典例精講
考點(diǎn)一 斜二測(cè)畫法的概念理解
【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于斜二測(cè)畫法，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．平行直線的直觀圖仍然是平行直線
B．垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線
C．直觀圖中分別與兩條坐標(biāo)軸重合的直線，實(shí)際的位置是相互垂直的
D．線段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是中點(diǎn)
【例1-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知等腰三角形，則在如圖所示的四個(gè)圖中，可能是的直觀圖的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【
【一隅三反】
1．（2022春·吉林長春·高一統(tǒng)考期末）（多選）用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．相等的線段在直觀圖中仍然相等
B．平行的線段在直觀圖中仍然平行
C．一個(gè)角的直觀圖仍是一個(gè)角
D．相等的角在直觀圖中仍然相等
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于“斜二測(cè)畫法”，下列說法不正確的是______．（填序號(hào)）
①原圖形中平行于軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于軸，長度不變；
②原圖形中平行于軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼模?br>③畫與直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的時(shí)，必須是；
④在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同．
考點(diǎn)二 斜二測(cè)畫法畫平面圖形
【例2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（ ）
A． B．
C．D．
【例2-2】（2022春·上海閔行·高一?？计谀┰谛倍y(cè)畫法的規(guī)則下，下列結(jié)論正確的是（ ）
（1）三角形的直觀圖一定是三角形 （2）正方形的直觀圖一定是菱形
（3）等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形 （4）菱形的直觀圖一定是菱形
A．（1）（2）B．（1）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【一隅三反】
1（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）斜二測(cè)畫法是繪制直觀圖的常用方法，下列關(guān)于斜二測(cè)畫法和直觀圖的說法正確的是（ ）
A．矩形的直觀圖一定是矩形
B．等腰三角形的直觀圖一定是等腰三角形
C．平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形
D．菱形的直觀圖一定是菱形
2．（2022山西）用斜二測(cè)畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定），并由此探尋直觀圖面積與原圖形面積之間的關(guān)系.
(1)矩形；(2)平行四邊形；(3)正三角形；(4)正五邊形
.
考點(diǎn)三 斜二測(cè)畫法畫空間圖形
【例3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫長、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長方體的直觀圖．
【例3-2】．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）畫出一個(gè)正六棱柱的直觀圖，底面為邊長為3的正六邊形，高為5．
【例3-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測(cè)畫法畫出此正四棱臺(tái)的直觀圖．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，繞BC邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的空間圖形是由哪些簡(jiǎn)單的空間圖形構(gòu)成的？畫出這個(gè)空間圖形的直觀圖.若繞AC邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周呢？
2．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知一棱柱的底面是邊長為的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長為，試用斜二測(cè)畫法畫出此棱柱的直觀圖.
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直觀圖．
考點(diǎn)四 斜二測(cè)畫法的相關(guān)計(jì)算
【例4-1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）已知正△ABC的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是（ ）
A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2
【例4-2】（2022春·廣東東莞·高一東莞市東華高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是（ ）
A．14B．10C．28D．14
【例4-3】．（2022春·廣東廣州·高一西關(guān)外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)梯形的直觀圖，則在直觀圖中，梯形的高為___________.
【一隅三反】
1．（2022廣東佛山）如圖，水平放置的的斜二測(cè)直觀圖為，已知，則的周長為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·河北保定·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知通過斜二測(cè)畫法得到的直觀圖是面積為2的等腰直角三角形，則為（ ）
A．面積為的等腰三角形B．面積為的等腰三角形
C．面積為的直角三角形D．面積為的直角三角形
3．（2022春·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·高一單元測(cè)試）用斜二測(cè)畫法畫△ABC的直觀圖為如圖所示的△，其中，，則△ABC的面積為（ ）
A．1B．2C．D．
8.2 立體圖形的直觀圖（精講）
思維導(dǎo)圖
典例精講
考點(diǎn)一 斜二測(cè)畫法的概念理解
【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于斜二測(cè)畫法，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．平行直線的直觀圖仍然是平行直線
B．垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線
C．直觀圖中分別與兩條坐標(biāo)軸重合的直線，實(shí)際的位置是相互垂直的
D．線段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是中點(diǎn)
【答案】B
【解析】對(duì)于A，平行直線在直觀圖中長度可能會(huì)變化，但平行關(guān)系不變，A正確；
對(duì)于B，平行于軸和軸的兩條直線，在直觀圖中夾角為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直觀圖中與兩條坐標(biāo)軸重合的直線，還原后與平面直角坐標(biāo)系中的軸重合，實(shí)際位置互相垂直，C正確；
對(duì)于D，線段的中點(diǎn)在直觀圖中依然會(huì)是該線段直觀圖畫法中的中點(diǎn)，D正確.
故選：B.
