課題
12.3 角的平分線的性質(zhì)
課 型
新授課
課 時
1
教學(xué)


目標(biāo)
1．知識與技能


通過作圖直觀地理解角平分線的兩個互逆定理。


2．過程與方法


經(jīng)歷探究角的平分線的性質(zhì)的過程，領(lǐng)會其應(yīng)用方法。


3．情感、態(tài)度與價值觀


激發(fā)學(xué)生的幾何思維，啟迪他們的靈感，使學(xué)生體會到幾何的真正魅力。
教 學(xué)


重 點


難 點
教學(xué)重點 領(lǐng)會角的平分線的兩個互逆定理。


教學(xué)難點 兩個互逆定理的實際應(yīng)用。
教 學(xué)


準(zhǔn) 備
課件、制作如課本圖教具．
教





學(xué)





過





程
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課


【問題探究】（投影顯示）


如課本圖11．3─1，是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎？





【教師活動】首先將“問題提出”，然后運用教具（如課本圖11．3─1）直觀地進行講述，提出探究的問題．


【學(xué)生活動】小組討論后得出：根據(jù)三角形全等條件“邊邊邊”課本圖11．3─1判定法，可以說明這個儀器的制作原理．


【教師活動】


請同學(xué)們和老師一起完成下面的作圖問題．


操作觀察：


已知：∠AOB．


求法：∠AOB的平分線．


作法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C．（3）作射線OC，射線OC即為所求（課本圖11．3─2）．


【學(xué)生活動】動手制圖（尺規(guī)），邊畫圖邊領(lǐng)會，認識角平分線的定義；同時在實踐操作中感知．


【媒體使用】投影顯示學(xué)生的“畫圖”．


【教學(xué)形式】小組合作交流．





二、隨堂練習(xí)，鞏固深化


課本P19練習(xí)．


【學(xué)生活動】動手畫圖，從中得到：直線CD與直線AB是互相垂直的．


【探研時空】（投影顯示）


如課本圖11．3─3，將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？





【教師活動】操作投影儀，提出問題，提問學(xué)生．


【學(xué)生活動】實踐感知，互動交流，得出結(jié)論，“從實踐中可以看出，第一條折痕是∠AOB的平分線OC，第二次折疊形成的兩條折痕PD、PE是角的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離，這兩個距離相等．”


論證如下：


已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E（課本圖11．3─4）


求證：PD=PE．


證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，


∴∠PDO=∠PEO=90°


在△PDO和△PEO中，





∴△PDO≌△PEO（AAS）


∴PD=PE


【歸納如下】


角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．


【教學(xué)形式】師生互動，生生互動，合作交流．


三、情境合一，優(yōu)化思維


【問題思索】（投影顯示）


如課本圖11．3─5，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20 000）？





【學(xué)生活動】四人小組合作學(xué)習(xí)，動手操作探究，獲得問題結(jié)論．從實踐中可知：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，將條件和結(jié)論互換：到角的兩邊的距離相等的點也在角的平分線．


證明如下：


已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE．


求證：點P在∠AOB的平分線上．


證明：經(jīng)過點P作射線OC．


∵PD⊥OA，PE⊥OB


∴∠PDO=∠PEO=90°


在Rt△PDO和Rt△PEO中，





∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）


∴∠AOC=∠BOC，


∴OC是∠AOB的平分線．


【教師活動】啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生；組織小組之間的交流、討論；幫助“學(xué)困生”．


【歸納】到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．


【教學(xué)形式】自主、合作、交流，在教師的引導(dǎo)下，比較上述兩個結(jié)論，弄清其條件和結(jié)論，加深認識．


四、范例點擊，應(yīng)用所學(xué)


【例】 如課本圖11．3─6，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等．





【思路點撥】因為已知、求證中都沒有具體說明哪些線段是距離，而證明它們相等必須標(biāo)出它們．所以這一段話要在證明中寫出，同輔助線一樣處理．如果已知中寫明點P到三邊的距離是哪些線段，那么圖中畫實線，在證明中就可以不寫．


【教師活動】操作投影儀，顯示例子，分析例子，引導(dǎo)學(xué)生參與．


證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F．


∴BM是△ABC的角平分線，點P在BM上．


∴PD=PE


同理 PE=PF


∴PD=PE=PF


即點P到邊AB、BC、CA的距離相等．


【評析】在幾何里，如果證明的過程完全一樣，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略詳細證明過程．


【學(xué)生活動】參與教師分析，主動探究學(xué)習(xí)．
作 業(yè)





布 置
課本P22練習(xí)．同步活頁練習(xí)
課堂總結(jié)
1．學(xué)生自行小結(jié)角平分線性質(zhì)及其逆定理，和它們的區(qū)別．


2．說明本節(jié)例子實際上是證明三角形三條角平分線相交于一點的問題，說明這一點是三角形的內(nèi)切圓的圓心（為以后學(xué)習(xí)設(shè)伏）．



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版本： 人教版

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