1. 經(jīng)歷探求三個正方形面積間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三邊數(shù)量關(guān)系的過程，從中體會數(shù)形結(jié)合思想；
2. 能夠應(yīng)用勾股定理求直角三角形的未知邊長的值.
哪里有數(shù)學，哪里就有美. ——普洛克拉斯（古希臘數(shù)學家）
1955年希臘發(fā)行的一枚紀念郵票.
這張郵票是紀念二千五百年前希臘的一個學派和宗教團體──畢達哥拉斯學派.
郵票上的圖案是根據(jù)一個著名的數(shù)學定理設(shè)計的.
觀察這枚郵票上的圖案，數(shù)數(shù)圖案中各正方形中小方格的個數(shù)，你有什么猜想？
1.將每個小正方形的面積看作1，以BC為一邊的正方形面積是______；
以AC為一邊的正方形面積是____；
以AB為一邊的正方形面積怎么計算呢？
實驗1.將每個小正方形的面積看作1，以BC為一邊的正方形面積是____；
以AB為一邊的正方形面積是____.
在圖中，3個正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
實驗2.在下面的方格紙上，任意畫一個頂點都在在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外部作正方形，仿照上面的方法計算以斜邊為一邊的正方形的面積.
你所畫的3個正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請與同學交流.
正方形 面積
觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？
SBC+SAC=SAB
猜想：兩直角邊a、b與斜邊c 之間的關(guān)系？
直角三角形兩直角邊分別為a、b的平方和等于斜邊c的平方.
直角三角形的斜邊、直角邊有如下關(guān)系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
在我國，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，距今3000多年前的周朝有個叫商高的宰相，有一次和周公談話時說：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五.”此話的意思是：若折出一個直角勾是三、股是四，則弦必定是五.在古代漢語中勾指較短直角邊、股指較長直角邊、弦指斜邊因此這個定理在中國又稱“勾股定理(商高定理)”.
例1 求出下列直角三角形中未知邊的長度.
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得:AC2+BC2=AB2
方法總結(jié)：利用勾股定理建立方程
例2.如圖，以Rt△ABC的三條邊為直徑的半圓的面積分別為S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2.
勾股圖中的面積關(guān)系: 以直角三角形的三邊為基礎(chǔ)，分別向外作半圓、正方形、等邊三角形，如圖，它們都形成了簡單的勾股圖. 對于這些勾股圖，它們都具有相同的結(jié)論，即S3=S1+S2. 與直角三角形三邊相連的圖形還可以換成正五邊形、正六邊形等，結(jié)論同樣成立.
如圖，求S正方形D+S正方形E+S正方形F+S正方形G
1.求下列直角三角形中未知邊的長.
2.求下列圖中未知數(shù)x、y、z的值.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c.(1)若c=15，b=12，求a的長;(2)若a=11，b=60，求c的長;(3)若a∶b=3∶4，c=10，求a、b的長.
解：(1)∵a2+b2=c2，∴a2=c2-b2=152-122=81.∴a=9.
(2)∵a2+b2=c2，∴c2=112+602=3721. ∴c=61.
(3)∵a∶b=3∶4，∴設(shè)a=3x，b=4x(x>0).∵a2+b2=c2，∴(3x)2+(4x)2=102,整理，得25x2=100，∴x2=4.∴x=2.∴a=3x=6，b=4x=8.
能運用勾股定理求直角三角形的邊長
探索勾股定理基本圖形的拓展
1. 如圖，一個高3 米，寬4 米的大門，需在相對角的頂點間加一個加固木條，則木條的長為 ( )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
2.如圖，正方形中的數(shù)據(jù)表示它的面積，則第三個正方形的面積為(　 )A.69B.18 C.19 D.20
3.如圖，根據(jù)圖中的標注求各直角三角形中的未知邊長x、y、z的值.x=　　　　，y=　　　　，z=　　　　.?
解:在Rt△ABC中，∠B=90°,∴由勾股定理得： AC2=AB2+BC2=1+1=2. 在Rt△ACD中，∠ACD=90°,∴由勾股定理得： ∴AD2=AC2+CD2=2+1=3， 即x2=3.
4.求下列直角三角形中未知邊的長度.
5.如圖，在△ABC中，AB=AC，BM=CM，AB=13cm，BC=24 cm.求△ABC的面積.
6.如圖，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分別以△ABC和△DEF的各邊為一邊向三角形外部作正方形，其中兩個小正方形面積的和等于大正方形的面積嗎？
在Rt△ABC中，a=5，b=12，求c2.解：由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169.上面的解答過程正確嗎？若不正確，請說明錯誤的原因并改正.
解：①若c為斜邊，由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169；②若b為斜邊，由勾股定理得：c2=b2-a2=122-52=119.綜上可知，c2的值為169或119.

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初中數(shù)學蘇科版（2024）八年級上冊電子課本 舊教材

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