柱
3．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列關(guān)于球體的說(shuō)法正確的是（ ）
A．球體是空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
B．球面是空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
C．一個(gè)圓繞其直徑所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D．球的對(duì)稱(chēng)軸只有1條
考點(diǎn)四 展開(kāi)圖
【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖是一個(gè)正方體展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成正方體后“抗”字一面相對(duì)面上的字是（ ）
A．新B．冠C．病D．毒
【一隅三反】
1．（2022·湖南）如圖都是正方體的表面展開(kāi)圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）紙質(zhì)的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)，里面朝上展平得到如圖所示平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是（ ）
A．南B．北C．西D．下
3．（2022·高一單元測(cè)試）如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，則圖中“有”在正方體中所在的面的對(duì)面上的是（ ）
A．者B．事C．竟D．成
考點(diǎn)五 最短距離
【例5-1】（2022·廣西）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點(diǎn)E，則螞蟻爬行的最短距離為（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2022春·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谥校┰陂L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分別為棱AA1，C1D1的中點(diǎn)則從點(diǎn)P出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)點(diǎn)Q的最短路徑的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在正三棱錐中，，，一只蟲(chóng)子從點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到點(diǎn)，則蟲(chóng)子爬行的最短距離是（ ）
A．4B．C．D．
【例5-4】（2022春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一新疆石河子一中校考階段練習(xí)）如圖所示，某圓錐的高為，底面半徑為1，O為底面圓心，OA，OB為底面半徑，且∠AOB=M是母線(xiàn)PA的中點(diǎn)，則在此圓錐側(cè)面上，從M到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．-1C．D．+1
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）邊長(zhǎng)為5 cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是（ ）
A．10cmB．5cm
C．5cmD．cm
2．（2022·福建）如圖是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（ ）
A．cmB．cmC．9cmD．cm
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在四面體中，，與直線(xiàn)，均垂直，且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點(diǎn)，則其爬過(guò)的路程最小值為（ ）
A．B．C．D．
4（2022春·河北張家口·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則其爬行的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為，則圓錐的底面圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)六 截面問(wèn)題
【例6-1】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用一個(gè)平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是（ ）
①等邊三角形 ②直角梯形 ③菱形 ④五邊形
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【例6-2】（2022·高一單元測(cè)試）已知正方體，棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)，D，E三點(diǎn)的正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【例6-3】．（2022福建）如圖：正三棱錐中，，側(cè)棱，平行于過(guò)點(diǎn)的截面，則平面與正三棱錐側(cè)面交線(xiàn)的周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【例6-4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過(guò)高的中點(diǎn)平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（ ）
A．B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知過(guò)的平面與正方體相交，分別交棱，于，.則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中，不正確的是（ ）
A．截面可能是矩形B．截面可能是菱形
C．截面可能是梯形D．截面不可能是正方形
2．（2022湖北）如圖，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都等于，過(guò)不相鄰的兩條棱作截面，則截面的面積為
A．B．
C．D．
3（2022春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎襟w的棱長(zhǎng)為6，E、F分別是、的中點(diǎn)，則平面CEF截正方體所得的截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
8.1 基本立體圖形（精講）
思維導(dǎo)圖
典例精講
考點(diǎn)一 多面體
【例1-1】（2022·安徽）關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等
B．四棱錐有四個(gè)頂點(diǎn)
C．三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形
D．有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等
【答案】B
【解析】對(duì)于A：根據(jù)棱柱的定義可以判斷棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.故A正確；
對(duì)于B：根據(jù)棱柱的定義可以判斷四棱錐有五個(gè)頂點(diǎn)．故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C、D：根據(jù)棱臺(tái)的定義可以判斷三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形，正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.故C、D正確. 故選：B.
【例1-2】（2022江蘇揚(yáng)州）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺(tái)
D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐
【答案】D
【解析】因?yàn)橛袃蓚€(gè)面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B錯(cuò)誤；而一個(gè)平行于底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)，所以棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)橛幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐，所以D正確.故選：D.
【例1-3】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是______（填序號(hào)）.
①有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；
②有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；
③有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
④用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺(tái)；
⑤存在一個(gè)四棱錐，其四個(gè)側(cè)面都是直角三角形.
【答案】⑤
【解析】對(duì)于①，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故①不正確；
對(duì)于②，如圖1中的幾何體，滿(mǎn)足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但其不是棱柱，故②不正確；
對(duì)于③，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，故③不正確；
對(duì)于④，由棱臺(tái)的定義，知截面和棱錐的底面平行，故④不正確；
對(duì)于⑤，如圖2所示，在正方體中，四棱的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，故⑤正確.
