考法一 多面體的辨析
【例1-1】（2023·四川內(nèi)江）觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【答案】A
【解析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征：一對平行的平面且側(cè)棱相互平行的幾何體，所以，棱柱有（1）（3）（5）.
故選：A
【例1-2】（2023廣西崇左）下列幾何體中是棱錐的有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【解析】由棱錐的定義可得，只有幾何體⑤、⑥為棱錐.故選：C.
【例1-3】（2024·山西晉城）下面四個幾何體中，是棱臺的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A是圓臺，D是棱錐，C側(cè)棱延長沒有交于一點，故不是四棱臺，B是三棱臺．故選：B
【例1-4】（2024·江蘇）下列說法中，正確的個數(shù)為（ ）
（1）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
（2）由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體
（3）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐
（4）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
A．3個B．2個C．1個D．0
【答案】C
【解析】（1）
如圖，側(cè)棱延長線可能不交于一點，故（1）錯誤
（2）正確，符合多面體的定義
（3）不正確，不存在這樣的正六棱錐，正六邊形中心與各個頂點連線，構(gòu)成了6個全等的小正三角，所以正六棱錐棱長不可能與底邊相等，故（3）錯誤.
（4）錯誤 . 不一定是正三棱錐,如圖所示:
三棱錐中有. 滿足底面為等邊三角形. 三個側(cè)面 ，， 都是等腰三角形，但長度不一定等于，即三條側(cè)棱不一定全部相等．
故選：C
【一隅三反】
1．（2023下·重慶萬州·高一?？茧A段練習(xí)）下列圖形中，不是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，
并且相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.
故A為四棱柱，B為三棱柱，C為四棱柱，
D中有兩個面為梯形，兩個面為三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱.
故選：D
2．（2024云南）下面圖形中，為棱錐的是（ ）
A．①③B．③④C．①②④D．①②
【答案】C
【解析】根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐.故選：C
3．（2024湖北）下面四個幾何體中，是棱臺的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A項中的幾何體是棱柱．
B項中的幾何體是棱錐；
D項中的幾何體的棱AA′，BB′，CC′，DD′沒有交于一點，則D項中的幾何體不是棱臺；
C項中的幾何體是由一個棱錐被一個平行于底面的平面截去一個棱錐剩余的部分，符合棱臺的定義，是棱臺．
故選：C
4．（2023上·廣東惠州）下列說法不正確的是（ ）
A．直四棱柱是長方體B．正方體是平行六面體
C．長方體是平行六面體D．平行六面體是四棱柱
【答案】A
【解析】對于選項A，直四棱柱的側(cè)棱垂直底面，當(dāng)?shù)酌娌皇蔷匦螘r直四棱柱不是長方體，
故A錯誤；
對于選項B，正方體的對面平行，是平行六面體，故B正確；
對于選項C，長方體的對面平行，是平行六面體，故C正確；
對于選項D，平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，故D正確；
故選：A.
5.（2023江西）下列說法正確的是______（填序號）.
①有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；
②有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；
③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
④用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺；
⑤存在一個四棱錐，其四個側(cè)面都是直角三角形.
【答案】⑤
【解析】對于①，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故①不正確；
對于②，如圖1中的幾何體，滿足有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但其不是棱柱，故②不正確；
對于③，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，故③不正確；
對于④，由棱臺的定義，知截面和棱錐的底面平行，故④不正確；
對于⑤，如圖2所示，在正方體中，四棱的四個側(cè)面均為直角三角形，故⑤正確.
圖1 圖2
故答案為：⑤．
考法二 旋轉(zhuǎn)體的辨析
【例2-1】（2024·寧夏）如圖所示，觀察下面四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．①是圓臺B．②是圓臺C．③是圓錐D．④是圓臺
【答案】C
【解析】圖①不是由圓錐截得的,所以①不是圓臺;
圖②上下兩個面不平行，所以②不是圓臺;
圖④不是由圓錐截得的，所以④不是圓臺;很明顯③是圓錐，
故選：C.
【例2-2】（2023湖北）下列命題中錯誤的是（ ）
A．圓柱的母線與軸平行
B．圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個
C．圓錐的所有軸截面是全等的等腰三角形
D．圓柱的所有平行于底面的截面都是圓面
【答案】B
【解析】A：圓柱的母線即為圓柱的高線，與軸平行，即A正確；
B：因為軸截面的頂角為時，截面面積為，當(dāng)時，為最大的；當(dāng)時，不是最大的，因為存在不過定點的截面等于，，B錯誤；
C：圓錐所有截面的頂角相等且兩腰長均為母線，C正確；
D：根據(jù)圓柱的性質(zhì)可判斷D正確.
故選：B
【例2-3】（2023湖南）下列關(guān)于球體的說法中，錯誤的是（ ）．
A．球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
B．用一個平面去截一個球得到的截面是圓面
