目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8300" 【典型例題】 PAGEREF _Tc8300 \h 1
\l "_Tc20732" 【類型一 三角形中，利用面積求邊上的高】 PAGEREF _Tc20732 \h 1
\l "_Tc28797" 【類型二 結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc28797 \h 6
\l "_Tc15321" 【類型三 巧妙割補(bǔ)求面積】 PAGEREF _Tc15321 \h 9
\l "_Tc25562" 【類型四 “勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】 PAGEREF _Tc25562 \h 13
\l "_Tc30343" 【類型五 幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】 PAGEREF _Tc30343 \h 21
\l "_Tc25506" 【類型六 幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】 PAGEREF _Tc25506 \h 28
\l "_Tc7517" 【類型七 實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】 PAGEREF _Tc7517 \h 31
【典型例題】
【類型一 三角形中，利用面積求邊上的高】
例題：（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是和，則斜邊上的高為多少（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)斜邊上的高為，利用勾股定理可求出斜邊的長(zhǎng)，利用面積法即可求出的值，可得答案．
【詳解】∵直角三角形的兩條直角邊分別為，，
斜邊長(zhǎng)為，
直角三角形的面積為，
解得：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，直角三角形兩直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方；靈活運(yùn)用三角形的面積的兩種不同的表示方法得到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在3 ×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若是的高，則的長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，利用面積和差關(guān)系可求的面積，由三角形的面積法求高即可．
【詳解】解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，則邊上的高長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出三角形的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得邊上的高．
【詳解】解：四邊形是正方形，面積是4；
，的面積相等，且都是．
的面積是：．
則的面積是：．
在直角中根據(jù)勾股定理得到：．
設(shè)邊上的高線長(zhǎng)是．則，
解得：，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割補(bǔ)法”求面積是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為6、8，則它的斜邊上的高是 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求得斜邊的長(zhǎng)，設(shè)斜邊上的高，再根據(jù)面積相等列出方程，求出答案即可．
【詳解】解：∵直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為6、8，
∴斜邊的長(zhǎng)為，
設(shè)斜邊上的高為h，根據(jù)題意，得
，
解得．
所以斜邊上的高是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形的高線，勾股定理，根據(jù)三角形的面積相等列出方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt中，，，，于．
求：（1）斜邊的長(zhǎng)；
（2）高的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算出的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：（1）在中，，，，
；
（2），
，
解得．
故高的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．
(1)求的長(zhǎng)．
(2)求斜邊邊上的高．
【答案】(1)
(2)斜邊AB邊上的高是4.8
【分析】（1）根據(jù)在中，是邊上的高，，，可以計(jì)算出的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)等面積法，可以求得斜邊邊上的高．
【詳解】（1）解：（1）∵在中，是邊上的高，，，
∴，即，解得，
∵在中，，，
∴；
（2）解：作于點(diǎn)F，
∵，，
∴，
解得，即斜邊AB邊上的高是4.8．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
6．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，，是斜邊上高．
(1)求的面積；
(2)求斜邊；
(3)求高．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）直接利用求面積公式即可求面積；
（2）利用勾股定理即可求解；
（3）利用等面積法即可求解．
【詳解】（1）如圖，

，
∴的面積是；
（2）在中，，，，
∴有勾股定理得：，
（3）∵，
∴，
解得：，
故高的長(zhǎng)為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理:在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
【類型二 結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】
例題：已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可
【詳解】
解：中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，
∵
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是完全平方公式的變形．
【變式訓(xùn)練】
1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（ ）
A．18B．24C．18或24D．18或30
【答案】D
【解析】
【分析】
由勾股定理分別求出BD和CD，分AD在三角形的內(nèi)部和AD在三角形的外部?jī)煞N情況，由三角形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】
解：在Rt△ABD中，
由勾股定理得：BD==12，
在Rt△ACD中，
由勾股定理得：CD==，
分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，BC=12+3=15，
則△ABC的面積=BC×AD=×15×4=30；
②如圖2，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，BC=12-3=9，
則△ABC的面積=BC×AD=×9×4=18；
綜上所述，△ABC的面積為30或18，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識(shí)，熟練掌握勾股定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
3．直角三邊長(zhǎng)分別是x，和5，則的面積為_(kāi)_________．
【答案】6或30
【解析】
【分析】
根據(jù)是直角三角形，則在中分類討論，運(yùn)用勾股定理即可求出答案．
【詳解】
解：是直角三角形，則在中即可運(yùn)用勾股定理，不確定與哪一個(gè)大，所以討論：
（1）若，則存在，
解得，
；
（2）若，則，
解得
．
的面積為6或30．
故答案為：6或30．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直角三角形中勾股定理的應(yīng)用，本題中討論與的大小是解題的關(guān)鍵．
【類型三 巧妙割補(bǔ)求面積】
例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，，，，．

