【考點(diǎn)1】無(wú)理數(shù)．
【考點(diǎn)2】算術(shù)平方根．
【考點(diǎn)3】平方根．
【考點(diǎn)4】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕
【考點(diǎn)5】立方根．
【考點(diǎn)6】估算無(wú)理數(shù)的大?。純?yōu)
【考點(diǎn)7】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．
【考點(diǎn)8】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．
【考點(diǎn)9】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；
【考點(diǎn)10】二次根式的定義．
【考點(diǎn)11】二次根式有意義的條件．
【考點(diǎn)12】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．
【考點(diǎn)13】最簡(jiǎn)二次根式．菁
【考點(diǎn)14】同類二次根式．
【考點(diǎn)15】二次根式的乘除法．
【考點(diǎn)16】分母有理化．
【考點(diǎn)17】二次根式的加減法；實(shí)數(shù)的性質(zhì)
【考點(diǎn)18】二次根式的混合運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn) 1 ：平方根
1.算術(shù)平方根的定義
如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開(kāi)方數(shù).
注意：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.
2.平方根的定義
如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算. (≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.
知識(shí)點(diǎn)2：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系
1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和
2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；
（2）被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；
（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．
注意：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．
正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.
知識(shí)點(diǎn)3：平方根的性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)4：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律
被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.
知識(shí)點(diǎn)5：立方根的定義
1.定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方.
注意：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù). 開(kāi)立方和立方互為逆運(yùn)算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.
注意：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同. 兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).
知識(shí)點(diǎn)6：立方根的性質(zhì)

注意：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)7： 立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律
被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.
知識(shí)點(diǎn)8：無(wú)理數(shù)
有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).
注意：（1）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限.無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式
常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如.
知識(shí)點(diǎn)9：實(shí)數(shù)
有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).
1.實(shí)數(shù)的分類
按定義分：
實(shí)數(shù)
按與0的大小關(guān)系分：
實(shí)數(shù)
2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).
數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).
知識(shí)點(diǎn)10：實(shí)數(shù)運(yùn)算
1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對(duì)值、相反數(shù)的意義同樣適用于實(shí)數(shù)。
2．運(yùn)算法則：先算乘方開(kāi)方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的。
知識(shí)點(diǎn)11：二次根式
二次根式的概念
一般地，我們把形如 的式子的式子叫做二次根式，稱為 稱為二次根號(hào)．
二次根式滿足條件：
必須含有二次根號(hào)
被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)
如都是二次根式。
2.二次根式有無(wú)意義的條件
3.二次根式的性質(zhì)
1.的性質(zhì)
2.的性質(zhì)
3.的性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)12： 二次根式的乘除法法則
二次根式的乘法法則：
（二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）
2.二次根式的乘法法則的推廣
，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù)。
3.二次根式的乘法法則的逆用
（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）
4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣
4.二次根式的除法法則
（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）
5.二次根式的除法法則的推廣
注意：
a≥0，b＞0時(shí)，才有意義；
如果被開(kāi)方數(shù)時(shí)帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)
知識(shí)點(diǎn)13：最簡(jiǎn)二次根式
最簡(jiǎn)二次根式的概念
被開(kāi)方數(shù)不含分母
被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式
化簡(jiǎn)二次根式的一般方法
3.分母有理化
分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。
方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)。