C．一個圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D．球的對稱軸只有1條
【答案】D
【解析】對于A，球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合是正確的；
對于B，用一個平面去截一個球得到的截面是圓面是正確；
對于C，一個圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體是正確的；
對于D，球的每一條直徑都是對稱軸，有無數(shù)條，故D錯誤.
故選：D
【一隅三反】
1．（2023河北）如圖所示的圖形中有
A．圓柱、圓錐和圓臺B．圓柱和圓錐
C．圓柱和圓臺D．棱柱、棱錐和圓錐
【答案】B
【解析】根據(jù)題中圖形可知，（1）是圓柱；（2）是圓錐；（3）不是圓臺，因為上下兩個面不平行；
因此圖所示的圖形中有圓柱和圓錐，故選：B.
2（2023·廣東佛山）（多選）下列關(guān)于圓柱的說法中正確的是（ ）
A．圓柱的所有母線長都相等
B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面
C．用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面
D．一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱
【答案】ABD
【解析】對于A，圓柱的所有母線長都等于圓柱的高，且都相等，所以A正確，
對于B，用平行于圓柱底面的平面截圓柱，由圓柱的性質(zhì)可知截面是與底面全等的圓面，所以B正確，
對于C，用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是橢圓面或橢圓面的一部分，所以C錯誤，
對于D，一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱，所以D正確，
故選：ABD
3（2023上海）給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；
③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；
⑤圓臺所有母線的延長線交于一點其中正確的命題是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
【答案】D
【解析】由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉(zhuǎn)軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，
這兩點的連線與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行，故①錯誤，④正確；由圓錐母線的定義知②正確；
在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，
且圓臺所有母線的延長線交于一點，故③錯誤，⑤正確.故選：D.
4．（2024廣東深圳）（多選）下列關(guān)于球體的說法正確的是（ ）
A．球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
B．球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
C．一個圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D．球的對稱軸只有1條
【答案】BC
【解析】空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面，所以A錯誤，B正確；
由球體的定義，知C正確；球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸，所以D錯誤.故選:BC.
考法三 簡單的組合體
【例3-1】（2023·廣東深圳）如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（ ）
A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成
B．一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成
C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成
D．一個球、一個五棱柱、一個校臺構(gòu)成
【答案】B
【解析】由圖可知，該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成.故選：B.
【例3-2】（2024江蘇）將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（ ）
A．一個圓臺、兩個圓錐B．一個圓臺、一個圓柱
C．兩個圓臺、一個圓柱D．一個圓柱、兩個圓錐
【答案】D
【解析】設(shè)等腰梯形，較長的底邊為，
則繞著底邊旋轉(zhuǎn)一周可得一個圓柱和兩個圓錐，
軸截面如圖，
故選：D
【一隅三反】
1.（2024安徽合肥）如圖所示的簡單組合體的組成是（ ）
A．棱柱、棱臺B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺D．棱柱、棱柱
【答案】B
【解析】由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.故選：B.
2．（2023·江蘇無錫）如圖，長方體被一個平面截成兩個幾何體，其中，這兩個幾何體分別是（ ）
A．三棱柱和四棱柱 B．三棱柱和五棱柱C．三棱臺和五棱臺D．三棱柱和六棱柱
【答案】B
【解析】由于，所以,所以幾何體為三棱柱，幾何體為五棱柱，故選：B
3（2023上海）將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是由 ( )
A．一個圓臺、兩個圓錐構(gòu)成B．兩個圓臺、一個圓錐構(gòu)成
C．兩個圓柱、一個圓錐構(gòu)成D．一個圓柱、兩個圓錐構(gòu)成
【答案】D
【解析】旋轉(zhuǎn)體如圖，中間是一個圓柱，兩端是相同的圓錐構(gòu)成，故選D．
考法四 截面問題
【例4-1】（2023·浙江衢州）用一個平面去截一個正方體，所得截面形狀可能為：（ ）
①三角形②四邊形③五邊形④六邊形⑤圓
A．①②③B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤
【答案】C
【解析】用一個平面去截一個正方體，分別是所在棱的中點，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
如圖所示：

