一．水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法
（1）畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使 （或 ），它們確定的平面表示
（2）畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 軸和軸的線段
（3）取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中 ，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度
為原來的
二.空間幾何體直觀圖的畫法
(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸.
(2)畫底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，
畫底面的直觀圖.
(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.
(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.
三．直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點(diǎn)，順次連接即可．
四．直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系
若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．
知識簡用
題型一 斜二測畫法的概念理解
【例1-1】（2022·高一課時練習(xí)）對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述錯誤的是（ ）
A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形
B．的角的直觀圖會變?yōu)榈慕?br>C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?br>D．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同
【例1-2】（2022云南）關(guān)于斜二測畫法畫直觀圖說法不正確的是（ ）
A．在實(shí)物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同
B．平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸
C．平行于坐標(biāo)軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變
D．斜二測坐標(biāo)系取的角可能是
題型二 斜二測畫法畫平面圖形
【例2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：
(1)邊長為的正三角形；
(2)邊長為的正方形；
(3)邊長為的正八邊形．
題型三 斜二測畫法畫空間圖形
【例3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）畫出下列圖形的直觀圖：
(1)棱長為4cm的正方體；
(2)底面半徑為2cm，高為4cm的圓錐．
題型四 斜二測畫法的相關(guān)計算
【例4-1】（2022春·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形OABC中，OA=2，，BC=3，且，則四邊形OABC水平放置時，用斜二測畫法得到的直觀圖面積為（ ）
A．B．5C．D．
【例4-2】（2022春·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎称矫鎴D形的斜二測畫法直觀圖是一個邊長為1的正方形，如圖所示，則該平面圖形的面積是（ ）
A．1B．C．2D．
【例4-3】（2022春·云南昆明·高一昆明一中?？计谥校┤鐖D，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中，，則原圖形周長是__________．
8.2 立體圖形的直觀圖（學(xué)案）
知識自測
一．水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法
（1）畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使（或），它們確定的平面表示
（2）畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 軸和軸的線段
（3）取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中 長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度
為原來的一半
二.空間幾何體直觀圖的畫法
(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸.
(2)畫底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，
畫底面的直觀圖.
(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.
(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.
三．直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點(diǎn)，順次連接即可．
四．直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系
若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．
知識簡用
題型一 斜二測畫法的概念理解
【例1-1】（2022·高一課時練習(xí)）對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述錯誤的是（ ）
A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形
B．的角的直觀圖會變?yōu)榈慕?br>C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?br>D．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同
【答案】B
【解析】對于A，根據(jù)斜二測畫法特點(diǎn)知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，
因此三角形的直觀圖仍是一個三角形，故A正確；
對于B，的角的直觀圖會變?yōu)榛虻慕?，故B錯誤；
對于C，D，由斜二測畫法的特點(diǎn)可知，C，D顯然正確．
故選：B．
【例1-2】（2022云南）關(guān)于斜二測畫法畫直觀圖說法不正確的是（ ）
A．在實(shí)物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同
B．平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸
C．平行于坐標(biāo)軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變
D．斜二測坐標(biāo)系取的角可能是
【答案】C
【解析】對于A選項(xiàng)，在實(shí)物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同，A選項(xiàng)正確；
對于B、C選項(xiàng)，由平行于軸或軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變，
平行于軸的線段長度在直觀圖中是原來的一半，則B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤；
對于D選項(xiàng)，在平面直角坐標(biāo)系中，，
在斜二測畫法中，或，D選項(xiàng)正確.故選：C.
題型二 斜二測畫法畫平面圖形
【例2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：
(1)邊長為的正三角形；
(2)邊長為的正方形；
(3)邊長為的正八邊形．
【答案】作圖見解析
【解析】(1)解：如圖①所示，以邊所在的直線為軸，以邊的高線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
畫對應(yīng)的軸、軸，使，
在軸上截取，在軸上截取，
連接、、，則即為等邊的直觀圖，如圖③所示.
(2)解：如圖④所示，以、邊所在的直線分別為軸、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
畫對應(yīng)的軸、軸，使，
在軸上截取，在軸上截取，
作軸，且，連接，
則平行四邊形即為正方形的直觀圖，如圖⑥所示.
(3)解：如圖⑦所示，畫正八邊形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)、在軸上的射影點(diǎn)分別為、，
畫對應(yīng)的軸、軸，使，
在軸上截取，，，
在軸上截取，作軸且，
作軸，且，作軸，且，
作軸，且，作軸，且，
連接、、、、、、、，
則八邊形為正八邊形的直觀圖，如圖⑨所示.
題型三 斜二測畫法畫空間圖形
【例3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）畫出下列圖形的直觀圖：
(1)棱長為4cm的正方體；
(2)底面半徑為2cm，高為4cm的圓錐．
【答案】(1)畫法見解析，
；
(2)畫法見解析，
【解析】(1)如下圖所示，按如下步驟完成：
第一步：作水平放置的正方形ABCD的直觀圖，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四邊形ABCD的中心O，作x軸∥AB，y軸∥BD，
第二步：過點(diǎn)O作∠xOz=90°，過點(diǎn)A、B、C、D分別作等于4cm，順次連接，
第三步：去掉圖中的輔助線，就得到棱長為4的正方體的直觀圖.
(2)如下圖所示，按如下步驟完成：
第一步：作水平放置的圓的直觀圖，使cm，cm.
第二步：過作軸，使，在上取點(diǎn)，使=4cm，連接，.
第三步：去掉圖中的輔助線，就得到所求圓錐的直觀圖.
題型四 斜二測畫法的相關(guān)計算
【例4-1】（2022春·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形OABC中，OA=2，，BC=3，且，則四邊形OABC水平放置時，用斜二測畫法得到的直觀圖面積為（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，為的直觀圖，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，，，平行于軸，∴該圖形的面積為．
故選：C.
【例4-2】（2022春·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎称矫鎴D形的斜二測畫法直觀圖是一個邊長為1的正方形，如圖所示，則該平面圖形的面積是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】，所以，還原如圖所示：
則，所以平面圖形面積．
故選：D．
【例4-3】（2022春·云南昆明·高一昆明一中?？计谥校┤鐖D，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中，，則原圖形周長是__________．
【答案】14
【解析】
在直觀圖中，設(shè)與交于點(diǎn)，則，，，
在原圖形中，，，，
所以原圖形周長是
故答案為：14

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8.2 立體圖形的直觀圖

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