圖1 圖2
故答案為：⑤．
【一隅三反】
1．（2022吉林）下列命題中，正確的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方體
B．棱錐的高線(xiàn)可能在幾何體之外
C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
【答案】B
【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；
斜棱錐的高線(xiàn)有可能在幾何體之外，故B正確；
根據(jù)棱柱的定義可得，有兩個(gè)面互相平行，
有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿(mǎn)足選項(xiàng)C條件的幾何體可能是組合體.故C錯(cuò)誤；
有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（ ）
①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．
②有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．
③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是正六棱錐
A．0個(gè)B．1個(gè)
C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】A
【解析】①不正確．棱錐的定義是：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．
②如圖1，不正確，側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)可能不交于一點(diǎn).
③錯(cuò)誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：
三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿(mǎn)足底面BCD為等邊三角形．三個(gè)側(cè)面ABD，
ABC，ACD都是等腰三角形，但AC長(zhǎng)度不一定等于AD，即三條側(cè)棱不一定全部相等．
④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個(gè)全等的小正三角形，三角形所有邊長(zhǎng)相等，從而不存在答案所說(shuō)的正六棱錐.
故選：A.
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題：
①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過(guò)斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】①如圖1，滿(mǎn)足有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形，
顯然不是棱柱，故①錯(cuò)誤；
②如圖2，滿(mǎn)足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯(cuò)誤；
③如圖3，四邊形為矩形，
即過(guò)斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯(cuò)誤；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因?yàn)閮傻酌娌灰欢ㄊ钦叫?，④錯(cuò)誤．故選：A
考點(diǎn)二 旋轉(zhuǎn)體
【例2-1】（2022山東）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．以直角三角形的一邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
B．以直角梯形的一腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)
C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面
D．一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)
【答案】C
【解析】以直角三角形的直角邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是是兩個(gè)同底圓錐的組合體，A錯(cuò)；
以直角梯形的直角腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，B錯(cuò)；
圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，正確；
平行于圓錐底面平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，如果截面不平行于底面，則截得的不是圓錐和圓臺(tái)，D錯(cuò).
故選：C.
【例2-2】（2022上海）給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；
②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線(xiàn)是圓錐的母線(xiàn)；
③在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓臺(tái)的母線(xiàn)；
④圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)是互相平行的；⑤圓臺(tái)所有母線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)其中正確的命題是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
【答案】D
【解析】由于圓柱母線(xiàn)所在的直線(xiàn)互相平行且與旋轉(zhuǎn)軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，
這兩點(diǎn)的連線(xiàn)與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行，故①錯(cuò)誤，④正確；由圓錐母線(xiàn)的定義知②正確；
在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線(xiàn)不一定是母線(xiàn)，
且圓臺(tái)所有母線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，故③錯(cuò)誤，⑤正確.故選：D.
【一隅三反】
1．（2022云南）下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球
B．直角三角形繞一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體
D．用一個(gè)平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺(tái)
【答案】B
【解析】因?yàn)榘雸A弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故錯(cuò)誤；
當(dāng)以直角三角形的直角邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故正確；
當(dāng)兩個(gè)平行截面不平行于上、下兩個(gè)底面時(shí)，兩個(gè)平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故錯(cuò)誤；
圓錐的截面不與底面平行時(shí)，圓錐底面與截面組成的部分不是圓臺(tái)，故錯(cuò)誤.
故選：B.
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：
①圓柱的母線(xiàn)與它的軸可以不平行；
②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線(xiàn)都可以構(gòu)成直角三角形；
③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓臺(tái)的母線(xiàn)；
④圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)是互相平行的.
其中正確的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】D
【解析】由圓柱的母線(xiàn)無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置都與軸平行，故①錯(cuò)誤；
圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的，
故②正確；
③中連接的線(xiàn)可能存在與軸異面的情況，而圓臺(tái)的母線(xiàn)與軸共面，故③錯(cuò)誤；
④由于圓柱中任意母線(xiàn)均與軸平行，故其中任意兩條母線(xiàn)相互平行，故④正確；
綜上可知②④正確，①③錯(cuò)誤.故選：D.