知識(shí)點(diǎn)14： 同類二次根式
同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。
合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如
知識(shí)點(diǎn)15： 二次根式的加減
二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。
二次根式加減運(yùn)算的步驟：
①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；
②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；
③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變。
知識(shí)點(diǎn)16：二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）
【考點(diǎn)1】無(wú)理數(shù)．
1．（2023?崇川區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）下列一組數(shù)﹣8，，0，2，0.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0），其中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C
【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可求解．
【解答】解：在實(shí)數(shù)﹣8，，0，2，0.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0），中，無(wú)理數(shù)有，0.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0），共2個(gè)．
故選：C．
2．（2022秋?江陰市期末）下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（ ）
A．B．0C．πD．0.12
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義即可判斷．
【解答】解：A、﹣是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、π是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
D、0.12是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【考點(diǎn)2】算術(shù)平方根．
3．（2023?瑤海區(qū)三模）4的算術(shù)平方根是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．
【答案】C
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，求出4的算術(shù)平方根即可．
【解答】解：4的算術(shù)平方根是：，
故選：C．
4．（2023?惠來(lái)縣模擬）的算術(shù)平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．D．3
【答案】C
【分析】利用算術(shù)平方根的定義即可求解．
【解答】解：＝3，3的算術(shù)平方根是．
故選：C．
5．（2023春?寶清縣校級(jí)期末）若，則x的取值范圍是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．0＜x＜2
【答案】A
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性可得2﹣x≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵＝2﹣x，≥0，
∴2﹣x≥0，
解得：x≤2．
故選：A．
6．（2023春?黔東南州期末）已知，，則的值約為（ ）
A．0.228B．0.0722C．0.0228D．0.722
【答案】A
【分析】根據(jù)根號(hào)內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律即可求解，算術(shù)平方根的移動(dòng)規(guī)律為：根號(hào)內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)兩位，對(duì)應(yīng)的結(jié)果小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)一位，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)方向保持一致．
【解答】解：∵，
∴．
故選：A．
7．（2023春?撫遠(yuǎn)市期中）已知正數(shù)a的兩個(gè)不同的平方根分別是 2x﹣2 和 6﹣3x，a﹣4b 的算術(shù)平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求 a﹣b2﹣2 的平方根．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）一個(gè)數(shù)x的平方等于a，則這個(gè)數(shù)x即為a的平方根，其中正的平方根是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)平方根性質(zhì)列得方程解得x值后即可求得a的值，再由算術(shù)平方根的定義求得b的值即可；
（2）將a，b的值代入a﹣b2﹣2中計(jì)算后求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵正數(shù)a的兩個(gè)不同的平方根分別是 2x﹣2 和 6﹣3x，
∴2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得：x＝4，
則2x﹣2＝8﹣2＝6，
那么a＝62＝36，
∵a﹣4b 的算術(shù)平方根是4，
∴a﹣4b＝16，
解得：b＝5；
（2）∵a﹣b2﹣2
＝36﹣52﹣2
＝36﹣25﹣2
＝9，
那么其平方根為±3．
8．（2022秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為cm的小正方形剪拼成一個(gè)大的正方形，
（1）則大正方形的邊長(zhǎng)是 4 cm；
（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為3：2且面積為12cm2，若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬；若不能，試說(shuō)明理由．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長(zhǎng)即可；
（2）先求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，利用長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)比較大小再判斷即可．
【解答】解：（1）大正方形的邊長(zhǎng)是＝4（cm）；
故答案為：4；
（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3xcm，寬為2xcm，
則2x?3x＝12，
解得：x＝，
3x＝3＞4，
所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，不能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為3：2，且面積為12cm2．
【考點(diǎn)3】平方根．
9．（2023春?廣陽(yáng)區(qū)期末）16的平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．
【解答】解：16的平方根是±4．
故選：C．
10．（2023?常德三模）的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個(gè)數(shù)x，使得x2＝a，則x就是a的平方根，由此即可解決問(wèn)題．
