1．（2023上·山東淄博·九年級山東省淄博第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．AC=BC?tanAB．AB=AC?csAC．AC=AB?sinAD．AC=BC?tanB
【答案】D
【分析】根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的求法得出答案．
【詳解】解：A、tanA=BCAC，則BC=AC?tanA，故此選項不符合題意；
B、csA=ACAB，則AC=AB?csA，故此選項不符合題意；
C、sinA=BCAB，則BC=AB?sinA，故此選項不符合題意；
D、tanB=ACBC，則AC=BC?tanB，故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】此題考查銳角三角函數(shù)的定義（銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)），熟記銳角三角函數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期中）把△ABC各邊的長度都擴大4倍得到△A'B'C'，其中A'與A是對應(yīng)頂點，則銳角A'的余弦值比銳角A的余弦值（ ）
A．?dāng)U大4倍B．保持不變C．縮小4倍D．?dāng)U大2倍
【答案】B
【分析】本題考查銳角三角函數(shù)．根據(jù)題意可知∠A大小不變，即得出銳角A的余弦值保持不變．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大4倍，
∴各角的大小不變，即∠A大小不變．
∵一個角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，
∴銳角A的余弦值保持不變．
故選B．
3．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考二模）在△ABC中，若csA=32，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】A
【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵csA=32=cs30°，
∴∠A的度數(shù)是30°；
故選A．
4．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)射線OA與x軸正半軸的夾角為α，點P在射線OA上，如果csα=45且OP=5，那么點P的坐標(biāo)是（ ）
A．3,4B．4,3C．3,5D．5,3
【答案】B
【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)；過點P作PH⊥x軸于點H，根據(jù)“銳角的鄰邊與斜邊的比叫做該銳角的余弦”可得OH=4，再由勾股定理求出PH=3，即可．
【詳解】解：如圖，過點P作PH⊥x軸于點H，
∵csα=45且OP=5，
∴OHOP=OH5=45，
解得：OH=4，
∴PH=OP2-OH2=3，
∴點P的坐標(biāo)是4,3．
故選：B
5．（2023上·山東濰坊·九年級校考階段練習(xí)）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若a=10，S△ABC=5033，則∠A=（ ）
A．60°B．30°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】利用直角三角形的面積可得AC=1033，再結(jié)合銳角的正切可得答案．
【詳解】解：如圖，∵a=10，即BC=10，
∵S△ABC=5033，
∴12×10AC=5033，
∴AC=1033，
∴tan∠A=BCAC=10×3103=3，
∴∠A=60°，
故選A
【點睛】本題考查的是利用銳角的正切求解銳角的大小，熟記銳角的正切的含義是解本題的關(guān)鍵．
6．（2023上·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，點B在直線l上，若矩形ABCD的周長為28，點A到直線l的距離AE的長為6，則點C到直線l的距離CF的長為（ ）