(1)求證：是直角三角形；
(2)求四邊形的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)跟勾股定理的逆定理即可得證；
（2）根據(jù)勾股定理得到，再利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
在中，，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴四邊形為．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

【答案】24平方米
【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出米，根據(jù)，，根據(jù)直角三角形的面積公式求出結(jié)果即可．
【詳解】解：如圖，連接，如圖所示：

，米，米，
米，
米，米，
，
，
這塊地的面積為：
（平方米）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．如果一個(gè)三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形．
2．（2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，是的三邊，且，，．
(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)求的面積．
【答案】(1)是直角三角形，理由見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：是直角三角形．理由：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且是直角；
（2）解：的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）四邊形草地中，已知，，，，且為直角．

(1)求這個(gè)四邊形草地的面積；
(2)如果清理草地雜草，每平方米需要人工費(fèi)20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢？
【答案】(1)
(2)清理完這塊草地雜草需要720元錢
【分析】（1）連接，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理逆定理得出，最后根據(jù)即可求解；
（2）根據(jù)每平方米需要人工費(fèi)20元，即可解答．
【詳解】（1）解：連接，
∵，，為直角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．

（2）解：（元），
答：清理完這塊草地雜草需要720元錢．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方，兩邊平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形．
4．（2022春·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．

(1)求線段與的長(zhǎng)；
(2)求四邊形的面積；
(3)求證：．
【答案】(1)，
(2)
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）運(yùn)用分割法解答即可；
（3）連接，根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．
【詳解】（1）∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，
∴，
（2）
（3）連接，

∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且為斜邊，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出各邊的長(zhǎng)解答．
【類型四 “勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】
例題：（2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有________個(gè)．
②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請(qǐng)證明；若不滿足，請(qǐng)求出，，的數(shù)量關(guān)系．
(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖6所示的“勾股樹(shù)”．在如圖7所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則__________．
【答案】(1)①3；②滿足，證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，用，，分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)，求解之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；②根據(jù)，，，可得；
（2）由題意知，，，，，，代入求解即可．
【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，
則圖2中，，
∵，
∴，故圖2符合題意；
圖3中，，，，
∵，
∴，故圖3符合題意；
圖4中，，，，
∵，
∴，故圖4符合題意；
∴這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)，
故答案為：3；
②解：滿足，證明如下：
由題意知，，，
∴；
（2）解：由題意知，，，，，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股樹(shù)．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出，再求半圓的面積即可．
【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別是289和225，
∴，
∵，
∴，
∴以為直徑的半圓的面積為：；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校校考期中）如圖，中，，，，分別以三邊為直徑畫(huà)半圓，求兩個(gè)月牙形圖案的面積之和（陰影部分的面積）．
【答案】
【分析】先根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓的面積，正確求出，是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為．
(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．
(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．
【答案】(1)
(2)正方形，，，的面積分別為：，，，
【分析】（1）按照?qǐng)D形，根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：依次設(shè)三個(gè)空白正方形為，，
由勾股定理可得：正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積；正方形的面積正方形的面積正方形的面積，
，，，四個(gè)正方形的面積之和正方形的面積，
答：，，，四個(gè)正方形的面積之和為；
（2）解：每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為，
設(shè)中間的直角三角形的較短的直角邊為，斜邊為，由題意得：，解得，
較短的直角邊為，另一直角邊為，
設(shè)的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，則，解得：，
的面積是：；的面積是：，
同理：
設(shè)的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，則，解得：，
的面積是；；的面積是：，
答：正方形，，，的面積分別為：，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并正確列式是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）問(wèn)題再現(xiàn)：
數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀， 從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直 觀推導(dǎo)和解釋．
如圖 1，是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)公式：
如圖 2，在中，，以的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論 ．
如圖 3，如果以的三邊長(zhǎng)為直徑向外作半圓，那么第問(wèn)的結(jié)論 是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
如圖 4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直 徑向上作半圓，求圖 4 中陰影部分的面積．
【答案】（1）；（2）；（3）結(jié)論仍成立，理由見(jiàn)詳解；（4）30
【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積加兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可得出答案；
（2）分別求出三個(gè)正方形的面積，再用勾股定理求解即可；
（3）分別求出三個(gè)半圓的面積，計(jì)算即可；
（4）陰影部分的面積為兩個(gè)小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積．
【詳解】解：（1）由正方形的面積可得出：；
故答案為： ；
（2）由圖可得：,
在直角三角形中有：
∴；
故答案為：；
（3）結(jié)論仍成立，理由如下：
由圖可得出：
∴
在直角三角形中有：
∴．
因此，結(jié)論仍成立．
（4）由圖可知：
陰影部分的面積為兩個(gè)小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積，由（3）可知為兩個(gè)小半圓的面積等于大的半圓的面積，因此，陰影部分的面積等于三角形的面積，
∵．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的拓展，巧妙利用數(shù)形結(jié)合思想方法，借助這種方法將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀是解此題的關(guān)鍵．
5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，
(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫(xiě)出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫(xiě)出過(guò)程）
(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．
(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______．
【答案】(1)
(2)3
(3)7.5
【分析】（1）梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：；
（2）根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)；
（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：
四邊形ABED的面積可以表示為：
，
也可以表示為，
所以，整理得；
（2）設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，
圖③，∵，
∴，
圖④，∵
∴，
圖⑤，∵
∴，
故答案為：3．
（3）∵，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．
【類型五 幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】
例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，，設(shè)，則，，再中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．
【詳解】解：∵△ADE翻折后與完全重合，
∴，
設(shè)，則，，
∵在中，，
即，
解得，，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻折變換，解題中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】利用勾股定理求得，由折疊的性質(zhì)可得，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
由折疊的性質(zhì)得，，，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
解得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 ．