故選：C.
【例4-2】．（2023·河南新鄉(xiāng)）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，取BC的中點，連接EF，AF，,
、分別為棱、的中點，則，正方體中，則有，所以平面為所求截面，因為正方體的棱長為2，所以，，，所以四邊形的周長為.故選：A.
【一隅三反】
1．（2024甘肅）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個垂直于圓柱底面的平面去截這個組合體﹐則截面圖形可能是 （填序號）．
【答案】①⑤
【解析】由題意，當(dāng)截面過旋轉(zhuǎn)軸時，圓錐的軸截面為等腰三角形，此時①符合條件；
當(dāng)截面不過旋轉(zhuǎn)軸時，圓錐的軸截面為雙曲線的一支，此時⑤符合條件，
綜上可知截面的圖形可能是①⑤.
故答案為：①⑤
2．（2023下·江蘇鹽城）如圖，在正方體中，的中點為Q，過A，Q，三點的截面是（ ）

A．三角形B．矩形C．菱形D．梯形
【答案】D
【解析】如圖所示，取的中點P，連接PQ、、、和，
，分別是，的中點，故，且，
，故，，故四點共面，
故四邊形是過A，Q，三點的截面，且四邊形是梯形．
故選：D．

3．（2023上·上海普陀·高二校考期中）如圖，在棱長為的正方體中，點分別是棱的中點，則由點確定的平面截正方體所得的截面多邊形的周長等于 .
【答案】6
【解析】作（實際上）交于，延長交延長線于．連接交于點，可證分別是的中點，同理取中點，連接，六邊形即為截面，該六邊形為正六邊形，由正方體棱長為易得正六邊形邊長為1，周長為6.
故答案為：6.
4．（2023·四川成都）如圖，正方體的棱長為4，E是側(cè)棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 ．

【答案】
【解析】取中點，連接，,

∵中點為，E是側(cè)棱的中點，
∴,,
又在直角三角形中,
∴,
∵正方體中，
∴四邊形為平行四邊形,
∴
∴,
四點共面，即為正方體的截面.
在直角三角形中,
同理,則截面周長為.故答案為:.
考法五 距離最短
【例5-1】（2023·上海浦東新）如圖，在長方體中，，點為上的動點，則的最小值為（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解析】將繞翻折到與共面，平面圖形如下所示：
連接，則的長度即為的最小值，
因為，所以 ，
所以，所以，即的最小值為.
故選：D
【例5-2】（2023下·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，一只蝸牛從點出發(fā)，繞三棱錐三個側(cè)面爬行一周后，到棱的中點，則蝸牛爬行的最短距離是（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開，則線段為所求，

由題意得，，
由余弦定理可得，
則，即蝸牛爬行的最短距離是.
故選：D.
【例5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，點P在側(cè)面上運動，則的最小值為 ．

【答案】
【解析】在正方體的右側(cè)補一個同樣大小的正方體，得到如圖所示的長方體，
由對稱性可知，故．
故答案為：
【一隅三反】
1.（2024河北）如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在點A處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由點A爬到點B，則螞蟻爬行的最短路線的長是__________．
【答案】
【解析】把圓柱的側(cè)面沿剪開，然后展開成平面圖形：矩形，在矩形中求最短距離即可．如圖所示，連接，則即為螞蟻爬行的最短距離．∵，且，
∴
∴螞蟻爬行的最短路線的長為．
故答案為：
（2023·四川南充）在直三棱柱中分別為的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為

【答案】
【解析】由題意得直三棱柱底面為等腰直角三角形．
①若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，則線段在直角三角形中，

由勾股定理得；
②若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，則線段在直角三角形中，

此時.
③若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，設(shè)的中點為，

在直角三角形中，由勾股定理得．
④若把面和面展開在同一個面內(nèi)，

過作與行的直線，過作與平行的直線，
所作兩直線交于點，則在直角三角形中，
由勾股定理得．
由于，
可得從到兩點的最短路徑的長度為,
故選：B
3．（2023上·江西南昌）如圖，在長方體中，若，且面對角線上存在一點使得最短，則的最小值為 .