【解答】解：＝4，4的平方根是±2．
故選：C．
11．（2023春?黃岡期末）若（x﹣2）2＝9，則x的值是（ ）
A．﹣1B．5C．5或﹣1D．5或1
【答案】C
【分析】利用平方根的定義先得一元一次方程，再解一元一次方程即可．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3．
∴x＝2±3．
∴x＝5或﹣1．
故選：C．
12．（2023春?商南縣期末）若2m﹣4與3m﹣1是同一個(gè)數(shù)兩個(gè)不同的平方根，則m的值（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1
【答案】B
【分析】根據(jù)2m﹣4與3m﹣1是同一個(gè)數(shù)兩個(gè)不同的平方根，則2m﹣4與3m﹣1互為相反數(shù)，構(gòu)建方程求得m的值．
【解答】解：（2m﹣4）+（3m﹣1）＝0，
解得：m＝1．
故選：B．
13．（2023春?富川縣期末）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是m+6和2m﹣15，則的算術(shù)平方根是（ ）
A．4B．±4C．2D．±2
【答案】C
【分析】先根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)列方程求得m，再求解值即可求解．
【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是m+6和2m﹣15，
∴m+6+2m﹣15＝0，則m＝3，
∴，
∴的算術(shù)平方根是2，
故選：C．
14．（2023春?昭陽(yáng)區(qū)月考）求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝64．
【答案】（1）x＝±5；
（2）x＝9或x＝﹣7．
【分析】運(yùn)用平方根知識(shí)進(jìn)行求解．
【解答】解：（1）移項(xiàng)，得x2＝25，
開(kāi)平方，得x＝±5；
（2）開(kāi)平方，得x﹣1＝±8，
解得x＝9或x＝﹣7．
【考點(diǎn)4】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值．
15．（2023春?八步區(qū)期中）已知，則a+b＝（ ）
A．8B．﹣8C．6D．﹣6
【答案】D
【分析】利用絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性得出a、b的值，代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵，
∴a﹣1＝0，7+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣7，
∴a+b＝1+（﹣7）＝﹣6．
故選：D．
16．（2023春?雅安期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則2x+y的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±4
【答案】A
【分析】根據(jù)二次根式以及平方具有非負(fù)性可知：，（y+2）2≥0，又因?yàn)?，所以可以求出x＝3，y＝﹣2，代入到2x+y中，求出2x+y的平方根，即可解答．
【解答】解：∵，（y+2）2≥0，
又∵，
∴x﹣3＝0，y+2＝0，
則x＝3，y＝﹣2，
∴2x+y＝2×3+（﹣2）＝6﹣2＝4．
∵4的平方根為±2，
故選：A．
17．（2023春?西崗區(qū)月考）已知（4﹣a）2與互為相反數(shù)，則a﹣b的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，
∴4﹣a＝0，b+1＝0，
解得a＝4，b＝﹣1，
∴a﹣b＝5，
∴a﹣b的平方根是，
故選：C．
【考點(diǎn)5】立方根．
18．（2023春?海林市校級(jí)期中）立方根等于它本身的數(shù)是（ ）
A．±1B．1，0C．±1，0D．以上都不對(duì)
【答案】C
【分析】利用立方根的定義即可求解．
【解答】解：立方根等于它本身的數(shù)有：0和±1．
故選：C．
19．（2023春?鐵東區(qū)期中）27的立方根是（ ）
A．3B．±3C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)立方根的定義即可得出答案．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故選：A．
20．（2023春?巴東縣期末）已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正確的是（ ）
A．≈17.100B．≈7.937
C．≈171.00D．≈79.37
【答案】B
【分析】根據(jù)立方根的規(guī)律解答即可．
【解答】解：∵；
故選：B．
21．（2023春?博白縣月考）已知x，y為實(shí)數(shù)，且，則yx的立方根是（ ）
A．B．﹣8C．﹣2D．±2
【答案】C
【分析】運(yùn)用非負(fù)數(shù)、乘方和立方根的知識(shí)進(jìn)行求解．
【解答】解：由題意得，
，
解得，
∴yx
＝（﹣2）3
＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
即yx的立方根是﹣2，
故選：C．
22．（2023春?東莞市期中）x是的平方根，y是27的立方根，則x﹣y的值為（ ）
A．0B．﹣6C．0 或﹣6D．0或﹣3
【答案】C
【分析】求出（﹣）2＝9，根據(jù)平方根和立方根定義求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵x是的平方根，y是27的立方根，
∴x＝±3，y＝3，
當(dāng)x＝3時(shí)，x﹣y＝0，
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x﹣y＝﹣6，
故選：C．
23．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）計(jì)算求下列各式中的x
（1）9x2﹣4＝0；
（2）（x+1）3＝﹣27．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)立方根與平方根的定義即可求出答案．
【解答】解：（1）x2＝，
x＝ x＝﹣
（2）x+1＝﹣3
x＝﹣4
24．（2023春?鞏義市期末）已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．
（1）求a，b的值．
（2）求﹣8a+3b+3的平方根．
【答案】（1）a＝﹣，b＝7；（2）±5．
【分析】（1）根據(jù)平方根立方根的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可．
（2）將a、b代入代數(shù)式計(jì)算數(shù)值后再求它的平方根即可．
【解答】解：（1）∵7a+1的立方根是 ，8a+b﹣2 的平方根是±2．
∴7a+1＝；8a+b﹣2＝4，
解得 ；
（2）當(dāng) ，b＝7 時(shí)，
﹣8a+3b+3＝﹣8×（﹣）+3×7+3＝25．
則25的平方根是±5．
∴﹣8a+3b+3的平方根是±5．
【考點(diǎn)6】估算無(wú)理數(shù)的大?。?br>25．（2023春?徐聞縣期末）的值在（ ）
A．1與2之間B．2與3之間C．3與4之間D．5與6之間
【答案】C
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義，化為幾個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的大小比較．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
故選：C．
26．（2023春?沾化區(qū)期末）如圖1，將兩塊邊長(zhǎng)均為3cm的正方形紙板沿對(duì)角線剪開(kāi)，拼成如圖2所示的一個(gè)大正方形，則大正方形邊長(zhǎng)的值在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間？（ ）
A．3到4之間B．4到5之間C．5到6之間D．6到7之間
【答案】B
【分析】根據(jù)對(duì)角線乘積的一半求出大正方形的面積，即可確定出邊長(zhǎng)的范圍．
【解答】解：根據(jù)題意得：大正方形的面積為cm2，
