微專題1　球的切、接問題1．空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球．空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球．2．幾何體的外接球和內(nèi)切球問題是近幾年的高考熱點(diǎn)，尤其是幾何體的外接球問題，近幾年的高考試題中都有出現(xiàn)．歸結(jié)起來這類問題主要包括兩種類型：①已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的體積；②已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的表面積；解答這類問題的基本思路是根據(jù)問題給出的條件，求出球的半徑，然后再運(yùn)用球的體積(或表面積)公式進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果． 類型1　球與正方體的切、接問題【例1】　半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，若正方體的棱長為，則這個(gè)半球的體積為________．18π　[法一：過正方體對(duì)角面作截面如圖所示，設(shè)半球的半徑為R，因?yàn)檎襟w的棱長為，所以CC′＝，OC＝×＝．在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，所以R＝3．故V半球＝×πR3＝18π．法二：將其補(bǔ)成球和內(nèi)接長方體，設(shè)原正方體棱長為a，球的半徑為R，則根據(jù)長方體外接球的直徑等于其體對(duì)角線長，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，所以R＝a＝3．故V半球＝×πR3＝18π．] 類型2　球與四面體的切、接問題【例2】　已知三棱錐P-ABC，若PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為________．　[由題意，設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，則V三棱錐P -ABC＝V三棱錐O -PAB＋V三棱錐O -PAC＋V三棱錐O -PBC＋V三棱錐O -ABC，即××2×1×1＝××2×1×r×2＋××1×1×r＋××××r，解得r＝．故內(nèi)切球的表面積為4πr2＝．] 類型3　球與直棱柱的切、接問題【例3】　設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　)A．πa2　　　B．πa2　　　C．πa2　　　D．5πa2B　[如圖所示，設(shè)O1，O分別為上、下底面的中心，連接OO1，則球心O2為OO1的中點(diǎn)，連接AO并延長交BC于D點(diǎn)，連接AO2．∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2，故該球的表面積S球＝4π×a2＝πa2．] 類型4　球與圓錐(圓柱)的切、接問題【例4】　一個(gè)圓柱形容器，它的底面直徑為2r，在這個(gè)容器內(nèi)注入水并且放入一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切，則將球從容器內(nèi)取出后，容器內(nèi)水面的高是________．r　[設(shè)取出球后水面的高為x，則πr2×2r－πr3＝πr2×x，解得x＝r．故將球從容器內(nèi)取出后，容器內(nèi)水面的高是r．] 

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