【答案】
【解析】把沿翻折，使矩形和在一個平面上，連接，
則的最小值為，

在中，可知，
由余弦定理得，
所以的最小值為.
故答案為：.
4．（2023上·重慶南岸）如圖，在長方體中，且，為棱上的一點．當(dāng)取得最小值時，的長為 ．
【答案】
【解析】將側(cè)面、側(cè)面延展至同一平面，如下圖所示：
當(dāng)點、、三點共線時，取最小值，
在上圖矩形中，，，則，即，
此時，點為的中點，
如下圖所示，連接，
易知四邊形是邊長為的正方形，則，
因為平面，平面，所以，，
又因為為的中點，所以，，
由勾股定理可得.
故答案為：.
5．（2024·山西）如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm，底面是長為5cm 寬為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B．求：
（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；
（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長路程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）將長方體與頂點相關(guān)的兩個面展開，共有三種方式，如圖所示：
則的長就為最短路線．
若螞蟻沿前側(cè)面和上底面爬行，如圖1，
則經(jīng)過的最短路程為，
若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖2，
則經(jīng)過的最短路程為，
若螞蟻沿左側(cè)面和上底面爬行，如圖3，
則經(jīng)過的最短路程為，
，
∴所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是；
單選題
1．（2023·陜西西安）下列說法正確的是（ ）
A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
B．三棱錐的三個側(cè)面都可以是直角三角形
C．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
D．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
【答案】B
【解析】對于A，如圖（1）符合條件但卻不是棱柱；

對于B，在圖（2）所示的正方體中，
三棱錐的三個側(cè)面都是直角三角形，故B正確.

對于C，如圖（3），其側(cè)棱不相交于一點，故不是棱臺.

對于D，如圖（4），以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個對底的圓錐.

故選：B.
2．（2024·湖北宜昌）設(shè)有四個命題，其中真命題的個數(shù)是（ ）
①有兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；②以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；③用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺；④側(cè)面都是長方形的棱柱叫長方體．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】A
【解析】對①,棱臺也滿足上下底面平行,且其余各面都是四邊形.故①錯誤.
對②,若以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周則得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.故②錯誤.
對③,面去截棱錐需要面與底面平行才能得出棱臺,故③錯誤.
對④,正三棱柱滿足側(cè)面都是長方形,但不是長方體,故④錯誤.
故選：A
3．（2024·云南）用長為8，寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為（ ）．
A．32B．C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)圓柱的高時，，
所以圓柱的軸截面的面積為；
當(dāng)圓柱的高，，
所以圓柱的軸截面的面積為，
故選：B
4．（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中成立的是（ ）
A．有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱
B．各個面都是三角形的多面體一定是棱錐
C．一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐
D．各個側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體
【答案】A
【解析】對A，以三棱柱為例，如圖，若側(cè)面和側(cè)面為矩形，則.
又平面ABC，所以 面，
又棱柱側(cè)棱互相平行，故其他側(cè)棱也與底面垂直.
所以此三棱柱為直三棱柱，故A正確；

對B，如圖所示的八面體滿足每個面都是三角形，但它不是棱錐，故B不正確；

對C，如圖所示的三棱錐中有，滿足側(cè)面是全等的等腰三角形，
但它不是正三棱錐，故C不正確；

對D，各個側(cè)面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是長方體，故D不正確.
故選：A
5．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為，、分別是兩底面的直徑，、是母線.若一只小蟲從點出發(fā)，從側(cè)面爬行到點，求小蟲爬行的最短路徑為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】展開圓柱的側(cè)面如圖所示，

展開后，在矩形中，，，
由圖可知小蟲爬行路線的最短長度是.
故選：B.
6．（2023·貴州六盤水）下面的四個長方體中，是由上邊的平面圖形圍成的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由長方體的展開圖可得符合的長方體為D.故選：D.
7．（2024北京）對如圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說法，其中說法正確的是( )
A．由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成的
B．由一個長方體與1個四棱柱組合而成的
C．由一個長方體挖去一個四棱臺所構(gòu)成的
D．由一個長方體與兩個四棱臺組合而成的
【答案】A
【解析】如圖，該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成，也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合而成，如下圖所示：
故選:A
8．（2023上·湖北）一個透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正方體容器，則水面在容器中形成的所有可能的形狀是（ ）
①三角形 ②非正方形的菱形 ③五邊形 ④正方形 ⑤正六邊形
A．②④B．③④⑤C．②④⑤D．①②③④⑤
【答案】C
【解析】因為正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心，
過正方體一面上一邊的中點和此邊外的頂點以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，且不為正方形，所以②是正確的；