則大正方形的邊長(zhǎng)為．
∵，
∴．
即大正方形邊長(zhǎng)的值在4和5之間．
故選：B．
27．（2023春?巴彥淖爾期末）設(shè)n為正整數(shù)，且n＜﹣1＜n+1，則n的值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】直接利用估算無(wú)理數(shù)大小的方法得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∴7＜﹣1＜8，
∴n＝7．
故選：C．
【考點(diǎn)7】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．
28．（2023?邵陽(yáng)縣校級(jí)模擬）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（ ）
A．﹣2與B．﹣2與C．﹣2與D．2與|﹣2|
【答案】A
【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、＝2，﹣2與是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)正確；
B、＝﹣2，﹣2與相等，不是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、﹣2與﹣是互為倒數(shù)，不是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、|﹣2|＝2，2與|﹣2|相等，不是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
【考點(diǎn)8】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．
29．（2023?海港區(qū)一模）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．若實(shí)數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（ ）
A．2B．﹣1C．﹣2D．3
【答案】B
【分析】先由a在數(shù)軸上的位置可得1＜a＜2，進(jìn)而可得∴|a|＜2，再由﹣a＜b＜a可得b的范圍，再選出符合要求的選項(xiàng)．
【解答】解：由數(shù)軸的定義得：1＜a＜2，
∴﹣2＜﹣a＜﹣1，
∴|a|＜2，
又∵﹣a＜b＜a，
∴b到原點(diǎn)的距離一定小于2，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合，
故選：B．
30．（2023?浠水縣二模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是（ ）
A．﹣1B．C．+1D．﹣1
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．
【答案】A
【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)向右就用加法求解．
【解答】解：∵＝，
所以點(diǎn)A表示的數(shù)為：﹣1+，
故選：A．
31．（2023春?惠城區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)得（ ）
A．2a﹣bB．b﹣2aC．bD．﹣b
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a＜0，b＞0，a﹣b＜0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再去絕對(duì)值，最后合并即可得到答案．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴，故B正確．
故選：B．
【考點(diǎn)9】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；
32．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：|﹣3|+（π﹣2）0＝ 4 ．
．
【答案】4．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的概念和零指數(shù)冪的概念計(jì)算．
【解答】解：|﹣3|+（π﹣2）0＝3+1＝4．
故答案為：4．
33．（2023?扶余市二模）計(jì)算：＝ 2 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】先得到16的算術(shù)平方根，然后進(jìn)行減法運(yùn)算即可．
【解答】解：原式＝4﹣2＝2．
故答案為2．
34．（2023春?靈丘縣校級(jí)期末）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根據(jù)乘方、立方根、絕對(duì)值、算術(shù)平方根的意義逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算加減即可；
（2）先根據(jù)立方根、絕對(duì)值、算術(shù)平方根的意義逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算加減即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
35．（2023?望城區(qū)模擬）計(jì)算：．
【答案】．
【分析】根據(jù)乘方、算術(shù)平方根定義、絕對(duì)值性質(zhì)、立方根定義，進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
36．（2023?金安區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：．
【答案】．
【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根．化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求解立方根，再合并即可．
【解答】解：+|﹣1|+
＝4+﹣1﹣3
＝．
【考點(diǎn)10】二次根式的定義．
37．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：A．當(dāng)x≥﹣1時(shí)，為二次根式，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B． 為二次根式，所以B選項(xiàng)符合題意；
C．當(dāng)a≤﹣1或a≥1時(shí)，為二次根式，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D．當(dāng)a＞0時(shí)，為二次根式，所以D選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
38．（2023春?涵江區(qū)期中）已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（ ）
A．0B．2C．3D．7
【答案】D
【分析】首先把進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)是整數(shù)確定n的最小值．
【解答】解：∵，且是整數(shù)，
∴7n是個(gè)完全平方數(shù)，（完全平方數(shù)是能表示成一個(gè)整式的平方的數(shù)）
∴n的最小值是7．
故選：D．
【考點(diǎn)11】二次根式有意義的條件．
39.（2023春?巴南區(qū)月考）要使式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＜3B．x≥3C．x≤3D．x≠3
【答案】A
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得出6﹣2x＞0，再求出答案即可．
【解答】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴6﹣2x＞0，
解得：x＜3，
故選：A．
40．（2023春?濱海新區(qū)期末）若是二次根式，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞1B．x≤1?C．x≥1?D．x≥0?