A．125B．165C．245D．325
【答案】B
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知識．利用矩形性質(zhì)求出BC的長，利用銳角三角函數(shù)求出BF的長，再利用勾股定理即可求出最后結(jié)果，其中證明∠ABE=∠BCF是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB，AD=BC，∠ABC=90°，
∵AB=10，且矩形ABCD的周長為28，
∴2BC+2×10=28，
解得：BC=4，
∵AE⊥l于點E，CF⊥l于點F，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE=∠BCF=90°-∠FBC，
∵BFBC=sin∠BCF=sin∠ABE=AEAB，AB=10，AE=6，
∴BF=AE?BCAB=6×410=125，
∴CF=BC2-BF2=42-1252=165，
點C到直線l的距離CF的長為165，
故選:B．
7．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）電線桿AB直立在水平的地面BC上，AC是電線桿AB的一根拉線，測得BC=5，∠ACB=52°，則拉線AC的長為（ ）
A．5tan52°B．5cs52°C．5?cs52°D．5sin52°
【答案】B
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：在Rt△ABC中，BC=5，∠ACB=52°，
則：AC=5cs52°；
故選B．
8．（2023下·九年級課時練習(xí)）王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時王英同學(xué)離A地（ ）．
A．503mB．100mC．1003mD．200m
【答案】C
【詳解】如圖，過點A作AD⊥BC，交BC于點D．在Rt△ABD中，∠ABD=60°，sin∠ABD=100×32=503(m)，BD=AB?AD=AB?cs∠ABD=100×12=50(m)，CD=BC-BD=150(m),AC=CD2+AD2=1003(m)．
【易錯點分析】不會畫圖，“A地沿北偏西60°方向”應(yīng)該在A地建立方向坐標(biāo)，“B地向正南方向”應(yīng)該在B地建立方向坐標(biāo)，要根據(jù)需要建立方向坐標(biāo)．
9．（2023上·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點B在第一象限，∠AOB=∠B=30°，OA=2，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)是( )
A．3,-3B．-3,3C．3,-3D．-1,2+3
【答案】B
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識如圖，過點B'作B' H⊥y軸于H．解直角三角形求出OH，B'H即可．
【詳解】解：如圖，過點B'作B' H⊥y軸于H．
∵∠AOB=∠B=30°，OA=2．
∴AB=OA=2
∵旋轉(zhuǎn)，
∴A'B'=AB=2
在Rt△A'B'H中，A'H=A'B'cs60°=1，B'H=A'B'sin60°=3，
∴OH=2+1=3，
∴B' -3,3，
故選：B．
10．（2023上·安徽合肥·九年級合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，將△BCD沿射線BD平移a個單位長度（a>0）得到△B'C'D'，連接AB'，AD'，則當(dāng)△AB'D'是直角三角形時，a的值為（ ）
A．75或165B．2或165C．85或165D．75或3
【答案】A
【分析】分兩種情況：①如圖1，∠D'AB'=90°，②如圖2，∠AB'D'=90°，分別作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明三角形相似列比例式可得對應(yīng)a的值．
【詳解】分兩種情況：
①如圖1，∠D'AB'=90°，延長C'B'交AB于G，過點D'作D'H⊥AB，交BA的延長線于H，
∴∠H=∠AGB'=∠BGB'=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，AD=BC=3，
∵tan∠ABD=ADAB=B'GBG，即B'GBG=34，
設(shè)B'G=3x，BG=4x，
∴BB'=a=5x，
由平移得：DD'=BB'=5x，
∴D'H=3+3x，AH=BG=4x，
∴AG=AB-BG=4-4x，
∵∠D'AB'=∠HAD'+∠BAB'=90°，
∠AD'H+∠HAD'=90°，
∴∠AD'H=∠GAB'，
∵∠H=∠AGB'=90°，
∴ △D'HA∽△AGB'，
∴ D'HAG=AHB'G，即3+3x4-4x=4x3x，
∴x=725，
∴a=5×725=75；
②如圖2，∠AB'D'=90°，延長C'B'交AB于M，則C'M⊥AB，
∴∠AMB'=90°，
由平移得：B'C'=BC=3，
同理設(shè)B'M=3m，BM=4m，則BB'=a=5m，
∴AM=4-4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'=90°，∠MAB'+∠AB'M=90°，
∴∠D'B'C'=∠MAB'，
∵∠C'=∠AMB'=90°，
∴ △D'C'B'∽△B'MA，
∴ C'D'MB'=B'C'AM，即43m=34-4m，
∴m=1625，
∴a=5m=5×1625=165；
綜上，a的值是75或165．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)等知識點；解題關(guān)鍵是畫出兩種情況的圖形，依題意進行分類討論．
二、填空題（每題4分，共20分）
11．（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一坡度i=1∶3的斜面上，一木箱沿斜面向上推進了10米，則木箱升高了 米．