【答案】/
【分析】由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)．
【詳解】解：是中點(diǎn)，，
，
將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，
，
，
在中，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．
3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)為 ．

【答案】1或
【分析】分和兩種情形分類討論，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，算出根據(jù)以及翻折性質(zhì)得出即可解答；當(dāng) 時(shí)，作 交 的延長(zhǎng)線于 ，設(shè) ，在和中用勾股定理即可解答．
【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，

在 中，
如圖， 當(dāng) 時(shí)，作 交 的延長(zhǎng)線于 ，設(shè) ，

在中，
在中，
解得 ，
綜上所述，滿足條件的 的值為 1 或 ，
故答案為：1 或 ．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理、特殊直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，點(diǎn)分別在邊上（不與端點(diǎn)重合）．將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置．

(1)如圖①，當(dāng)與點(diǎn)重合且．
①直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；
②求的面積．
(2)當(dāng)．
①與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)．如圖②，直接寫(xiě)出的大??；
②與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，且的一邊與平行，直接寫(xiě)出的度數(shù)．
【答案】(1)①4；②
(2)①；②的度數(shù)分別為，
【分析】（1）①直接根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；②設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x的值，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）①根據(jù)三角形的外角定理可得，，即可求解；②根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可進(jìn)行解答．
【詳解】（1）解：①在中，由勾股定理得，，
②設(shè)，則，
∵將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置，
∴，
在中，由勾股定理得，，
解得：
∴．
（2）解：①∵將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②當(dāng)時(shí)，如圖：
∵，，
∴，
∵由折疊所得，
∴；

當(dāng)時(shí)，如圖：
∵，，
∴，
∵由折疊所得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．

綜上：的度數(shù)分別為，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形那個(gè)的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理內(nèi)容，根據(jù)勾股定理建立方程求邊的長(zhǎng)度；掌握三角形是內(nèi)角和為，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，平行線的性質(zhì)．
【類型六 幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】
例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，則BC邊上的高為_(kāi)______．
【答案】8
【解析】
【分析】
作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．
【詳解】
如圖，作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，
則即為BC邊上的高，
在中，，
在中,，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

【答案】6
【分析】作，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，勾股定理求出，證明，推出，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出．
【詳解】解：作于點(diǎn)E，如圖，
∵在中，是的角平分線，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，
即，解得：，
即；
故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，屬于常見(jiàn)題型，熟練掌握上述知識(shí)，利用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在和中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)A在的平分線上；
(2)若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)5
【分析】（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的判定即可解決問(wèn)題；
（2）證明，設(shè)，所以，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

在和中，
∵，，，
，
，
，，
平分，
點(diǎn)在的平分線上；
（2）解：，
，
，
，
設(shè)，
，
在中，，
，
．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到．
【類型七 實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】
例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進(jìn)兩步（EB⊥OC于點(diǎn)E，且EB＝10尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長(zhǎng)______尺．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
【詳解】
解：設(shè)OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的長(zhǎng)度為（尺）．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）折竹抵地（源自《九章算術(shù)》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、問(wèn)折者高幾何?大意是：在點(diǎn)C處生長(zhǎng)的一根竹子，原高一丈，蟲(chóng)傷有病，一陣風(fēng)將竹子在點(diǎn)A處折斷，其竹梢點(diǎn)B恰好抵地，尺，求竹子折斷后，留在原處的竹子的長(zhǎng)為多少尺?（1丈尺）．

