高中人教A版 (2019)第八章立體幾何初步8.1 基本立體圖形精品課后測評-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．空間幾何的分類
1.多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體
2.旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋
轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體
二．多面體
（一）棱柱
1.定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
2.特征
①兩個面互相平行（即上下底面平行）
②其余各面是平行四邊形；
③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行
3.分類
(1)按底面多邊形邊數(shù)來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按側(cè)棱是否與底面垂直
直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱
斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.
棱錐
1.定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
2.特征
定底面：只有一個面是多邊形，此面即為底面
看側(cè)棱：相交于一點
3.分類：
(1)按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……
(2)底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.
（三）棱臺
1.定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分多面體叫做棱臺
特征
定底面：兩個互相平行的面，即為底面
看側(cè)棱：延長后相交于一點
三．旋轉(zhuǎn)體
（一）圓柱
定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱
圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸
圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面
圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面
圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊
（二）圓錐
定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體
圓錐的軸：旋轉(zhuǎn)軸
圓錐的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面
側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面
母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊
圓臺
定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺
圓臺的軸：旋轉(zhuǎn)軸
圓臺的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓面
圓臺的側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面
母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊
球
定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球
球心：半圓的圓心
半徑：連接球心和球面上任意一點的線段
直徑：連接球面上兩點并經(jīng)過球心的線段
四．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征
1.概念：由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡單組合體.
2.基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.
知識簡用
題型一棱柱
【例1-1】下列命題正確的是（）
A．棱柱的每個面都是平行四邊形B．一個棱柱至少有五個面
C．棱柱有且只有兩個面互相平行D．長方體是正四棱柱
【答案】B
【解析】對于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正確；
對于B，面最少的就是三棱柱，共有五個面，B正確；
對于C，長方體是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正確；
對于D，正四棱柱是特殊的長方體，D錯誤.
故選：B
【例1-2】滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（）
A．底面是矩形B．有一個側(cè)面與底面垂直
C．有一個側(cè)面是矩形D．相鄰兩個側(cè)面是矩形
【答案】D
【解析】如圖所示是一個斜四棱柱：
因為底面是矩形，故A錯誤；因為側(cè)面與底面垂直，故B錯誤；
側(cè)面是矩形，故C錯誤；當(dāng)相鄰兩個側(cè)面是矩形時，則這兩個側(cè)面的交線與底面垂直，即得到側(cè)棱與底面垂直，則該棱柱一定是直棱柱，故D正確.故選：A.
【例1-3】下列關(guān)于棱柱的說法錯誤的是（）
A．所有的棱柱兩個?面都平行
B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰兩個面的公共邊互相平行
C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
D．棱柱至少有5個面
【答案】C
【解析】由棱柱的定義: 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形且相鄰四邊形的公共邊互相平行的幾何體是棱柱，知A、B正確的；對于C，如圖，
有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，但它不是棱柱，所以C錯誤．三棱柱有五個面，棱柱有個面，D正確.
故選：C
【例1-4】已知某多面體的平面展開圖如圖所示，其中是三棱柱的有________個．
【答案】2
【解析】根據(jù)平面展開圖，還原幾何體如下所示：
故第二個和第四個為三棱柱，三棱柱的個數(shù)有2個.故答案為：2.
題型二棱錐
【例2-1】下列幾何體中是棱錐的有（）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【解析】由棱錐的定義逐個判斷即可得解.由棱錐的定義可得，只有幾何體⑤、⑥為棱錐.故選：C.
【例2-2】下列命題中正確的是
①棱錐的各個側(cè)面都是三角形；
②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這
些面圍成的幾何體是棱錐；
③四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面；
④棱錐的各側(cè)棱長相等．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】B
【解析】由棱錐的定義,可知棱錐的各側(cè)面都是三角形,故①正確；
有一個面是多邊形,其余各面都是三角形,如果這些三角形沒有一個公共頂點,那么這個幾何體就不是棱錐,故②錯；四面體是由四個三角形所圍成的幾何體,因此四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐,故③正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等,也可以不相等,故④錯．綜上可知,正確的有①③
故選:B
【例2-3】下列幾何體的側(cè)面展開圖如圖所示，其中是棱錐的為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】對于A選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱柱，故A選項不正確；
對于B選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱錐，故B選項正確；
對于C選項，圖形沿著折線翻折起來是一個三棱臺，故C選項不正確；
對于D選項，圖形沿著折線翻折起來是一個四棱柱，故D選項不正確；
故選：B.
