教學(xué)設(shè)計
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第一節(jié)《基本立體圖形》。以下是本節(jié)的課時安排：
學(xué)生剛開始接觸立體幾何，缺乏空間想象能力，在教學(xué)中應(yīng)注意促進學(xué)生主動探究的學(xué)習(xí)方式的形成，幫助學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間想象能力，倡導(dǎo)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方法。同時，使學(xué)生進一步體會比較、化歸、分析等一般科學(xué)方法的運用。學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，但學(xué)習(xí)立體幾何所具備的語言表達及空間感與空間想象能力相對不足，學(xué)習(xí)方面有一定困難。
1.通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；
3.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)并進行有關(guān)計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。
1.重點：通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
2.難點：理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系。
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
我們生活中除了存在大量的平面圖形：三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圓，扇形等，在我們周圍還存在著很多的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分，觀察圖片，這些圖片中的物體具有怎樣的形狀？如何描述它們的形狀？在日常生活中，我們把這些物體的形狀叫做什么？
2.探索交流，解決問題
【問題1】觀察紙箱、金字塔、茶葉盒、水晶石等有什么相同的特點？
[提示]圍成它們的每個面都是平面圖形，并且都是平面多邊形．
【問題2】觀察紙杯、奶粉罐、腰鼓、籃球等幾何體有什么相同的特點？
[提示]圍成它們的面不全是平面圖形，有些面是曲面．
（二）空間幾何體
1. 空間幾何體
(1)定義：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．
(2)分類：常見的空間幾何體有多面體與旋轉(zhuǎn)體兩類．
（三）棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征
(1)定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，它們都是平行四邊形，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。
（2）分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱…
（3）圖形及記法：

記作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′
（4）特殊的棱柱：
直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱
平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱
【做一做】 下面多面體中，是棱柱的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解析：根據(jù)棱柱的定義進行判定知，這4個都滿足.
答案：D
2.棱錐的結(jié)構(gòu)特征
（1）定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，這個多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點。
（2）分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐……
（3）圖形及記法：

記作：棱錐S-ABCD
（4）特殊的棱錐：
正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐。
正四面體：四個面都是全等的等邊三角形的三棱錐。
【思考】面數(shù)最少的多面體是什么？
提示 圍成一個多面體至少要四個面，所以面數(shù)最少的多面體是四面體，如三棱錐就是四面體.
【做一做】下面圖形中，為棱錐的是( )
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
解析：根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．
答案：Ｃ
3.棱臺的結(jié)構(gòu)特征
（1）定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，其余各面叫做棱臺的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱，側(cè)面與上(下)底面的公共頂點叫做棱臺的頂點。
（2）分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別為三棱臺、四棱臺、五棱臺……
（3）圖形及記法：