【答案】尺
【分析】由題意可得：丈=10尺，；即在中，，，然后運(yùn)用勾股定理列方程求得即可．
【詳解】解：由題意可得：丈=10尺，，
∴．
在中，，，
由勾股定理，得，
∴，
解得．
∴留在原處的竹子的長(zhǎng)為尺．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意、發(fā)現(xiàn)直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谀┯幸粋€(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少尺？（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺，）．

【答案】水的深度為尺，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺
【分析】如圖所示，根據(jù)題意可得，設(shè)，則，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示：

由題意可知，
設(shè)，則，
由勾股定理可得，即，
，解得，
答：水的深度為尺，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解實(shí)際問(wèn)題，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．（2023春·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)山西省教育廳“2023年度基礎(chǔ)教育領(lǐng)域重點(diǎn)工作推進(jìn)會(huì)”要求，扎實(shí)推進(jìn)建設(shè)100所公辦幼兒園任務(wù)落實(shí)，某地計(jì)劃要在如圖所示的直線上，新建一所幼兒園，該區(qū)域有兩個(gè)小區(qū)所在的位置在點(diǎn)和點(diǎn)處，于A，于B．已知，，求該幼兒園應(yīng)該建在距點(diǎn)A為多少處，可以使兩個(gè)小區(qū)到幼兒園的距離相等．

【答案】1km
【分析】設(shè)，則．再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的等式，解出x的值，即得解．
【詳解】解：由題意，設(shè)，則．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即，
解得：．
答：該幼兒園E應(yīng)該建在距點(diǎn)A為1km處，可以使兩個(gè)小區(qū)到幼兒園的距離相等．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)勾股定理正確列出方程是解題關(guān)鍵．
4．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在一條東西走向的公路的一側(cè)有一村莊A，和是連接村莊與公路的兩條小路，其中，為方便村民出行，新修了一條鄉(xiāng)村公路，經(jīng)實(shí)際測(cè)量千米，千米，千米．

(1)村莊A到公路的最近距離是多少？并說(shuō)明理由．
(2)求小路長(zhǎng)為多少千米？
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；
(2)千米
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；
（2）設(shè)千米，根據(jù)勾股定理建立方程，求出x的值即可．
【詳解】（1）解：8km． 理由是：
在中， ∵， ，
∴，
∴是直角三角形，，
∴村莊A到公路的最近距離是8km；
（2）設(shè)千米，由（1） 可得：，
在中， 千米，千米，
由勾股定理得：，
∴， 解這個(gè)方程，得，
∴（千米），
答：的長(zhǎng)為千米．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，熟知勾股定理與勾股定理的逆定理的含義是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，地面上放著一個(gè)小凳子（與地面平行），點(diǎn)A到墻面（墻面與地面垂直）的距離為．在圖①中，一木桿的一端與墻角O重合，另一端靠在點(diǎn)A處，．
(1)求小凳子的高度；
(2)在圖②中另一木桿的一端與點(diǎn)B重合，另一端靠在墻上的點(diǎn)C處．若，木桿比凳寬長(zhǎng)，求小凳子寬和木桿的長(zhǎng)度．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）過(guò)A作垂直于墻面，垂足M，根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）延長(zhǎng)交墻面于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】（1）解：過(guò)A作垂直于墻面，垂足M，
根據(jù)題意可得，，
在中，，
即凳子的高度為．
（2）解：延長(zhǎng)交墻面于點(diǎn)N，可得，
設(shè)cm，則，，，
在中，，即，
解得，則．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答．
6．（2023春·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為，將秋千往前推送，到達(dá)的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．

(1)根據(jù)題意，_________，_________，_________；
(2)根據(jù)（1）中求得的數(shù)據(jù)，求秋千的長(zhǎng)度．
(3)如果想要踏板離地的垂直高度為時(shí)，需要將秋千往前推送_________．
【答案】(1)，3，1
(2)秋千的長(zhǎng)度是；
(3)4
【分析】（1）由題意得，，，證四邊形是矩形，得，則；
（2）設(shè)秋千的長(zhǎng)度為，則，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）當(dāng)時(shí)，，則，得，然后在中，由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，，，
，，，
四邊形是矩形，
，
，
故答案為：，3，1；
（2）解：，
，
設(shè)秋千的長(zhǎng)度為，
則，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的長(zhǎng)度是；
（3）解：當(dāng)時(shí)，，
，
，
由（2）可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
即需要將秋千往前推送，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，由勾股定理求出秋千的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．

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