過正方體一面上相對兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，所以④是正確的；

過正方體的一個面相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，所以⑤是正確的；

過正方體的中心的平面截正方體得到的截面，且該截面將正方體的體積平分，顯然截面不能是三角形和五邊形；
故選：C.
多選題
9．（2024·湖北）下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（ ）
A．正四棱柱是長方體
B．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
C．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
D．直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
【答案】AD
【解析】于A選項，正四棱柱是長方體，A選項正確；
對于B選項，底面是正多邊形，但側(cè)棱長不相等的棱錐不是正棱錐，B選項錯誤；
對于C選項，有兩個面互相平行，其余各面都是梯形，但側(cè)棱的延長不交于一點的幾何體不是棱臺，C選項錯誤；
對于D選項，直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，D選項正確.
故選：AD.
10．（2024安徽）下列說法正確的是（ ）
A．如果四棱錐的底面是正方形，那么這個四棱錐的四條側(cè)棱都相等
B．五棱錐只有五條棱
C．一個棱柱至少有五個面
D．棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點
【答案】CD
【解析】四棱錐的底面是正方形，它的側(cè)棱可以相等，也可以不相等，A錯誤；
五棱錐除了五條側(cè)棱外，底面上還有五條棱，故共條棱，B錯誤；
一個棱柱最少有三個側(cè)面，兩個底面，故至少有五個面，C正確；
棱臺是由平行于棱錐底面的截面截得，故棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點，D正確.故選：CD.
11．（2023·重慶沙坪壩）下列關(guān)于空間幾何體的說法正確的是（ ）
A．棱柱的兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行
B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形
C．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐
D．圓柱的任意兩條母線互相平行
【答案】ABD
【解析】對于A，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知：棱柱兩個底面為全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行，A正確；
對于B，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知：棱柱側(cè)棱長相等，且各側(cè)面均為平行四邊形，B正確；
對于C，如下圖所示的兩個三棱錐拼接而成的組合體，各個面都為三角形，但不是三棱錐，C錯誤；
對于D，由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知：圓柱的任意兩條母線互相平行，D正確.
故選：ABD.
12．（2023下·江蘇南京 ）在正方體中，點是線段上的動點，若過三點的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀可能為（ ）
A．等邊三角形B．矩形
C．菱形D．等腰梯形
【答案】ABD
【解析】當(dāng)點與重合時，過三點的截面是等邊三角形，A正確；
當(dāng)點與重合時，過三點的截面為矩形，B正確；
若截面為菱形，則必有，此時點與重合，故C錯誤；
當(dāng)點與中點重合時，記的中點為F，連接，
易知，由正方體性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以且，設(shè)正方體棱長為2，則，
所以過三點的截面為等腰梯形，D正確.
故選：ABD

填空題
13．（2023山西）圓柱的母線長為5，底面半徑為2，稱過圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，則該圓柱軸截面面積為 .
【答案】20
【解析】軸截面為矩形，兩邊長分別為5和4，故軸截面的面積為.故答案為：20
14．（2023·上海）如圖，一圓柱體的底面周長為，高為，是上底面的直徑.一只昆蟲從點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點，昆蟲爬行的最短路程是 .
【答案】
【解析】作出圓柱的側(cè)面展開圖如下圖所示，
則當(dāng)昆蟲的爬行路線為線段時，爬行的路程最短，
圓柱體的底面周長為，；
最短路程為：.
故答案為：.
15.（2023·上海浦東新）已知圓錐的軸截面是一個頂角為,腰長為2的等腰三角形，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的平面截圓錐所得截面面積最大值是 .
【答案】2
【解析】由題意可知圓錐的母線為
設(shè)圓錐任意兩條母線的夾角為，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的平面截圓錐所得截面面積為，由于，故當(dāng)時，面積最大為2，故答案為：2
16．（2023·上海長寧）正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體．如圖，正二十面體是由個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=，則正二十面體的頂點的個數(shù)為 ．
【答案】
【解析】由于正二十面體是由個等邊三角形所組成的正多面體，所以面數(shù)為，并且每個頂點處有條棱，設(shè)正二十面體共有個頂點，則棱數(shù)為，由題意可得，解得.則正二十面體的頂點的個數(shù)為故答案為：.
解答題
17．（2023·上海）如圖所示，圓柱側(cè)面上有兩點、，在處有一只蜘蛛，在處有一只蒼蠅，蜘蛛沿怎樣的路線行走才能以最短的路程抓住蒼蠅？最短路程是多少？
【答案】詳見解析.
【解析】如圖，將圓柱的側(cè)面沿母線展開即得矩形，
其中，分別為，的中點，
在矩形中，，，
連接，則；
可知蜘蛛沿著爬行時路程最短，最短路程為.
18．（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知是直角梯形與底邊垂直的一腰（如圖）．分別以，，，為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的？

