求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的應(yīng)用求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用
如圖所示，一棱長(zhǎng)為3 cm的正方體．把所有的面都分成3×3個(gè)小正方形，假若一只螞蟻每秒爬2 cm，則它從下底面A點(diǎn)，沿表面爬行至右側(cè)的B點(diǎn)，最少要花幾秒?
求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的應(yīng)用
如圖所示，從電線桿離地面8 m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部6 m，那么需要多長(zhǎng)的鋼索?
應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，首先需要構(gòu)造直角三角形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形中第三邊的問(wèn)題.然后確定好直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理a2＋b2 = c2求出待求的線段長(zhǎng)度，即三角形的邊長(zhǎng). 勾股定理在生活中有廣泛應(yīng)用，例如長(zhǎng)度，高度，距離，面積，體積等問(wèn)題都可以利用勾股定理來(lái)解答.
一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3 m， 寬2.2 m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門(mén)框內(nèi)通 過(guò)？為什么？
可以看出，木板橫著或豎著都不能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)，只能試試斜著能否通過(guò).門(mén)框?qū)蔷€AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過(guò).在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2 =AB2+BC2 =12+22=5. AC= ≈2. 24.因?yàn)锳C大于木板的寬2. 2 m，所以木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò).
實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理來(lái)解答.
解：可以看出，BD=OD-OB. 在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42 = 1.OB= =1. 在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4 -0.5)2=3.15. OD = ≈1. 77,BD=OD-OB≈l.77-1=0.77. 所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外 移0.5 m，而是外移約0.77 m.
如圖, 一架2. 6 m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的 墻AO上，這時(shí)AO為2. 4 m.如果梯子的頂端A沿 墻下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m嗎？
生活中的一些實(shí)際問(wèn)題常常通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(直角三角形)來(lái)求解，勾股定理在生活中應(yīng)用面廣，建立的模型有時(shí)并不是已知兩邊求第三邊，而只是告訴了其中的一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題．
1 如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成 直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得 BC=60 m，AC=20 m. 求A，B兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果取整數(shù)).
在Rt△BAC中，BC＝60 m，AC＝20 m，由勾股定理，得AB＝ ＝ ≈57(m)．答：A，B兩點(diǎn)間的距離約為57 m.
2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn) A (5，0)和 B(0，4).求這兩點(diǎn)之間的距離.
由點(diǎn)A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因?yàn)椤螧OA＝90°，所以根據(jù)勾股定理，得AB＝ ＝
3 (中考·安順)如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一 棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù) 頂飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)頂，小鳥(niǎo)至少飛行(　　) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
如圖1所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12 cm，底面上圓的周長(zhǎng)等于18 cm.在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？ (1)自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫(huà)出幾條路線，你覺(jué)得哪條路線最短呢？
(2)如圖2所示，將圓柱側(cè)面剪開(kāi)展成一個(gè)長(zhǎng)方形，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是什么？你畫(huà)對(duì)了嗎？ (3)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到點(diǎn)B處的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？ (4)若螞蟻先從點(diǎn)A直接爬到點(diǎn)C，然后再?gòu)狞c(diǎn)C沿地面直徑爬到點(diǎn)B，這樣爬的總路程與沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程比較，哪一條更短些？
最短路徑問(wèn)題要轉(zhuǎn)化到平面圖形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.
如圖所示的長(zhǎng)方體的高為4 cm，底面是長(zhǎng)為5 cm，寬 為3 cm的長(zhǎng)方形．一只螞蟻從頂點(diǎn)A出 發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到頂點(diǎn)B.求： (1)螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程； (2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一 條棱)的最長(zhǎng)路程．
(1)螞蟻爬行的最短路線可放在平面內(nèi)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間， 線段最短”去探求，而與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開(kāi)共 有三種方式，先根據(jù)勾股定理求出每一種方式下螞蟻 爬行的最短路程，從而可知螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程． (2)最長(zhǎng)路線應(yīng)該是依次經(jīng)過(guò)長(zhǎng)為5 cm，4 cm，5 cm， 4 cm，3 cm，4 cm，5 cm的棱．
(1)將長(zhǎng)方體與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開(kāi)，共有三 種方式，如圖所示．若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖①， 則爬行的最短路程為 若螞蟻沿側(cè)面和上面爬行，如圖②③，
則爬行的最短路程分別為 因?yàn)? ＜4 ＜3 ， 所以螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是 cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以螞蟻沿著棱 爬行的最長(zhǎng)路程是30 cm.
幾何體的表面上兩點(diǎn)間的最短路程問(wèn)題的解決方法是將幾何體表面展開(kāi)，即將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”去確定路線，最后利用勾股定理計(jì)算．
如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6 cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6 cm，P是母線BC上一點(diǎn)，且PC＝ BC. 一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)P的最短距離是(　　)A. cm　　B．5 cm　　C．3 cm　　 D．7 cm
【 中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝3，DC＝1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為(　　)A．4 B．5 C．6 D．7
【 中考·安徽】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝ S長(zhǎng)方形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為(　　)A. B. C． D.
1. 勾股定理從邊的角度刻畫(huà)了直角三角形的重要特征， 應(yīng)用勾股定理可以求出直角三角形中的直角邊或者 斜邊的長(zhǎng)度，在實(shí)際應(yīng)用中要注意： (1)勾股定理的應(yīng)用是以直角三角形存在 (或容易構(gòu)造 直角三角形)為基礎(chǔ)； (2)表示直角三角形邊長(zhǎng)的a, b, c不是固定不變的， c不一定是斜邊的長(zhǎng).

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3.1 勾股定理

版本： 蘇科版

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