【例1-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知等腰三角形，則在如圖所示的四個(gè)圖中，可能是的直觀圖的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】D
【解析】根據(jù)坐標(biāo)軸夾角為或，等腰三角形的直觀圖如圖所示：
只有③④符合故選：D
【一隅三反】
1．（2022春·吉林長春·高一統(tǒng)考期末）（多選）用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．相等的線段在直觀圖中仍然相等
B．平行的線段在直觀圖中仍然平行
C．一個(gè)角的直觀圖仍是一個(gè)角
D．相等的角在直觀圖中仍然相等
【答案】BC
【解析】由斜二測(cè)畫法原則：平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，
平行于x軸且相等的線段在直觀圖中仍相等，而不是所有相等線段都能相等，A錯(cuò)誤；
平行線段在直觀圖中仍然平行，B正確；
一個(gè)角在直觀圖中也是一個(gè)角的形式出現(xiàn)，C正確；
如直角梯形在直觀圖中與直角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角不相等，D錯(cuò)誤.
故選：BC
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于“斜二測(cè)畫法”，下列說法不正確的是______．（填序號(hào)）
①原圖形中平行于軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于軸，長度不變；
②原圖形中平行于軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼模?br>③畫與直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的時(shí)，必須是；
④在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同．
【答案】③
【解析】原圖形中平行于軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于軸，長度不變，故①正確；
原圖形中平行于軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼?，故②正確；
畫與直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系時(shí)，也可以是，故③錯(cuò)誤；
在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同，故④正確.
故答案為：③.
考點(diǎn)二 斜二測(cè)畫法畫平面圖形
【例2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【解析】先作出一個(gè)正三角形，
然后以所在直線為軸，以邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
畫對(duì)應(yīng)的軸，使夾角為，
畫直觀圖時(shí)與軸平行的直線的線段長度保持不變，與軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到的圖形如圖，
然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖如圖，
故選：A
【例2-2】（2022春·上海閔行·高一校考期末）在斜二測(cè)畫法的規(guī)則下，下列結(jié)論正確的是（ ）
（1）三角形的直觀圖一定是三角形 （2）正方形的直觀圖一定是菱形
（3）等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形 （4）菱形的直觀圖一定是菱形
A．（1）（2）B．（1）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】B
【解析】由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知（1）正確，（2）錯(cuò)誤；
（3）中的平行性質(zhì)不變，但梯形兩底平行且長度不相等，故在直觀圖中平行且長度不相等，故可能為平行四邊形，（3）錯(cuò)誤；
（4）中由平行于軸的長度不變，平行于軸的長度減半，故菱形的直觀圖為平行四邊形，（4）錯(cuò)誤；
故選：B.
【一隅三反】
1（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）斜二測(cè)畫法是繪制直觀圖的常用方法，下列關(guān)于斜二測(cè)畫法和直觀圖的說法正確的是（ ）
A．矩形的直觀圖一定是矩形
B．等腰三角形的直觀圖一定是等腰三角形
C．平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形
D．菱形的直觀圖一定是菱形
【答案】C
【解析】對(duì)A，矩形的直觀圖可以是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，等腰三角形的直觀圖的兩腰不相等，不一定為等腰三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則線段的平行性不變，所以平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形，故C正確；
對(duì)D，菱形的直觀圖中，一組對(duì)邊長度可以改變，所以直觀圖不一定是菱形，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．（2022山西）用斜二測(cè)畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定），并由此探尋直觀圖面積與原圖形面積之間的關(guān)系.
(1)矩形；(2)平行四邊形；(3)正三角形；(4)正五邊形
【答案】答案見解析
【解析】(1)解：根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得：
設(shè)，，則，直觀圖中邊邊上的高為，
因此，設(shè)直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.
(2)解：根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得：
設(shè)，，則，直觀圖中邊邊上的高為，
因此，設(shè)直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.
(3)解：根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得：
設(shè)，，則，直觀圖中邊邊上的高為，
因此，設(shè)直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.
(4)解：根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得：
設(shè)，，則，的邊邊上的高為，
所以，，
同理可得，，，，
設(shè)五邊形的面積為，直觀圖五邊形的面積為，
則
.
考點(diǎn)三 斜二測(cè)畫法畫空間圖形
【例3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫長、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長方體的直觀圖．
【答案】作圖見解析
【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，底面矩形的直觀圖為平行四邊形．
①畫出水平放置的長、寬分別是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直觀圖．
②作Az垂直于AB，在Az軸上截?。?br>分別過點(diǎn)B、C、D作，，，且．
③連接、、、，并擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，即得長方體的直觀圖，如圖2所示．
【例3-2】．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）畫出一個(gè)正六棱柱的直觀圖，底面為邊長為3的正六邊形，高為5．
【答案】答案見解析
【解析】（1）畫軸.如圖，畫x,y,z軸，三軸相交于O，使得 .
（2）畫底面.在x軸上以O(shè)為中點(diǎn)截取線段FC，使FC=6cm,在y軸上以O(shè)為中點(diǎn)取線段GH,
使 ,分別過點(diǎn)G,H作x軸的平行線，并在平行線上分別以G,H為中點(diǎn)截取AB=3cm,ED=3cm,
連接BC,CD,EF,FA,則六邊形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直觀圖.
（3）畫側(cè)棱.在z軸正半軸上取線段,使，過A,B,C,D,E,F各點(diǎn)作z軸的平行線，
在這些平行線上分別截取5cm長的線段 .