【答案】答案見解析
【解析】①以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺；如圖（1）所示；
②以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一組合體：下部為圓柱，上部為圓錐；如圖（2）所示；
③以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐；
如圖（3）所示．
④以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個組合體，它是一個圓柱上部挖去一個圓錐；如圖（4）所示.

19．（2023·安徽滁州）已知長方體中，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，求過D，E，F(xiàn)三點截得長方體的截面的周長.
【答案】
【解析】延長EF分別交，的延長線于點M，N，連接MD，ND，分別交，于點Q，P，
連接PF，EQ，則過D，E，F(xiàn)三點截得長方體的平面為五邊形.
過F點作，過點作，所以是的中點，是的中點.

在中，，，所以.
在中，，所以，，
則，，.
同理在中，，在中，，，
所以，，所以截面周長為.
20．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它們兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，在這四個球之間有一個小球和這四個球都外切，求這個小球的半徑．
【答案】．
【解析】由題意可知:連接四個球的球心，得到一個棱長為2的正四面體,設(shè)正四面體為PABC，
設(shè)四面體PABC的外接球球心為O,半徑為R,
設(shè)PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO＝R，
棱長為2，所以AD＝，
所以，
在中，,
,即:
解得:R＝．
與4個球都相切的小球的球心也在O處，所以小球的半徑
21．（2023上·上海浦東新）對于精美的禮物，通常人們會用包裝紙把禮物包好，還會用彩帶捆扎包裝好的禮物，有時還會扎出一個花結(jié).這些包裝彩帶也不便宜，因此在捆扎時不僅要考慮美觀?結(jié)實，也要考慮盡量地節(jié)省包裝彩帶.以長方體的禮物為例，較為典型的兩種捆扎方式分別為“十字”和“對角”，如下圖所示.
假設(shè)1：將禮物視作一個長方體，其長為4，寬為2?高為1；假設(shè)2：不考慮花結(jié)處的彩帶，將每一段彩帶視為線段，且完全位于禮物的表面上；假設(shè)3：“十字”捆扎中，長方體表面上的每一段彩帶（上底面和下底面各2段，每個側(cè)面各1段）都與其相交的棱垂直；假設(shè)4：“對角”捆扎中，以某種方式展開長方體后，長方體表面上的每一段彩帶（上底面和下底面各2段，每個側(cè)面各1段）在其表面展開圖上均落在同一條直線上.
(1)求“十字”捆扎中彩帶的總長度；
(2)根據(jù)假設(shè)4繪制示意圖，求“對角”捆扎中彩帶的總長度，并比較兩種捆扎方式，給出用彩帶捆扎禮物的建議.
【答案】(1)
(2)，在實際生活中包裝彩帶時應(yīng)選擇“對角”捆扎的方式，更節(jié)省包裝彩帶
【解析】（1）采用“十字”捆扎中彩帶的總長度為；
（2）
由于，因此在實際生活中包裝彩帶時應(yīng)選擇“對角”捆扎的方式，更節(jié)省包裝彩帶.
22．（2023·浙江溫州）近些年來，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學(xué)科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計算機科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個重要概念是曲率，用曲率來刻畫幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點處的曲率等于與多面體在該點的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點處的曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正方體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正方體在各頂點的曲率為 ，故其總曲率為.
(1)求四棱錐的總曲率；
(2)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡單多面體的頂點數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率是常數(shù).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）四棱錐有個頂點,個三角形面,個凸四邊形面,故其總曲率為
（2）設(shè)多面體有個面,給組成多面體的多邊形編號,分別為號.
設(shè)第 號 多邊形有 條邊.
則多面體共有條棱.
由題意，多面體共有個頂點.
號多邊形的內(nèi)角之和為,故所有多邊形的內(nèi)角之和為
故多面體的總曲率為
所以滿足題目要求的多面體的總曲率為.
“十字”捆扎
“對角”捆扎

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