【答案】5
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用??坡度坡角問題，設(shè)木箱升高了x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出木箱前進的水平距離，再根據(jù)勾股定理計算即可得到答案，掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)木箱升高了x米，
∵斜坡的坡度為i=1∶3，
∴木箱前進的水平距離為3x米，
由勾股定理得x2+3x2=102，
解得x=5（負(fù)值舍去），
故答案為：5．
12．（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）在△ABC中，若2sinA-1+22-csB=0，則∠C= ．
【答案】105°/105度
【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，利用非負(fù)數(shù)和為零得出2sinA-1=0，22-csB=0，求出∠A、∠B度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：∵2sinA-1+22-csB=0
∴2sinA-1=0，22-csB=0，
∴sinA=12，csB=22，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°．
故答案為：105°．
13．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）計算：4sin45°-2tan60°?sin30°的值為 ．
【答案】22-3/-3+22
【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，代入特殊角的三角函數(shù)值進行計算，即可求解．
【詳解】解：4sin45°-2tan60°?sin30°
=4×22-2×3×12
=22-3
故答案為：22-3．
14．（2023上·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校校考階段練習(xí)）在△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，則tanC= ．
【答案】125 或 1223
【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理等知識，分類討論：當(dāng)點A在A1處時，過A1點作A1M⊥BC于點M，利用面積求出A1M=12，進而可得BM=A1B2-A1M2=9，則有CM=BC-BM=5，此時問題得解；當(dāng)點A在A2處時，過A2點作A2M⊥BC于點M，同理作答即可．
【詳解】如圖，
當(dāng)點A在A1處時，過A1點作A1M⊥BC于點M，
∵BC=14，S△ABC=84，
∴S△ABC=12×BC×A1M=84，
∴A1M=12，
∵AB=15，
∴BM=A1B2-A1M2=9，
∴CM=BC-BM=5，
∴tan∠A1CM=A1MCM=125；
當(dāng)點A在A2處時，過A2點作A2M⊥BC于點M，
同理可得A2N=12，
∴BN=A2B2-A2N2=9，
∴CN=CB+BN=23，
∴tan∠A2CN=A2NCN=1223，
故答案為：125 或 1223．
15．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC,CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M點，AF交BD于N點．下列結(jié)論：①BM2+DN2=MN2； ②若F是CD的中點，則tan∠AEF=2；③連接MF，則△AMF為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號是 （把你認(rèn)為所有正確的都填上）．
【答案】①③/③①
【分析】將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，連接NH，可得∠EAF=∠HAF=45°，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AMN≌△AHN(SAS)，在Rt△NDH中，由勾股定理HN2=DH2+DN2，即可證明①；
過A作AG⊥AE，交CD延長線于G，由（1）同理可得△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，設(shè)DF=x, BE=DG=y，
則可表示出設(shè)CF、CE、EF，在Rt△EFC中，由勾股定理可得x=32y，設(shè)x=3m，則y=2m，即可證明②；
根據(jù)條件可證明△AMN∽△DFN，進而證明△ADN∽△MFN，即可證明③．
【詳解】解：①將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，連接NH，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠HAF=45°，
∵△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，
∴AH=AM,BM=DH，∠ABM=∠ADH=45°，
又∵AN=AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，
∴MN=HN，
而∠NDH=∠ADB+∠ADH=45°+45°=90°，
在Rt△NDH中，HN2=DH2+DN2，
∴BM2+DN2=MN2，故①正確；
②過A作AG⊥AE，交CD延長線于G，如圖：
由（1）同理可得△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE,∠AEF=∠G，
設(shè)DF=x, BE=DG=y，
∵F是CD的中點，
則CF=x,CD=BC=AD=2x,EF=x+y,CE=BC-BE=2x-y，
在Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2，
∴(2x-y)2+x2=(x+y)2，
解得x=32y，
設(shè)x=3m，則y=2m，
∴AD=2x=6m, DG=2m，
在Rt△ADG中，tan∠G=ADDG=6m2m=3，
∴tan∠AEF=3，故②不正確；
③∵∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF，
∴△AMN∽△DFN，
∴ANDN=MNFN，
∴ANMN=DNFN，
∵∠AND=∠FNM，
∴△ADN∽△MFN，
∴∠MFN=∠ADN=45°，
∴∠MAF=∠MFA=45°，
∴△AMF為等腰直角三角形，故③正確，
故答案為：①③．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理和正確作輔助線是解決此類題的關(guān)鍵．
三、解答題（16-18題每題4分，19題6分，20題7分，21、22題每題8分，23題9分，共50分）
16．（2023上·江西宜春·九年級江西省豐城中學(xué)?？计谥校┯嬎悖?br>(1)2sin60°+12-2+2-3-9-tan45° ；
(2)2cs45°-tan30°?sin60°+20230．
【答案】(1)2；
(2)32．
【分析】(1)根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，再用負(fù)整數(shù)冪、算術(shù)平方根、絕對值化簡，然后根據(jù)實數(shù)的運算，即可得答案；
(2)根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，零整數(shù)冪運算，可得實數(shù)的運算，根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案；
本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：原式=2×32+4+2-3-3-1；
=3+4+2-3-3-1，
=2；
（2）解：原式=2×22-33×32+1，
=1-12+1，
=32．
17．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考期中）先化簡，再求代數(shù)式1+1x-2÷x2-12x-4的值，其中x=sin45°-2sin30°．
【答案】2x+1，22
【分析】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化，先根據(jù)分式的運算法則把所給分式化簡，然后把x化簡后代入計算．
【詳解】解：原式=x-2x-2+1x-2÷x2-12x-2
=x-1x-2×2x-2x+1x-1
=2x+1，
∵x=sin45°-2sin30°=22-2×12=22-1，
∴原式=222-1+1=22．
18．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)如果AB=15，∠A=60°，求BC的長；
(2)如果AB=15，tanA=34，求BC的長．
【答案】(1)BC=1532
(2)BC=9
【分析】本題考查解直角三角形；
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的定義和60度角的正弦值求解即可；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的定義和勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sin∠A=BCAB，
∵∠A=60°，AB=15，
∴sin60°=BC15=32，
∴BC=1532；

