第10課  銳角三角函數(shù) 課程標準1．結合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；
2．會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數(shù)值；
3．理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.  知識點01  銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的          ，也叫做∠B的         ，∠B所對的邊AC記為b ，叫做∠B的        ，也是∠A的          ，直角C所對的邊AB記為c，叫做         ．
　     銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作         ，即          ；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作          ，即         ；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作          ，即         .同理         ；         ；         ．
要點詮釋：
　　(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時，其比值  ，角的度數(shù)變化時，比值也隨之         ．
　　(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學符號，是一個整體，不能寫成，，
　 　　，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應寫成“tan∠AEF”，不能寫成
　 　　“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．
　　(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．
　　(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當角度在0°<∠A<90°間變化時，        ，          ，         ．知識點02  特殊角的三角函數(shù)值　　　利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°   45°   60°   要點詮釋：
　　(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角        ．
　　(2)仔細研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：
　 　　、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結為：
　 　　①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而         ；
　 　　②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而         ．
 知識點02  銳角三角函數(shù)之間的關系　　如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
　　(1)互余關系：        ，        ；
　　(2)平方關系：        ；
　　(3)倒數(shù)關系：        或；
　　(4)商數(shù)關系：        ．
　　要點詮釋：
　　銳角三角函數(shù)之間的關系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導得出，常應用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關系式可使運算簡便．
  考法01   銳角三角函數(shù)值的求解策略【典例1】如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（　?。?/span>A．2 B． C． D． 【即學即練1】在中，，若，，則      ，            ，         ，      ，         ．     考法02  特殊角的三角函數(shù)值的計算【典例2】求下列各式的值： (1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2) sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°； (3) +tan60°﹣． 【即學即練2】在中，，若∠A=45°，則      ，           ，         ，      ，          ．考法03  銳角三角函數(shù)之間的關系【典例3】已知△ABC中的∠A與∠B滿足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）試判斷△ABC的形狀．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．考法04  銳角三角函數(shù)的拓展探究與應用【典例4】如圖所示，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD與BC相交于點P，若弦CD＝6，試求cos∠APC的值．              【典例5】通過學習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖1①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：(1)sad60°＝________．(2)對于0＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是_______．(3)如圖1②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．   題組A  基礎過關練1. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，則下列結論不正確的是（　?。?/span>A． B． C． D．2.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（　?。?/span>　 A．2 B．  C．  D．  3. 已知銳角α滿足sin25°＝cosα，則α＝(    )A．25°     B．55°     C．65°      D．75° 4．如圖所示，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，5)和點O(0，0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值為  (    )A．       B．       C．      D． 5．如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是(    )A．       B．      C．      D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則∠A的正弦值(   )A．擴大2倍     B．縮小2倍     C．擴大4倍     D．不變 7．如圖所示是教學用具直角三角板，邊AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，則邊BC的長為(    )A．cm      B．cm      C．cm      D．cm8. 如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2，則sin∠ACD的值為(    )A．         B．       C．       D．   題組B  能力提升練9．如圖，點A（3，t）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα=，則t的值是　   　． 10. 用不等號連接下面的式子．(1)cos50°________cos20°     (2)tan18°________tan21° 11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是銳角，則∠C的度數(shù)為       . 12．如圖所示，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA＝________． 13．已知：正方形ABCD的邊長為2，點P是直線CD上一點，若DP＝1，則tan∠BPC的值是________．                    第12題                           第15題  14．如果方程的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC的最小角為A，那么tanA的值為________．15．如圖所示，△ABC的內(nèi)心在y軸上，點C的坐標為(2，0)，點B的坐標是(0，2)，直線AC的解析式為，則tanA的值是________． 16.若α為銳角，且，則m的取值范圍是             　．題組C  培優(yōu)拔尖練17．如圖所示，△ABC中，D為AB的中點，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值． 18. 計算下列各式的值．   (1) ；(2) sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) ﹣cos60°． 19．如圖所示，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE． (1)求證：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如圖所示，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(B、C兩點除外)．(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求△ABC面積的最大值．(參考數(shù)據(jù)：，，．                                                                       
 

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28.1 銳角三角函數(shù)

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