記作：棱臺ABCD－A′B′C′D′
【思考】把棱臺的各側(cè)棱延長，交于一點嗎？
提示 因為棱臺是由棱錐截得的，所以棱臺中各側(cè)棱延長后必相交于一點，否則不是棱臺.
【做一做】 下面四個幾何體中，是棱臺的是( )
解析：A項中的幾何體是棱柱．B項中的幾何體是棱錐；D項中的幾何體的棱AA′，BB′，CC′，DD′沒有交于一點，則D項中的幾何體不是棱臺；很明顯C項中的幾何體是棱臺．
答案：C
【做一做】若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是________.
解析 由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺上、下底面是相似多邊形，面積比為對應(yīng)邊之比的平方.
答案 1∶4
4.棱柱、棱臺、棱錐關(guān)系圖
（四）典型例題
1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征
例1.下列說法正確的是( )
A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D.九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形
解析 選項A，B都不正確，反例如圖所示.選項C也不正確，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形的四棱柱不是正方體.根據(jù)棱柱的定義知選項D正確.
答案 D
【類題通法】棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析方法
(1)扣定義：判定一個幾何體是否為棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義.
①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形；
②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.
(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除.
【鞏固練習(xí)1】下列命題中，正確的是( )
A.棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點
B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面
C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形
D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形
解析 A選項不符合棱柱的側(cè)棱平行的特點；對于B選項，如圖(1)，構(gòu)造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但這兩個面不能作為棱柱的底面；選項C中，如圖(2)，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項說明了棱柱的特點，故選D.
答案 D
2.棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
例2.(1)下列三種敘述，正確的有( )
①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；
②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；
③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
(2)下列說法中，正確的是( )
①棱錐的各個側(cè)面都是三角形；
②四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面；
③棱錐的側(cè)棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
解析 (1)①中的平面不一定平行于底面，故①錯誤；②③可用反例去檢驗，如圖所示，側(cè)棱延長線不能相交于一點，故②③錯.故選A.
(2)由棱錐的定義，知棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何體，因此以四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故②正確；棱錐的側(cè)棱交于一點，故③錯誤.
答案 (1)A (2)B
【類題通法】判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法
(1)舉反例法：
結(jié)合棱錐、棱臺的定義，舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.
(2)直接法：
【鞏固練習(xí)2】下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：
①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中正確說法的序號是________.
解析 ①正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；
②正確，由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
③錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.
答案 ①②
3.多面體表面距離最短問題
例3.如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過點A作截面△AEF，求△AEF周長的最小值．
解析：將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上，如圖，線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4eq \r(2).
∴△AEF周長的最小值為4eq \r(2).
【變式探究】本例中，將條件“∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°”改為“∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝40°”，其余條件不變，如何求解？
解析：將三棱錐展開，線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝40°，∴∠AVA1＝120°，
又VA＝VA1＝4，由余弦定理得AAeq \\al(2,1)＝VA2＋VAeq \\al(2,1)－2VA·VA1cs 120°＝48，∴AA1＝4eq \r(3)，
∴△AEF周長的最小值為4eq \r(3).
【類題通法】有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果．
【鞏固練習(xí)3】如圖所示，長方體的底面相鄰邊長分別為1 cm和3 cm，高為6 cm.如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要多長？
解析：將長方體展開，連接A、B′，∵AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，
根據(jù)兩點之間線段最短，AB′＝eq \r(82＋62)＝10 cm.
所以所用細線最短需要10 cm.
（五）操作演練 素養(yǎng)提升
1.有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體為( )
A．四棱柱 B．四棱錐 C．三棱柱 D．三棱錐
2.下列說法正確的是________(填序號).
①底面是正多邊形的棱錐為正棱錐；②各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；③各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐為正棱錐；④各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；⑤底面是正多邊形且各側(cè)面全等的棱錐為正棱錐.
3.如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是( )
A.三棱錐 B.四棱錐
C.三棱柱 D.組合體
4.如圖是三個幾何體的側(cè)面展開圖，請問各是什么幾何體？
答案：1.D 2.⑤ 3.B 4. ①為五棱柱；②為五棱錐；③為三棱臺.

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第101頁 練習(xí) 第1，2，3題
第105 頁 習(xí)題8.1 第1,2,4,6,7,8題









8.1基本立體圖形
課時內(nèi)容
第1課時 棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
第2課時 圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征
所在位置
教材第97頁
教材第101頁
新教材
內(nèi)容
分析
本節(jié)課是在初中學(xué)過的平面幾何的基礎(chǔ)上，借助模型，從整體觀察入手，運用運動變化的觀點，引導(dǎo)學(xué)生認識柱、錐、臺等簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征。。
教材先讓學(xué)生思考圓柱、圓錐、圓臺、球的生成規(guī)律，然后給出它們的定義，讓學(xué)生初步理解“旋轉(zhuǎn)體”的概念。教學(xué)中可結(jié)合實物模型或計算機演示圓柱、圓錐、圓臺、球的生成過程
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
通過學(xué)習(xí)有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
教學(xué)主線
空間幾何體的結(jié)構(gòu)
類別
定義
圖示
多面體
由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點
旋轉(zhuǎn)體
一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的這條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體．這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸
棱錐
棱臺
定底面
只有一個面是多邊形，此面即為底面
兩個互相平行的面，即為底面
看側(cè)棱
相交于一點
延長后相交于一點

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8.1 基本立體圖形

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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