題型三棱臺
【例3-1】下面有關(guān)棱臺說法中，正確的是（）
A．上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺B．棱臺的所有側(cè)面都是梯形
C．棱臺的側(cè)棱長必相等D．樓臺的上下底面可能不是相似圖形
【答案】B
【解析】A. 四棱臺要求側(cè)棱延長后交與一點，上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體不一定符合，故A錯誤；B. 棱臺的所有側(cè)面都是梯形，正確；C. 棱臺的側(cè)棱長不一定相等，故C錯誤；
D. 樓臺的上下底面一定是相似圖形，故D錯誤.
故選：B.
【例3-2】下列關(guān)于棱錐?棱臺的說法正確的是（）
A．有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺
B．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺
C．棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個等腰梯形組成的
D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點
【答案】D
【解析】對于A，棱臺的各側(cè)棱的延長線交于一點，因此有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，故A錯；
對于B，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺，故B錯誤；
對于C，棱臺的側(cè)面展開圖不一定是由若干個等腰梯形組成的，故C錯誤；
對于D，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點，故D正確.
故選:D.
【例3-3】（多選）下列關(guān)于棱臺的說法中正確的是（）
A．所有的側(cè)棱所在直線交于一點
B．只有兩個面互相平行
C．上下兩個底面全等
D．所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行
【答案】ABD
【解析】由棱臺的定義可知：棱臺所有的側(cè)棱所在直線交于一點，A正確；
棱臺只有兩個面互相平行，就是上、下底面平行，B正確；
棱臺的上下兩個底面相似但不全等，故C不正確；
棱臺所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行，D正確．
故選：ABD．
題型四旋轉(zhuǎn)體
【例4-1】（多選）下列關(guān)于圓柱的說法中正確的是（）
A．圓柱的所有母線長都相等
B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面
C．用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面
D．一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱
【答案】ABD
【解析】對于A，圓柱的所有母線長都等于圓柱的高，且都相等，所以A正確，
對于B，用平行于圓柱底面的平面截圓柱，由圓柱的性質(zhì)可知截面是與底面全等的圓面，所以B正確，
對于C，用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是橢圓面或橢圓面的一部分，所以C錯誤，
對于D，一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱，所以D正確，
故選：ABD
【例4-2】下列結(jié)論中正確的是（）
A．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓錐
B．以直角梯形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓臺
C．以平行四邊形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓柱
D．圓面繞其一條直徑所在直線旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是一個球
【答案】D
【解析】在選項A中，若繞直角三角形的斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，
則得到的幾何體不是一個圓錐，故選項A錯誤；
在選項B中，若繞直角梯形的上底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，
則得到的幾何體不是圓臺，故選項B錯誤；
在選項C中，若平行四邊形的一個內(nèi)角為銳角，
則繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體不是圓柱，故選項C錯誤；
在選項D中，圓面繞其一條直徑所在直線旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是一個球，故選項D正確.
題型五組合體
【例5-1】如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為（）．
A．一個球體
B．一個球體中間挖去一個圓柱
C．一個圓柱
D．一個球體中間挖去一個長方體
【答案】B
【解析】中間軸是圓的直徑所在直線，且是中間矩形的對稱軸，繞它旋轉(zhuǎn)一周，中間矩形形成圓柱，圓形成球，所以幾何體是一個球體中間挖去一個圓柱．故選：B．
【例5-2】將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）
A．一個圓臺、兩個圓錐B．一個圓臺、一個圓柱
C．兩個圓臺、一個圓柱D．一個圓柱、兩個圓錐
【答案】D
【解析】設(shè)等腰梯形，較長的底邊為，則繞著底邊旋轉(zhuǎn)一周可得一個圓柱和兩個圓錐，軸截面如圖，
故選：D
【例5-3】如圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個圓錐與一個圓柱，不合題意；B中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉(zhuǎn)得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉(zhuǎn)得到一個圓臺與一個圓錐，合題意.故選：D.