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【解答】解：∵表示二次根式，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故選：C．
【考點(diǎn)12】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．
41．（2023春?南寧期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．5B．±5C．﹣5D．25
【答案】A
【分析】先計(jì)算出被開(kāi)方的值，根據(jù)二次根式的意義解答．
【解答】解：原式＝＝5；
故選：A．
42．（2023春?禹州市期中）已知1＜a＜2，則化簡(jiǎn) 的結(jié)果為（ ）
A．2a﹣4B．4﹣2aC．2D．﹣2
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴
＝3﹣a+a﹣1
＝2．
故選：C．
43．（2023春?綏江縣期中）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖 所示，則+化簡(jiǎn)后為（ ）
A．9B．﹣9C．2a﹣15D．15﹣2a
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)軸表示的方法得到5＜a＜10，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到原式＝|a﹣3|+|a﹣12|，然后去絕對(duì)值、合并即可．
【解答】解：∵5＜a＜10，
∴原式＝|a﹣3|+|a﹣12|
＝a﹣3﹣（a﹣12﹣）
＝a﹣3﹣a+12
＝9．
故選：A．
44．（2023春?雙鴨山期末）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：A．＝|﹣3|＝3，故本選項(xiàng)不符合題意，
B．＝2，故本選項(xiàng)不符合題意，
C．＝﹣2，故本選項(xiàng)符合題意，
D．﹣＝﹣（﹣1）＝1，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【考點(diǎn)13】最簡(jiǎn)二次根式．
45．（2023春?南沙區(qū)期末）下列式子中，為最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：A． ＝，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B． 為最簡(jiǎn)二次根式，所以B選項(xiàng)符合題意；
C． ＝2，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D． ＝2，所以D選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
46．（2023?平南縣模擬）化簡(jiǎn)＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】利用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：＝×＝3，
故答案為：3．
【考點(diǎn)14】同類二次根式．
47．（2023春?清江浦區(qū)期末）下列各式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，選被開(kāi)方數(shù)為2的根式即可．
【解答】解：＝2，因此選項(xiàng)A不符合題意；
＝3，因此選項(xiàng)B符合題意；
＝2，因此選項(xiàng)C不符合題意；
＝2，顯然與不是同類二次根式，因此選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
48．（2023?榆樹(shù)市二模）最簡(jiǎn)二次根式與二次根式是同類二次根式，則x＝ ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】把化為最簡(jiǎn)形式，再根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．
【解答】解：＝2，
∵簡(jiǎn)二次根式與二次根式是同類二次根式，
∴4﹣3x＝2，
解得x＝．
故答案為：．
【考點(diǎn)15】二次根式的乘除法．
49．（2023春?北京期末）計(jì)算：．
【答案】10．
【分析】根據(jù)二次根式乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論．
【解答】解：
＝
＝
＝10．
50．（2023春?船營(yíng)區(qū)期末）計(jì)算：．
【答案】．
【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法，進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后合并即可得到答案．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝．
51．（2023春?密云區(qū)期末）計(jì)算：2．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝2××
＝××
＝6．
【考點(diǎn)16】分母有理化．
52．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問(wèn)題：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
（1）求的值；
（2）計(jì)算：+++…++．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）原式根據(jù)閱讀材料中的方法變形即可得到結(jié)果；
（2）原式各項(xiàng)變形后，抵消合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．
53．（2023春?新市區(qū)期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分別求下列代數(shù)式的值：
（1）a2﹣b2
（2）a2﹣2ab+b2．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）先由a、b計(jì)算出a+b、a﹣b，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）計(jì)算可得；
（2）將a﹣b代入a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2計(jì)算可得．
【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，
∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，
則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝6×
＝12；
（2）由（1）知a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
＝（2）2
＝8．
【考點(diǎn)17】二次根式的加減法；實(shí)數(shù)的性質(zhì)
54．（2023春?興城市期末）計(jì)算：．