（2）解：Rt△ABC中，tanA=34 =BCAC，設(shè)BC=3k,AC=4k
則AB=5k，
∵AB=15，
∴k=3，
∴BC=3k=9．
19．（2023上·吉林長春·九年級?？计谥校┤鐖D，在每個小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格中，其頂點稱為格點，點A、B．都在格點，上，只用無刻度的直尺，分別在網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中，以AB為斜邊畫直角△ABC（點C在格點上），使得 tan∠ABC=23
(2)在圖②中，以AB為一直角邊畫等腰直角△ABD（點D在格點上）． 使得∠A=90°．
(3)在圖③中，以AB為一直角邊畫△ABE（點E在格點上）， 在AE上取點F， 使得 tan∠ABF=25
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）找到2×3的格點頂點C，即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理與網(wǎng)格的特點找到格點D，使得∠BAD=90°,AB=AD；
（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點找到點F，使得AFFE=23，則tan∠ABF=AFAB=AFAE=25，點F即為所求；
【詳解】（1）解：如圖所示，點C即為所求；
（2）解：如圖所示，點D即為所求；
（3）解：如圖所示，找到點F，使得AFFE=23，則tan∠ABF=AFAB=AFAE=25，點F即為所求；
【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，求正切，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角函數(shù)的定義，勾股定理與網(wǎng)格，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
20．（2023上·海南?？凇ぞ拍昙壓Ｄ先A僑中學(xué)校考期中）如圖，在一個坡角位40°的斜坡上有一棵樹BC，樹高4米．當(dāng)太陽光AC與水平線成70°角時，該樹在斜坡上的樹影恰好為線段AB．

(1)∠CAB=______°，∠ACB=______°；
(2)求樹影AB的長．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，tan20°≈0.36，tan30°≈0.58，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin70°≈0.94，tan70°≈2.75）
【答案】(1)30，20；
(2)2.7米
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及鄰補角即可求解；
（2）本題可通過構(gòu)造直角三角形來解答，過B點作BD⊥AC，D為垂足，在直角三角形BCD中，已知BC的長，可求∠BCD的度數(shù)，那么可求出BD的長，在直角三角形ABD中，可求∠DAB=30°，前面又得到了BD的長，那么就可求出AB的長．
【詳解】（1）解：如圖，

∵CH∥AM,
∴∠MAC=∠GCH=70°,
∴∠CAB=∠CAH-∠MAH=70°-40°=30°,
∵∠ACB+∠BCH+∠GCH=180°,∠BCH=90°,∠GCH=70°,
∴∠ACB=20°；
故答案為：30，20；
（2）解：過B點作BD⊥AC，D為垂足，

在直角三角形BCD中，∠BCD=20°，
BD=BC?sin20°=4×0.34=1.36米，
在直角三角形ABD中，∠DAB=30°，
AB=BD÷sin30°=1.36÷ 12≈2.7米．
答：樹影AB的長約為2.7米．
【點睛】本題考查了鄰補角定義，解直角三角形，30度直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
21．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=23，以BC的中點E為圓心畫MPN與AD相切，切點為P，點M，N分別在AB與CD上，求扇形EMN的面積．

【答案】4π3
【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形面積的計算；如圖，連接PE,證明四邊形ABEP, 四邊形PECD都為矩形，可得扇形半徑為2，再求解∠MEB,∠NEC,∠MEN,再利用扇形的面積公式進行計算即可.
【詳解】解：如圖，連接PE,

∵扇形的弧MPN與AD相切，
∴PE⊥AD,
∵ 矩形ABCD,
∴ 四邊形ABEP, 四邊形PECD都為矩形，
∴扇形半徑ME=PE=NE=AB=2．
在矩形ABCD中，AD=BC=23，E為BC的中點，
∴在Rt△BME中，BE=12AD=3．
∵cs∠MEB=BEME=32，
∴∠MEB=30°，
同理：∠NEC=30°,
∴ ∠MEN=180°-2∠MEB=120°．
∴S陰影=120π×22360=4π3．
22．（2023上·寧夏銀川·九年級?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒0

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級下冊電子課本

28.1 銳角三角函數(shù)

版本： 人教版（2024）

年級： 九年級下冊

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