考點(diǎn)三 組合體
【例3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（ ）
A．由兩個(gè)圓錐組合成的
B．由兩個(gè)圓柱組合成的
C．由一個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱組合成的
D．由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合成的
【答案】D
【解析】由圖知：該組合體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合成的，故選：D
【例3-2】（2022廣東）如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（ ）
A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱
B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱
C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐
D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)
【答案】C
【解析】圖中的幾何體為一個(gè)棱柱截去一個(gè)角，截去的角是一個(gè)棱錐.故選C.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的平面軸對(duì)稱(chēng)圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，下面說(shuō)法不正確的是 ( )
A．該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體
B．該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱(chēng)
C．該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)
D．該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)
【答案】A
【解析】將該幾何體繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，該組合體是由圓臺(tái)、圓柱、圓錐和球，半球
組成的，由此A選項(xiàng)錯(cuò)誤故選A
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是
A．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱
C．一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱臺(tái)中挖去一個(gè)圓柱
【答案】B
【解析】螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內(nèi)有一個(gè)圓，所以螺母可以看成一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱.故選B.
3．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列關(guān)于球體的說(shuō)法正確的是（ ）
A．球體是空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
B．球面是空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
C．一個(gè)圓繞其直徑所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D．球的對(duì)稱(chēng)軸只有1條
【答案】BC
【解析】空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，所以A錯(cuò)誤，B正確；
由球體的定義，知C正確；球的每一條直徑所在的直線(xiàn)均為它的對(duì)稱(chēng)軸，所以D錯(cuò)誤.故選:BC.
考點(diǎn)四 展開(kāi)圖
【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖是一個(gè)正方體展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成正方體后“抗”字一面相對(duì)面上的字是（ ）
A．新B．冠C．病D．毒
【答案】C
【解析】將展開(kāi)圖折疊成正方體可得“擊”字與“冠”字相對(duì)，“抗”字與“病”字相對(duì)，“新”字與“毒”字相對(duì)，
故選：C.
【一隅三反】
1．（2022·湖南）如圖都是正方體的表面展開(kāi)圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
【答案】B
【解析】（1）圖還原正方體后，①⑤對(duì)面，②④對(duì)面，③⑥對(duì)面；
（2）圖還原后，①④對(duì)面，②⑤對(duì)面，③⑥對(duì)面；
（3）圖還原后，①④對(duì)面，②⑤對(duì)面，③⑥對(duì)面；
（4）圖還原后，①⑥對(duì)面，②⑤對(duì)面，③④對(duì)面；
綜上可得，還原成正方體后，正方體完全一樣的是（2）（3）．故選：B．
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）紙質(zhì)的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)，里面朝上展平得到如圖所示平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是（ ）
A．南B．北C．西D．下
【答案】A
【解析】
由題意，正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)面之間一定相隔一個(gè)正方形，
再由展開(kāi)圖是里面朝上展平得到的，根據(jù)“上北下南，左西右東”，因此標(biāo)“△”的面的方位是南.故選：A
3．（2022·高一單元測(cè)試）如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，則圖中“有”在正方體中所在的面的對(duì)面上的是（ ）
A．者B．事C．竟D．成
【答案】A
【解析】根據(jù)正方體的表面展開(kāi)圖，換元成正方體，如圖所示：
其中“者”在最里面，“有”在最外面．構(gòu)成對(duì)面關(guān)系．
故選：A．
考點(diǎn)五 最短距離
【例5-1】（2022·廣西）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點(diǎn)E，則螞蟻爬行的最短距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將圓柱側(cè)面展開(kāi)半周，則展開(kāi)矩形長(zhǎng)為，
，.故選：C.
【例5-2】（2022春·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谥校┰陂L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分別為棱AA1，C1D1的中點(diǎn)則從點(diǎn)P出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)點(diǎn)Q的最短路徑的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意在長(zhǎng)方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，
若按照如下方式展開(kāi)，則
若按照如下方式展開(kāi)，則
若按照如下方式展開(kāi)，則
所以
故選：C
【例5-3】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在正三棱錐中，，，一只蟲(chóng)子從點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到點(diǎn)，則蟲(chóng)子爬行的最短距離是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，
連接與分別交于兩點(diǎn)，
將三棱錐由展開(kāi)，則，
為蟲(chóng)子爬行從點(diǎn)沿側(cè)面到棱上的點(diǎn)處，再到棱上的點(diǎn)處，
然后回到點(diǎn)的最短距離，
∵，
∴由勾股定理可得，
所以蟲(chóng)子爬行的最短距離4，
故選：A.