8.1 基本立體圖形（精講）
思維導(dǎo)圖
典例精講
考點一多面體
【例1-1】關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（）
A．棱柱的側(cè)棱長都相等
B．四棱錐有四個頂點
C．三棱臺的上、下底面是相似三角形
D．有的棱臺的側(cè)棱長都相等
【答案】B
【解析】對于A：根據(jù)棱柱的定義可以判斷棱柱的側(cè)棱長都相等.故A正確；
對于B：根據(jù)棱柱的定義可以判斷四棱錐有五個頂點．故B錯誤；
對于C、D：根據(jù)棱臺的定義可以判斷三棱臺的上、下底面是相似三角形，正棱臺的側(cè)棱長都相等.故C、D正確. 故選：B.
【例1-2】下列說法中正確的是（）
A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有一個面是多邊形，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺
D．有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐
【答案】D
【解析】因為有兩個面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B錯誤；而一個平行于底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺，所以棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點，所以C錯誤；因為有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐，所以D正確.故選：D.
【例1-3】下列說法正確的是______（填序號）.
①有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；
②有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；
③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
④用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺；
⑤存在一個四棱錐，其四個側(cè)面都是直角三角形.
【答案】⑤
【解析】對于①，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故①不正確；
對于②，如圖1中的幾何體，滿足有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但其不是棱柱，故②不正確；
對于③，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，故③不正確；
對于④，由棱臺的定義，知截面和棱錐的底面平行，故④不正確；
對于⑤，如圖2所示，在正方體中，四棱四個側(cè)面均為直角三角形，故⑤正確.
圖1 圖2 故答案為：⑤．
【一隅三反】
1．下列命題中，正確的是（）
A．底面是正方形的四棱柱是正方體
B．棱錐的高線可能在幾何體之外
C．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
【答案】B
【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方體，故A錯誤；
斜棱錐的高線有可能在幾何體之外，故B正確；
根據(jù)棱柱的定義可得，有兩個面互相平行，
有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿足選項C條件的幾何體可能是組合體.故C錯誤；
有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，故D錯誤．
故選：B．
2．下列說法正確的有（）
①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．
②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．
③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐
A．0個B．1個
C．2個D．3個
【答案】A
【解析】①不正確．棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．
②如圖1，不正確，側(cè)棱延長線可能不交于一點.
③錯誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：
三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面BCD為等邊三角形．三個側(cè)面ABD，
ABC，ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定等于AD，即三條側(cè)棱不一定全部相等．
④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個全等的小正三角形，三角形所有邊長相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.
故選：A.
3．下列命題：
①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，
顯然不是棱柱，故①錯誤；
②如圖2，滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；
③如圖3，四邊形為矩形，
即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．故選：A
考點二旋轉(zhuǎn)體
【例2-1】下列說法正確的是（）
A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺
C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面
D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺
【答案】C
【解析】以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是是兩個同底圓錐的組合體，A錯；
以直角梯形的直角腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，B錯；
圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，正確；
平行于圓錐底面平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，如果截面不平行于底面，則截得的不是圓錐和圓臺，D錯.
故選：C.
【例2-2】給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；
③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；⑤圓臺所有母線的延長線交于一點其中正確的命題是（）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
【答案】D
【解析】由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉(zhuǎn)軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，
這兩點的連線與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行，故①錯誤，④正確；由圓錐母線的定義知②正確；
在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，
且圓臺所有母線的延長線交于一點，故③錯誤，⑤正確.故選：D.