【答案】．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝
＝．
55．（2023春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)并計(jì)算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝．
【考點(diǎn)18】二次根式的混合運(yùn)算
56．（2023?二道區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）計(jì)算：．
．
【答案】5+．
【分析】直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：原式＝3+2+2﹣5×
＝3+2+2﹣
＝5+．
57．（2023春?順昌縣校級(jí)月考）計(jì)算：．
【答案】．
【分析】根據(jù)乘法公式，二次根式的混合運(yùn)算法則即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【考點(diǎn)19】二次根式的化簡(jiǎn)求值．
58．（2023春?鹽城期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝+1．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】直接利用乘法公式化簡(jiǎn)合并同類項(xiàng)得出即可．
【解答】解：原式＝a﹣a2+a2﹣3
＝a﹣3，
將a＝+1代入得：
原式＝a﹣3＝+1﹣3＝﹣2．
59．（2023春?涵江區(qū)期中）先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．
【答案】；．
【分析】根據(jù)平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式先計(jì)算整式的乘法運(yùn)算，再合并得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再把代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：
＝
＝；
當(dāng)時(shí)，
原式＝．
一．選擇題（共10小題）
1．下列實(shí)數(shù)，，，|﹣3|，，，，0.3131131113?（相鄰兩個(gè)3之間1的個(gè)數(shù)逐次加1）中，無(wú)理數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【解答】解：|﹣3|＝3，，，
∴無(wú)理數(shù)有：，，，0.3131131113?，
故選：D．
2．和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的數(shù)為（ ）
A．虛數(shù)B．有理數(shù)C．無(wú)理數(shù)D．實(shí)數(shù)
【答案】D
【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．
故選：D．
3．下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．27的立方根是±3
B．的平方根是±4
C．9的算術(shù)平方根是3
D．立方根等于平方根的數(shù)是1
【答案】C
【解答】解：A、27的立方根是3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、的平方根是±2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、9的算術(shù)平方根是3，故選項(xiàng)正確；
D、立方根等于平方根的數(shù)是0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
4．若實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣3|+＝0，則（x+y）3的平方根為（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【答案】D
【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，
∴x＝3，y＝1，
則（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故選：D．
5．4的平方根是（ ）
A．B．±C．2D．±2
【答案】D
【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根為：±2，
故選：D．
6．對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a*b＝（a﹣b）2．給出三個(gè)推斷：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；其中正確的推斷個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：a*b＝（a﹣b）2，b*a＝（b﹣a）2，
∵（a﹣b）2＝（b﹣a）2，
∴a*b＝b*a，故①推斷正確，符合題意；
（a*b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，
a2*b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，
∵（a﹣b）4與（a+b）2（a﹣b）2不一定相等，
∴（a*b）2與a2*b2不一定相等，故②推斷錯(cuò)誤，不符合題意；
（﹣a）*b＝（﹣a﹣b）2＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2，
a*（﹣b）＝[a﹣（﹣b）]2＝（a+b）2，
∴（﹣a）*b＝a*（﹣b）；故③推斷正確，符合題意；
正確的推斷共2個(gè)，
故選：C．
7．一個(gè)數(shù)的平方根和它的立方根相等，這個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．0和1
【答案】C
【解答】解：平方根和它的立方根相等的數(shù)是0．
故選：C．
8．a(chǎn)，b是有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（ ）
﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣b＜a＜﹣a＜b
C．﹣a＜﹣b＜a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a
【答案】B
【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∵﹣a＜b，
∴﹣b＜a，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b．
故選：B．
9．已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+b|﹣|c﹣b|的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)+cB．c﹣aC．﹣a﹣cD．a(chǎn)+2b﹣c
【答案】A
【解答】解：通過(guò)數(shù)軸得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0
