教學(xué)設(shè)計
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第一節(jié)《基本立體圖形》。以下是本節(jié)的課時安排：
上一節(jié)課掌握了棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，本節(jié)再引導(dǎo)學(xué)生思考圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征，也可類比棱柱、棱錐、棱臺的生成過程認識圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征，類比圓的定義得出球的定義。
1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；
2.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
3.了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
1.重點：了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征。
2.難點：認識簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，了解簡單組合體的兩種基本構(gòu)成形式。
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
如圖，觀察下列實物圖.
問題 (1)上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？
(2)上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？
(3)如何形成上述幾何體的曲面？
提示 (1)它們不是由平面多邊形圍成的.
(2)可以由某些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.
(3)上述幾何體可由半圓、直角梯形、直角三角形以適當?shù)囊贿吽谥本€為軸旋轉(zhuǎn)而成.
（二）圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征
1.圓柱的結(jié)構(gòu)特征
【探究1】如圖，矩形ABCD繞AB邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，其余三邊BC、CD、DA旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是什么？圍成什么幾何體？
【提示】 邊BC、DA各旋轉(zhuǎn)成一個圓面，邊CD旋轉(zhuǎn)成一個曲面．它們共同圍成一個圓柱．
(1)定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線．
（2）圖形及記法：

圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O．
【探究2】如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB、CD.它們有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？
【提示】 AB∥CD且AB=CD，截面ABCD是矩形．
【探究3】在上題圖中，連接AC，則AC是母線嗎？
【提示】 不是．
【探究4】圓柱的軸截面是什么圖形？
【提示】矩形，一條邊是底面圓的直徑，另一條邊是圓柱的高．
2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征
【探究1】如圖，Rt△ABC繞直角邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，其余兩邊BC、AB旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是什么？圍成什么幾何體？
【提示】 邊BC旋轉(zhuǎn)成一個圓面，邊AB旋轉(zhuǎn)成一個曲面．它們共同圍成一個圓錐．
（1）定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面；直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐側(cè)面的母線．
（2）圖形及記法：

圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO．
【探究2】如圖，在圓錐中任取不重合的兩條母線，如AB、AD，它們之間有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？
【提示】 AB與AD相交于A.截面ABD是過頂點A的三角形．
【探究3】直角三角形繞著斜邊旋轉(zhuǎn)，得到什么幾何體？
【提示】直角三角形繞著斜邊旋轉(zhuǎn)，得到兩個對底的圓錐。
【探究4】圓錐的軸截面是什么圖形？
【提示】等腰三角形，底是底面圓的直徑，腰是圓錐的母線。
3.圓臺的結(jié)構(gòu)特征
【探究1】如圖，用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，得到什么？
【提示】 一個小圓錐和一個圓臺．
（1）定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺。
（2）圖形及記法：

圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作圓臺O′O
【探究2】如圖，直角梯形ABCD繞垂直于底邊的腰BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，腰AD與底邊AB、CD旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是什么？它們圍成什么幾何體？
【提示】 腰AD旋轉(zhuǎn)成一個曲面，底邊AB、CD各旋轉(zhuǎn)成一個圓面，它們圍成一個圓臺．
【探究3】如圖，在圓臺中任取不重合的兩條母線，如AD、EF，它們之間有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？連接AF，那么AF是母線嗎？
【提示】 AD與EF反向延長后交于一點．過AD、EF的截面是等腰梯形．AF不是母線．
【探究4】把圓臺的各母線延長，交于一點嗎？
【提示】 因為圓臺是由圓錐截得的，所以圓臺中各母線延長后必相交于一點，否則不是圓臺.
【探究5】圓臺的軸截面是什么圖形？
【提示】等腰梯形，上下底分別是底面圓的直徑，腰是圓臺的母線。
4.圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示.
【辯一辯】 1.圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點即圓錐的頂點，且長度相等.(√)
2.過圓錐的軸的截面是全等的等邊三角形.(×)
3.圓臺有無數(shù)條母線，且它們相等，但延長后不相交于一點.(×)
4.過圓臺任意兩條母線的截面是等腰梯形.(√)
5.球的結(jié)構(gòu)特征
【探究1】如圖，把半圓繞它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，半圓弧旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是什么？把圓繞它的一條直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周，圓弧旋轉(zhuǎn)的結(jié)果呢？與球有何關(guān)系？
【提示】 半圓弧旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是一個球面，圓弧旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也是一個球面．球面圍成的幾何體就是球．
【探究2】在球面上任取兩點A、B，線段AB一定是球的直徑嗎？什么時候是直徑？
【提示】 不一定．當AB過球心時是直徑．
（1）定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。
（2）圖形及記法：
球常用表示球心的字母來表示，可表示為球O
6.簡單組合體
(1)定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.
(2)簡單組合體的構(gòu)成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的.
【做一做】觀察下列幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體組成的.
【提示】 圖1 是由圓柱中挖去圓臺形成的，圖2是由球、棱柱、棱臺組合而成的.
（三）典型例題
1.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
例1.給出下列命題：
①圓柱的母線與它的軸可以不平行；
②圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；
③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析 由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯誤.
答案 D
【類題通法】由簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略
(1)準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵.
(2)解題時要注意兩個明確：
①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；
②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.
【鞏固練習(xí)1】下列命題正確的是________(只填序號).
①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；
②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；
③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；
④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)180°形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；
⑤球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)；
⑥球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段.
解析 ①以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；
②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓臺；
③它們的底面為圓面；
④正確；作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四個不同的點，則這四點就在球面上，故⑤錯誤；
根據(jù)球的半徑定義，知⑥正確.
答案 ④⑥
2.簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征
例2.（1）指出圖中三個幾何體的構(gòu)成.
解 圖①中的幾何體由一個圓錐和一個四棱柱組合而成，其中上面是圓錐，下面是四棱柱.
圖②中的幾何體由一個圓錐挖去一個四棱柱而得到，其中四棱柱內(nèi)接于圓錐.
圖③中的幾何體由一個球挖去一個三棱錐而得到，其中三棱錐內(nèi)接于球.
（2）如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的( )
解析：該幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成，故應(yīng)選A.
答案：A
【類題通法】1.判斷組合體構(gòu)成的方法
(1)判定實物圖是由哪些簡單幾何體組成的問題時，首先要熟練掌握簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；其次要善于將復(fù)雜的組合體“分割”為幾個簡單的幾何體.
(2)組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成的.要仔細觀察組合體的構(gòu)成，結(jié)合柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征，先分割，后驗證.
2.不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的結(jié)構(gòu)特征的分析策略
(1)分割：首先要對原平面圖形適當分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本圖形．
(2)定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析．
【鞏固練習(xí)2】已知AB是直角梯形ABCD中與底邊垂直的腰，如圖所示．分別以AB，BC，CD，DA所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征．
解析：(1)以AB邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺，如圖①所示．
(2)以BC邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個組合體：下部為圓柱，上部為圓錐，如圖②所示．
(3)以CD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一個組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐，如圖③所示．
(4)以AD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個組合體：一個圓柱上部挖去一個圓錐，如圖④所示．

3.旋轉(zhuǎn)體中的計算問題
例3.如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺O′O的母線長．
解 設(shè)圓臺的母線長為l cm，截得圓臺的上底面的半徑為r cm.
根據(jù)題意，得圓臺的下底面的半徑為4r cm.
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得eq \f(3,3＋l)＝eq \f(r,4r).解得l＝9.
所以圓臺的母線長為9 cm.
【類題通法】解決旋轉(zhuǎn)體中計算問題的方法
用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面(經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面)的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程(組)而解得．
【鞏固練習(xí)3】已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同側(cè)，且距離等于1，求這個球的半徑.
解 如圖，設(shè)這兩個截面圓的半徑分別為r1，r2，球心到截面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，則
πreq \\al(2,1)＝5π，πreq \\al(2,2)＝8π，∴req \\al(2,1)＝5，req \\al(2,2)＝8，
又∵R2＝req \\al(2,1)＋deq \\al(2,1)＝req \\al(2,2)＋deq \\al(2,2)，
∴deq \\al(2,1)－deq \\al(2,2)＝8－5＝3，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.又d1－d2＝1，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d1＋d2＝3，,d1－d2＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d1＝2，,d2＝1.))
∴R＝eq \r(req \\al(2,1)＋deq \\al(2,1))＝eq \r(5＋4)＝3，
即球的半徑等于3.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.下列幾何體是臺體的是( )
2.過球面上任意兩點A，B作大圓，可能的個數(shù)是( )
A.有且只有一個 B.一個或無窮多個
C.無數(shù)個 D.以上均不正確
3.若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq \r(3)，則這個圓錐的母線長為________.
4.如圖，將直角梯形ABCD繞邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的？
答案：1.D 2.B 3.2 4. 旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是由一個圓柱和一個圓錐組成的.

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第104頁 練習(xí) 第1，2，3題
第105 頁 習(xí)題8.1 第3,4,5,9,10題









8.1基本立體圖形
課時內(nèi)容
第1課時 棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
第2課時 圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征
所在位置
教材第97頁
教材第101頁
新教材
內(nèi)容
分析
本節(jié)課是在初中學(xué)過的平面幾何的基礎(chǔ)上，借助模型，從整體觀察入手，運用運動變化的觀點，引導(dǎo)學(xué)生認識柱、錐、臺等簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征。。
教材先讓學(xué)生思考圓柱、圓錐、圓臺、球的生成規(guī)律，然后給出它們的定義，讓學(xué)生初步理解“旋轉(zhuǎn)體”的概念。教學(xué)中可結(jié)合實物模型或計算機演示圓柱、圓錐、圓臺、球的生成過程
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
通過學(xué)習(xí)有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
教學(xué)主線
空間幾何體的結(jié)構(gòu)

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8.1 基本立體圖形

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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