【一隅三反】
1．下列結(jié)論中正確的是（）
A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球
B．直角三角形繞一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體
D．用一個平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺
【答案】B
【解析】因為半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故錯誤；
當(dāng)以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故正確；
當(dāng)兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故錯誤；
圓錐的截面不與底面平行時，圓錐底面與截面組成的部分不是圓臺，故錯誤.
故選：B.
2．給出下列命題：
①圓柱的母線與它的軸可以不平行；
②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；
③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.
其中正確的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】D
【解析】由圓柱的母線無論旋轉(zhuǎn)到什么位置都與軸平行，故①錯誤；
圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的，
故②正確；
③中連接的線可能存在與軸異面的情況，而圓臺的母線與軸共面，故③錯誤；
④由于圓柱中任意母線均與軸平行，故其中任意兩條母線相互平行，故④正確；
綜上可知②④正確，①③錯誤.故選：D.
考點三組合體
【例3-1】如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）
A．由兩個圓錐組合成的 B．由兩個圓柱組合成的
C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的 D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的
【答案】D
【解析】由圖知：該組合體是由一個圓錐和一個圓柱組合成的，故選：D
【例3-2】如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（）
A．一個棱柱中截去一個棱柱 B．一個棱柱中截去一個圓柱
C．一個棱柱中截去一個棱錐 D．一個棱柱中截去一個棱臺
【答案】C
【解析】圖中的幾何體為一個棱柱截去一個角，截去的角是一個棱錐.故選C.
【一隅三反】
1．如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是 ( )
A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體
B．該組合體仍然關(guān)于軸l對稱
C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點
D．該組合體中的球和半球只有一個公共點
【答案】A
【解析】將該幾何體繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，該組合體是由圓臺、圓柱、圓錐和球，半球
組成的，由此A選項錯誤故選A
2．如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是
A．一個棱柱中挖去一個棱柱B．一個棱柱中挖去一個圓柱
C．一個圓柱中挖去一個棱錐D．一個棱臺中挖去一個圓柱
【答案】B
【解析】螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內(nèi)有一個圓，所以螺母可以看成一個棱柱中挖去一個圓柱.故選B.
3．（多選）下列關(guān)于球體的說法正確的是（）
A．球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
B．球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
C．一個圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D．球的對稱軸只有1條
【答案】BC
【解析】空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面，所以A錯誤，B正確；
由球體的定義，知C正確；球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸，所以D錯誤.故選:BC.
考點四展開圖
【例4】如圖是一個正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對面上的字是（）
A．新B．冠C．病D．毒
【答案】C
【解析】將展開圖折疊成正方體可得“擊”字與“冠”字相對，“抗”字與“病”字相對，“新”字與“毒”字相對，
故選：C.
【一隅三反】
1．如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是（）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
【答案】B
【解析】（1）圖還原正方體后，①⑤對面，②④對面，③⑥對面；
（2）圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；
（3）圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；
（4）圖還原后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面；
綜上可得，還原成正方體后，正方體完全一樣的是（2）（3）．故選：B．
2．紙質(zhì)的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，里面朝上展平得到如圖所示平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是（）
A．南B．北C．西D．下
【答案】A
【解析】
由題意，正方體的表面展開圖，相對面之間一定相隔一個正方形，
再由展開圖是里面朝上展平得到的，根據(jù)“上北下南，左西右東”，因此標(biāo)“△”的面的方位是南.故選：A
3．如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“有”在正方體中所在的面的對面上的是（）
A．者B．事C．竟D．成
【答案】A
【解析】根據(jù)正方體的表面展開圖，換元成正方體，如圖所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．構(gòu)成對面關(guān)系．故選：A．
考點五最短距離
【例5-1】如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個邊長為4的正方形.一只螞蟻從點A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點E，則螞蟻爬行的最短距離為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將圓柱側(cè)面展開半周，則展開矩形長為，
，.故選：C.