（4）成圖.順次連接,并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），得到所要求作的正六棱柱的直觀圖

【例3-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測(cè)畫法畫出此正四棱臺(tái)的直觀圖．
【答案】答案見解析
【解析】（1）畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）畫下底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過G，H分別作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中點(diǎn)為G，CD的中點(diǎn)為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺(tái)的下底面ABCD的直觀圖．
（3）畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標(biāo)系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．
（4）連接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺(tái)的直觀圖
如圖②）．
【一隅三反】
1．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，繞BC邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的空間圖形是由哪些簡(jiǎn)單的空間圖形構(gòu)成的？畫出這個(gè)空間圖形的直觀圖.若繞AC邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周呢？
【答案】答案見解析
【解析】在圖(1)中，過A作AO⊥BC于O，如圖，
顯然，是由公共直角邊OA，且另外一條直角邊在旋轉(zhuǎn)軸上的兩個(gè)直角三角形拼接而成，
則繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體，是與繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周的兩個(gè)同底圓錐構(gòu)成的組合體，
所以這個(gè)空間圖形是兩個(gè)同底的圓錐構(gòu)成的組合體，其直觀圖如圖，
在圖(2)中，過B作BO1⊥AC于O1，如圖，
顯然，是由去掉而成，它們有公共直角邊O1B，且另外一條直角邊在旋轉(zhuǎn)軸上，
則繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體，是繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐挖去繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐構(gòu)成的幾何體，
所以這個(gè)空間圖形是一個(gè)圓錐挖去一個(gè)同底的小圓錐構(gòu)成，其直觀圖如圖.
2．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知一棱柱的底面是邊長為的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長為，試用斜二測(cè)畫法畫出此棱柱的直觀圖.
【答案】見解析
【解析】（1）畫軸.畫出軸、軸軸，三軸相交于點(diǎn)，使，.
（2）畫底面.以點(diǎn)為中點(diǎn)，在軸上畫，在軸上畫，分別過點(diǎn)，作軸的平行線，過點(diǎn)，作軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為，，，，則四邊形就是該棱柱的底面.
（3）畫側(cè)棱.過點(diǎn)，，，分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長的線段，，，，如圖①所示.
（4）成圖.連接，，，，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到該棱柱的直觀圖，如圖②所示.
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直觀圖．
【答案】見解析
【解析】
由題設(shè)中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個(gè)四棱錐，
其底面是一個(gè)邊長為2的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為2，其直觀圖如圖所示.
考點(diǎn)四 斜二測(cè)畫法的相關(guān)計(jì)算
【例4-1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）已知正△ABC的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是（ ）
A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2
【答案】D
【解析】因?yàn)檎鰽BC的邊長為a，所以其面積S＝a2，又因?yàn)橹庇^圖面積S′與原圖面積之比為，即＝，所以S′＝×a2＝a2．
答案：D
【例4-2】（2022春·廣東東莞·高一東莞市東華高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是（ ）
A．14B．10C．28D．14
【答案】C
【解析】∵A′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
∴原圖形是一個(gè)直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分別是2，5，8，
故其面積為.
故選：C
【例4-3】．（2022春·廣東廣州·高一西關(guān)外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)梯形的直觀圖，則在直觀圖中，梯形的高為___________.
【答案】
【解析】四邊形是上底為2，下底為6，底角為的等腰梯形，
故的高為2，面積，
故其直觀圖的面積，
設(shè)直觀圖的高為，則，
解得：，
即在直觀圖中，梯形的高為.
故答案為：.
【一隅三反】
1．（2022廣東佛山）如圖，水平放置的的斜二測(cè)直觀圖為，已知，則的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直觀圖可還原如下圖所示，
其中，，，
，的周長為.
故選：C.
2．（2022春·河北保定·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知通過斜二測(cè)畫法得到的直觀圖是面積為2的等腰直角三角形，則為（ ）
A．面積為的等腰三角形
B．面積為的等腰三角形
C．面積為的直角三角形
D．面積為的直角三角形
【答案】D
【解析】如圖因?yàn)樾倍y(cè)畫法得到的直觀圖是面積為2的等腰直角三角形，
故，,
將直觀圖還原，則,,
故所得三角形為直角三角形，面積為.
故選：D.
3．（2022春·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，正方形的原實(shí)際圖形是平行四邊形，如圖，
其中，因此有，
所以原圖形的周長為（cm）.
故選：B
4．（2022·高一單元測(cè)試）用斜二測(cè)畫法畫△ABC的直觀圖為如圖所示的△，其中，，則△ABC的面積為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】由題設(shè)，△和△均為等腰直角三角形，
所以，即軸，原直角坐標(biāo)系中軸，
而，則，
在△中邊上的高等于的長，又，
所以△ABC的面積為.
故選：C

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高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第02講基本立體圖形的直觀圖(原卷版+解析)：

這是一份高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第02講基本立體圖形的直觀圖(原卷版+解析)，共44頁。試卷主要包含了建立坐標(biāo)系的原則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.2 立體圖形的直觀圖

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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