【例5-4】（2022春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一新疆石河子一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某圓錐的高為，底面半徑為1，O為底面圓心，OA，OB為底面半徑，且∠AOB=M是母線(xiàn)PA的中點(diǎn)，則在此圓錐側(cè)面上，從M到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．-1C．D．+1
【答案】A
【解析】【如圖為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，,
，則，
在中，，
則，
為M到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng).
故選：A.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）邊長(zhǎng)為5 cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是（ ）
A．10cmB．5cm
C．5cmD．cm
【答案】D
【解析】圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，
展開(kāi)后，
∴，即為所求最短距離．故選:D.
2．（2022·福建）如圖是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（ ）
A．cmB．cmC．9cmD．cm
【答案】B
【解析】第一種情況：把所看的前面和上面組成一個(gè)平面，如圖所示，
則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為和，
所以所走的路程最短線(xiàn)段為；
第二種情況：把看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖所示，
則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為和，
所以所走的路程最短線(xiàn)段為；
第三種情況：把看到的前面與右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖所示，
則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為和，
所以所走的路程最短線(xiàn)段為；
故選：B.
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在四面體中，，與直線(xiàn)，均垂直，且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點(diǎn)，則其爬過(guò)的路程最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?，所以平面，所以平面平面，將底面旋轉(zhuǎn)，以為軸，旋轉(zhuǎn)至平面與平面共面，如圖，此時(shí)的直線(xiàn)距離即為最短距離，設(shè)到直線(xiàn)的距離為，則，所以.
故選：A
4（2022春·河北張家口·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則其爬行的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為，則圓錐的底面圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖為半圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，
連接，則的長(zhǎng)為螞蟻爬行的最短路線(xiàn)長(zhǎng)，
設(shè)展開(kāi)圖的扇形的圓心角為，
根據(jù)題意得，
在中，，所以，
所以扇形弧長(zhǎng)為，
所以圓錐底面圓的周長(zhǎng)為，即，得.故選：A
考點(diǎn)六 截面問(wèn)題
【例6-1】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用一個(gè)平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是（ ）
①等邊三角形 ②直角梯形 ③菱形 ④五邊形
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】如圖，用一個(gè)平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是等邊三角形，菱形，五邊形，
故選：C
【例6-2】（2022·高一單元測(cè)試）已知正方體，棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)，D，E三點(diǎn)的正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正方體中，平面，
則平面與平面的唯一交線(xiàn)與平行.
取中點(diǎn)F，連接、、、，
則四邊形即為經(jīng)過(guò)，D，E三點(diǎn)的正方體的截面
梯形中，，，
則梯形的高為
則梯形的面積為故選：A
【例6-3】．（2022福建）如圖：正三棱錐中，，側(cè)棱，平行于過(guò)點(diǎn)的截面，則平面與正三棱錐側(cè)面交線(xiàn)的周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如圖所示：沿著側(cè)棱把正三棱錐展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，
則即為截面周長(zhǎng)的最小值，
且，
在中，由余弦定理得：
，
.
故選：B.
【例6-4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過(guò)高的中點(diǎn)平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意，底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過(guò)高的中點(diǎn)平行于底面的平面所截，
設(shè)截面圓的半徑為，由，可得，可得，
所以截得的截面圓的面積為.
故選：A.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知過(guò)的平面與正方體相交，分別交棱，于，.則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中，不正確的是（ ）
A．截面可能是矩形B．截面可能是菱形
C．截面可能是梯形D．截面不可能是正方形
【答案】C
【解析】如下圖，當(dāng)分別與對(duì)角頂點(diǎn)重合時(shí)，顯然是矩形；
如下圖，當(dāng)，為，的中點(diǎn)時(shí)，顯然是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定理易知：不可能為正方形；
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，其它情況下為平行四邊形；
綜上，C不正確.故選：C.
2．（2022湖北）如圖，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都等于，過(guò)不相鄰的兩條棱作截面，則截面的面積為
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，底面ABCD是正方形，∴AC＝a．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又AC＝a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2.本題選擇C選項(xiàng).
3（2022春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎襟w的棱長(zhǎng)為6，E、F分別是、的中點(diǎn)，則平面CEF截正方體所得的截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】延長(zhǎng)EF交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，連接CN交AB于點(diǎn)G，連接FG；延長(zhǎng)FE交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接CM交點(diǎn)H，連接EH；
則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG．
∵E、F分別是、的中點(diǎn)，則易知AN＝，
∴AN＝，∴，
∴，，；
同理，，，；
∴平面CEF截正方體所得截面的周長(zhǎng)為：
EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．
故答案為：.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.1 基本立體圖形

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