【例5-2】在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分別為棱AA1，C1D1的中點則從點P出發(fā)，沿長方體表面到達點Q的最短路徑的長度為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意在長方體中，分別為棱，的中點，
若按照如下方式展開，則
若按照如下方式展開，則
若按照如下方式展開，則
所以
故選：C
【例5-3】如圖，在正三棱錐中，，，一只蟲子從點出發(fā)，繞三棱錐的三個側(cè)面爬行一周后，又回到點，則蟲子爬行的最短距離是（）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，
連接與分別交于兩點，將三棱錐由展開，則，為蟲子爬行從點沿側(cè)面到棱上的點處，再到棱上的點處，然后回到點的最短距離，∵，∴由勾股定理可得，所以蟲子爬行的最短距離4，故選：A.
【例5-4】如圖所示，某圓錐的高為，底面半徑為1，O為底面圓心，OA，OB為底面半徑，且∠AOB=M是母線PA的中點，則在此圓錐側(cè)面上，從M到B的路徑中，最短路徑的長度為（）
A．B．-1C．D．+1
【答案】A
【解析】【如圖為圓錐的側(cè)面展開圖，,，則，
在中，，則，為M到B的路徑中，最短路徑的長.故選：A.
【一隅三反】
1．邊長為5 cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的側(cè)面到相對頂點G的最短距離是（）
A．10cmB．5cm
C．5cmD．cm
【答案】D
【解析】圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，
展開后，∴，即為所求最短距離．故選:D.
2．如圖是一塊長、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）
A．cmB．cmC．9cmD．cm
【答案】B
【解析】第一種情況：把所看的前面和上面組成一個平面，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，
所以所走的路程最短線段為；
第二種情況：把看到的左面與上面組成一個長方形，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，
所以所走的路程最短線段為；
第三種情況：把看到的前面與右面組成一個長方形，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，
所以所走的路程最短線段為；
故選：B.
3．在四面體中，，與直線，均垂直，且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點，則其爬過的路程最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，所以平面，所以平面平面，將底面旋轉(zhuǎn)，以為軸，旋轉(zhuǎn)至平面與平面共面，如圖，此時的直線距離即為最短距離，設(shè)到直線的距離為，則，所以.故選：A
4如圖，圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點出發(fā)，沿表面爬到的中點處，則其爬行的最短路線長為，則圓錐的底面圓的半徑為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖為半圓錐的側(cè)面展開圖，
連接，則的長為螞蟻爬行的最短路線長，設(shè)展開圖的扇形的圓心角為，
根據(jù)題意得，在中，，所以，
所以扇形弧長為，所以圓錐底面圓的周長為，即，得.故選：A
考點六截面問題
【例6-1】用一個平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是（）
①等邊三角形 ②直角梯形 ③菱形 ④五邊形
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】如圖，用一個平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是等邊三角形，菱形，五邊形，
故選：C
【例6-2】已知正方體，棱長為2，E為棱的中點，則經(jīng)過，D，E三點的正方體的截面面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正方體中，平面，則平面與平面的唯一交線與平行.取中點F，連接、、、，則四邊形即為經(jīng)過，D，E三點的正方體的截面
梯形中，，，
則梯形的高為則梯形的面積為故選：A
【例6-3】如圖：正三棱錐中，，側(cè)棱，平行于過點的截面，則平面與正三棱錐側(cè)面交線的周長的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，
則即為截面周長的最小值，且，
在中，由余弦定理得：，
.故選：B.
【例6-4】底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意，底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點平行于底面的平面所截，
設(shè)截面圓的半徑為，由，可得，可得，
所以截得的截面圓的面積為.故選：A.
【一隅三反】
1．已知過的平面與正方體相交，分別交棱，于，.則下列關(guān)于截面的說法中，不正確的是（）
A．截面可能是矩形B．截面可能是菱形
C．截面可能是梯形D．截面不可能是正方形
【答案】C
【解析】如下圖，當(dāng)分別與對角頂點重合時，顯然是矩形；
如下圖，當(dāng)，為，的中點時，顯然是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定理易知：不可能為正方形；
根據(jù)對稱性，其它情況下為平行四邊形；綜上，C不正確.故選：C.
2．如圖，正四棱錐的所有棱長都等于，過不相鄰的兩條棱作截面，則截面的面積為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，底面ABCD是正方形，∴AC＝a．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又AC＝a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2.本題選擇C選項.