∴|a+b|﹣|c﹣b|＝a+b﹣b+c＝a+c，
故答案為：a+c．
故選：A．
10．如圖，數(shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，AB＝AC，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，
∴AB＝﹣1，
∵AB＝AC，
∴AC＝﹣1，
∴點(diǎn)C所表示的數(shù)為1﹣（﹣1）＝2﹣．
故選：C．
二．填空題（共5小題）
11．介于和之間的整數(shù)是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵，
∴，
∴介于和之間的整數(shù)是3；
故答案為：3．
12．如果x2＝64，那么＝ ±2 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵x2＝64，
∴x＝±8，
∴＝±2．
故答案為：±2．
13．比較大?。? ＞ ．
【答案】＞．
【解答】解：∵，，18＜12，
∴．
故答案為：＞．
14．﹣1的整數(shù)部分是 3 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴﹣1的整數(shù)部分是3，
故答案為：3．
15．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)是 ﹣1+ ．
【答案】﹣1+．
【解答】解：根據(jù)勾股定理得正方形對(duì)角線長(zhǎng)＝＝，
∵以﹣1表示的點(diǎn)為圓心，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫圓與數(shù)軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是﹣1+．
故答案為：﹣1+．
三．解答題（共4小題）
16．求下列各式中x的值．
（1）（x﹣3）2﹣4＝21；
（2）27（x+1）3+8＝0．
【答案】（1）x＝8或﹣2．（2）x＝﹣．
【解答】解：（1）移項(xiàng)得（x﹣3）2＝25，
∴x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，
∴x＝8或﹣2．
（2）移項(xiàng)整理得（x+1）3＝﹣，
∴x+1＝﹣，
∴x＝﹣．
17．已知實(shí)數(shù)a+9的一個(gè)平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2．
（1）求a、b的值．
（2）求2a+b的算術(shù)平方根．
【答案】（1）a＝16，b＝4；
（2）6．
【解答】解：（1）∵實(shí)數(shù)a+9的一個(gè)平方根是﹣5，
∴a+9＝（﹣5）2＝25，
解得a＝16，
∵2b﹣a的立方根是﹣2，
∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，即2b﹣16＝﹣8，
解得b＝4，
∴a＝16，b＝4；
（2）解：，
即2a+b的算術(shù)平方根是6．
18．如圖，a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示．
（1）請(qǐng)用“＞”、“＜”判斷下列代數(shù)式的大小，a ＜ 0，c﹣a ＞ 0，b+c ＜ 0；
（2）試化簡(jiǎn)：|a|+|c﹣a|﹣|b+c|．
【答案】（1）＜；＞；＜；（2）﹣2a+b+2c．
【解答】解：（1）∵數(shù)軸上表示的數(shù)原點(diǎn)左邊的是負(fù)數(shù)，右邊的是正數(shù)，
∴a＜0，b＜0，c＞0且|b|＞|c|，
∴﹣a＞0．
∴c﹣a＞0，b+c＜0．
故答案為：＜；＞；＜；
（2）∵a＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
∴原式＝﹣a+c﹣a﹣[﹣（b+c）]
＝﹣a+c﹣a+b+c
＝﹣2a+b+2c．
19．閱讀材料：
我們定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記作i2＝﹣1，那么這個(gè)i就叫做虛數(shù)單位．虛數(shù)與我們學(xué)過(guò)的實(shí)數(shù)合在一起叫做復(fù)數(shù)．一個(gè)復(fù)數(shù)可以表示為a+bi（a，b均為實(shí)數(shù)）的形式，其中a叫做它的實(shí)部，b叫做它的虛部．
復(fù)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算與我們學(xué)過(guò)的整式加、減、乘的運(yùn)算類似．
例如計(jì)算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．
根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：
（1）填空：i3＝ ﹣i ，i4＝ 1 ；
（2）計(jì)算：（2+i）2；
（3）將化為a+bi（a，b均為實(shí)數(shù)）的形式（即化為分母中不含i的形式）．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2?i＝﹣1?i＝﹣i，i4＝i2?i2＝﹣1?（﹣1）＝1，
故答案為：﹣i，1；
（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；
（3）＝＝＝＝i．
條件
字母表示
二次根式有意義
被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)
二次根式無(wú)意義
被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)
符號(hào)語(yǔ)言
文字語(yǔ)言
一個(gè)非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根是非負(fù)數(shù)
提示
有最小值，為0
符號(hào)語(yǔ)言
應(yīng)用
正用：
逆用：若a≥0，則
提示
逆用可以再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如
符號(hào)語(yǔ)言
a（a＞0）
0（a=0)
-a(a＜0）
文字語(yǔ)言
任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值
應(yīng)用
正用：
逆用：
方法
舉例
將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方
化去根號(hào)下的分母
若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開(kāi)方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)
若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)
若被開(kāi)方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被開(kāi)方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）

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