3.已知正方體的棱長為6，E、F分別是、的中點，則平面CEF截正方體所得的截面的周長為______．
【答案】
【解析】延長EF交DA的延長線于N，連接CN交AB于點G，連接FG；延長FE交的延長線于點M，連接CM交點H，連接EH；則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG．
∵E、F分別是、的中點，則易知AN＝，∴AN＝，∴，
∴，，；同理，，，；
∴平面CEF截正方體所得截面的周長為：
EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．
故答案為：.
8.1 基本立體圖形（精練）
1．下列命題中，正確的是（）
A．四棱柱是平行六面體
B．直平行六面體是長方體
C．六個面都是矩形的六面體是長方體
D．底面是矩形的四棱柱是長方體
【答案】C
【解析】對于A，當(dāng)四棱柱的底面是梯形時，則此四棱柱不是平行六面體，所以A錯誤，
對于B，直平行六面體是平行六面體的側(cè)棱與底面垂直，底面可以是一般的平行四邊形，則它不是長方體，所以B錯誤，
對于C，根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，六個面都是矩形的六面體是長方體，所以C正確，
對于D，當(dāng)四棱柱的側(cè)棱與底面不垂直時，則不是長方體，所以D錯誤，
故選：C
2．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）
A．是棱臺B．是圓臺
C．不是棱柱D．是棱錐
【答案】D
【解析】對A，側(cè)棱延長線不交于一點，不符合棱臺的定義，所以A錯誤；
對B，上下兩個面不平行，不符合圓臺的定義，所以B錯誤；
對C，將幾何體豎直起來看，符合棱柱的定義，所以C錯誤；
對D，符合棱錐的定義，正確．故選：D．
3．如圖所示的簡單組合體的組成是（）
A．棱柱、棱臺B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺D．棱柱、棱柱
【答案】B
【解析】由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.故選：B.
4．（多選）如圖，為正方體中所在棱的中點，過兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為（）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】BD
【解析】由正方體的對稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，
如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形.故選：BD
5．下列說法中，正確的個數(shù)為（）
（1）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
（2）由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體
（3）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐
（4）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
A．3個B．2個C．1個D．0
【答案】C
【解析】（1）如圖，側(cè)棱延長線可能不交于一點，故（1）錯誤
（2）正確，符合多面體的定義
（3）不正確，不存在這樣的正六棱錐，正六邊形中心與各個頂點連線，構(gòu)成了6個全等的小正三角，所以正六棱錐棱長不可能與底邊相等，故（3）錯誤.
（4）錯誤 . 不一定是正三棱錐,如圖所示:
三棱錐中有. 滿足底面為等邊三角形. 三個側(cè)面，，都是等腰三角形，但長度不一定等于，即三條側(cè)棱不一定全部相等．
故選：C
6．一個幾何體的表面展開圖如圖，該幾何體中與“?！弊趾汀澳恪弊窒鄬Φ姆謩e是（）
A．前，程B．你，前C．似，棉D(zhuǎn)．程，錦
【答案】A
【解析】因為“?！弊置婧汀扒啊弊置嬷虚g隔著“你”字面，所以“?！弊置婧汀扒啊弊置嫦鄬?，同理“你”字面和“程”字面中間隔著“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相對，故選：A.
7.下列說法中錯誤的是（）
A．正棱錐的所有側(cè)棱長相等
B．圓柱的母線垂直于底面
C．直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形
D．用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形
【答案】C
【解析】對于A,根據(jù)正棱錐的定義知,正棱錐的所有側(cè)棱長相等,故A正確；
對于B,根據(jù)圓柱是由矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的幾何體,可知圓柱的母線與底面垂直,故B正確；
對于C,直棱柱的側(cè)面都是矩形,但不一定全等,故C錯誤；
對于D,圓錐的軸截面是全等的等腰三角形,故D正確.綜上可知,錯誤的為C故選:C
8．用長為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱，此圓柱軸截面面積為（）
A．8B．C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)圓柱的高為4時，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，則，則圓柱軸截面面積為，當(dāng)圓柱的高為2時，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，則，則圓柱軸截面面積為，綜上所述，圓柱的軸截面面積為，故選：B.
9．已知圓柱的高為2，若它的軸截面為正方形，則該圓柱的體積為（）
A．B．2πC．D．8π
【答案】B
【解析】圓柱的高為2，若它的軸截面為正方形，則圓柱的底面半徑為1，其體積為2π.故選:B
10．若一個圓錐的軸截面是面積為9的等腰直角三角形，則這個圓錐的底面半徑為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】設(shè)底面半徑為r．因為軸截面是等腰直角三角形，所以圓錐的高也是r．據(jù)題意得，解得．故選：C.
11．（多選）如圖長方體被一個平面截成兩個幾何體，其中，則（）
A．幾何體是一個六面體
B．幾何體是一個四棱臺
C．幾何體是一個四棱柱
D．幾何體是一個三棱柱
【答案】ACD
【解析】在長方體中，，，所以，
因為有六個面，所以幾何體是一個六面體，故A正確；
因為，所以側(cè)棱的延長線不能交于一點，故不是四棱臺，故B錯誤；
因為幾何體的側(cè)棱平行且相等，四邊形與四邊形是平行且全等的四邊形，
所以幾何體為四棱柱，同理幾何體是一個三棱柱，故C、D正確；
故選：ACD
12．（多選）用一個平面去截一個三棱柱，可以得到的幾何體是（）
A．四棱臺B．四棱柱C．三棱柱D．三棱錐
【答案】BCD
【解析】如圖三棱柱，連接，則可得平面截三棱柱，得到一個三棱錐，所以D正確，若用一個平行于平面的平面去截三棱柱，如圖平面，則得到一個三棱柱和一個四棱柱，所以BC正確，因為四棱臺的上下底面要平行，所以要得到四棱臺，則截面要與三棱柱的上下底面相交，而四棱臺的側(cè)棱延長后交與一點，棱柱的側(cè)棱是相互平行的，所以用一個平面去截一個三棱柱，不可能得到一個四棱臺，所以A錯誤，
故選：BCD
13．（多選）用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個幾何體可能是
A．圓錐B．圓柱C．三棱錐D．正方體
【答案】ACD
【解析】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，三棱錐平行于底面的截面是三角形，
正方體的截面可能是三角形，如圖：故選：ACD
14.如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1cm，側(cè)面積為，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達點的最短路線的長為___________cm.
【答案】
【解析】將正三棱柱沿側(cè)棱展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，
依題意，由側(cè)面積為，所以，則，依題意沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達點的最短路線為；故答案為：
15.已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達的最短路線的長為___________.
【答案】10
【解析】將正三棱柱的側(cè)面展開兩次，再拼接到一起，其側(cè)面展開圖，如圖所示的矩形，連接，因為正三棱柱的底面邊長為1，高為8，可得矩形的底邊長為，高為，
所以.故答案為：.
16.在正三棱錐中，，，一只螞蟻從點出發(fā)沿三棱錐的表面爬行一周后又回到點，則螞蟻爬過的最短路程為___________．
【答案】
【解析】將正三棱錐沿棱展開，得到如下圖形，由展開圖可得，沿爬行時，路程最短；
因為，，所以，因此.
故答案為：.
17．已知正四棱錐的側(cè)棱長為4，且，若一只螞蟻從點A出發(fā)沿著該四棱錐的側(cè)面爬行一周回到點A，則螞蟻爬行的最短距離為______.
【答案】
【解析】將該四棱錐沿PA剪開，展成平面圖形，如圖，根據(jù)兩點間的線段距離最短.
即螞蟻爬行的最短的路線為，由，，，
，從而最短距離為.
18．在正方體中，棱長為2，E為的中點，點P在平面內(nèi)運動，則的最小值為
【答案】3
【解析】取的中點F，連接，如下圖：
因為E為的中點，所以點E、F關(guān)于平面對稱，所以，最小值為.
19．如圖，某圓柱的高為，底面圓的半徑為，則在此圓柱側(cè)面上，從圓柱的左下點A到右上點B的路徑中，最短路徑的長度為______．
【答案】
【解析】如圖，將圓柱側(cè)面展開，，
則在圓柱側(cè)面的展開圖上，最短路徑的長度為．故答案為：.
20．如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為的正，糧堆母線的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是__________m．
【答案】
【解析】如圖所示，根據(jù)題意可得為邊長為的正三角形，所以，
所以圓錐底面周長，根據(jù)底面圓的周長等于展開后扇形的弧長，可得，
故，則，所以，所以小貓所經(jīng)過的最短路程是．
故答案為：
1．（多選）長方體的棱長，則從點沿長方體表面到達點的距離可以為（）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】則從點沿長方體表面到達有三種展開方式，
若以為軸展開，則，
若以為軸展開，則，
若以為軸展開，則.
故選：ABC.
2．若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為5，面積為的扇形，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為（）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則，解得r＝4，設(shè)截面與圓錐底面的交線長為a（），由題意，截面是一個等腰三角形，截面三角形的高，所以截面面積
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故選：C．
3．已知正三棱柱的所有棱長都是2，點M在棱AC上運動，則的最小值為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如圖，將三棱柱的上底面ABC沿AC展開至與平面共面，此時．
因為，且，由余弦定理可得，
解得，所以的最小值為．故選：A.
4．在正四棱錐中，，為的中點，為的中點，則從點沿著四棱錐的表面到點的最短路徑的長度為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分以下幾種情況討論：
（1）當(dāng)點沿著平面、到點，將平面、延展為同一平面，如下圖所示：
易知、均為等邊三角形，延展后，，，
所以，四邊形為菱形，所以，且，
因為、分別為、的中點，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，此時；
（2）當(dāng)點沿著平面、到點，將平面、延展至同一平面，如下圖所示：
連接，則，且，，，
因為，由余弦定理可得；
（3）當(dāng)點沿著平面、到點，連接，如下圖所示：
則，，，
由余弦定理可得；
（4）當(dāng)點沿著平面、、到點，將這三個側(cè)面延展為同一平面，如下圖所示：
易知、、三點共線，且，，，
由余弦定理可得.
綜上所述，從點沿著四棱錐的表面到點的最短路徑的長度為.
故選：C.
5．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且．若點、、分別為棱、、上的動點（不包含端點），則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把四棱錐沿展開，得到如圖所示圖形：
的最小時，點與共線時，所以求的最小值即求的長度，因為，，
所以在中，結(jié)合余弦定理得，所以，因為，所以，
在中，,故選：C.
6．如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長均為，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為，，分別是線段，上的一點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，將正四棱柱的側(cè)面展開，則的最小值為．
在中，，，則．故選：D
7．已知正三棱錐P-ABC，底面邊長為3，高為1，四邊形EFGH為正三棱錐P-ABC的一個截面，若截面為平行四邊形，則四邊形EFGH面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)側(cè)棱長為，則由底面邊長為3，高為1，由可求得，
如圖，設(shè)，則，且，于是，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
故四邊形的面積最大值為，故選：C.
8．在正方體中，，E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為（）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】取的中點為M，連接EM，，則，且，則．又正方體中，，所以，，因此，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，因此該等腰梯形的高為，所以該截面的面積為．故選：D．
9．如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm，底面是長為5cm 寬為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B．求：
（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；
（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長路程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）將長方體與頂點相關(guān)的兩個面展開，共有三種方式，如圖所示：
則的長就為最短路線．
若螞蟻沿前側(cè)面和上底面爬行，如圖1，則經(jīng)過的最短路程為，
若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖2，則經(jīng)過的最短路程為，
若螞蟻沿左側(cè)面和上底面爬行，如圖3，則經(jīng)過的最短路程為，
，∴所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是；
（2）最長的路線應(yīng)該是依次經(jīng)過棱長為的路線，
由，所以最長路程是．

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