1955 年希臘發(fā)行了一枚紀念郵票，郵票上的圖案是根據(jù)一個著名的數(shù)學定理設計的. 觀察這枚郵票上的圖案，數(shù)一數(shù)圖案中 3個正方形內(nèi)小方格的個數(shù)，你有哪此發(fā)現(xiàn)?
如圖 3－1，若將小方格的面積看作 1，則以 BC 為一邊的正方形的面積是9，以AC為一邊的正方形的面積是 16. 你能知道以 AB 為一邊的正方形的面積嗎?
在圖中，3個正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關系?
圖中3個正方形的面積之間的數(shù)量關系是以直角三角形的兩條直角邊為一邊向外部所作的正方形的面積之和等于以斜邊為一邊向外部所作的正方形的面積.
在下面的方格紙上，任意畫一個頂點都在格點上的直角三角形并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外部作正方形，仿照上面的方法計算以斜邊為一邊的正方形的面積.
你所畫的 3 個正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關系?請與同學交流.
直角三角形的斜邊、直角邊有如下關系：
勾股定理 直角三角形兩條直角邊 a、b 的平方和等于斜邊 c 的平方.a2＋b2＝c2
如圖，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°， AB＝c，AC＝b，BC＝a，則 a2＋b2＝c2.
a2＝c2－b2；b2＝c2－a2.
我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”. 據(jù)《周算經(jīng)》記載，公元前 1000 多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論.
在Rt△ABC 中, ∠A，∠B，∠C 的對邊分別為 a，b，c，∠C＝90°. (1) 已知 a＝3，b＝4，求c； (2) 已知 c＝17，a＝8，求b； (3) 已知 a∶b ＝ 5∶12，c＝13，求a 和b.
在一個直角三角形中： 1. 已知兩條邊長，若求斜邊，則直接利用勾股定理的公式；若求直角邊，則利用勾股定理的變形公式； 2. 已知一條邊長以及另外兩條邊之間的數(shù)量關系，則需要設未知數(shù)表示另外兩條邊，然后根據(jù)勾股定理的公式列方程求解.
(1) 已知 a＝3，b＝4，求c；
解：∵∠C＝90°，a＝3，b＝4， ∴由勾股定理，得 c2＝a2＋b2＝32＋42＝25， ∴ c＝5.
(2) 已知 c＝17，a＝8，求b；
解：∵∠C＝90°，c＝17，a＝8， ∴由勾股定理，得 b2＝c2－a2＝172－82＝225， ∴ b＝15.
(3) 已知 a∶b ＝ 5∶12，c＝13，求a 和b.
解：∵ a∶b ＝ 5∶12， ∴設a＝5k，b＝12k(k ＞ 0)， ∴ 由勾股定理，得(5k)2＋ (12k)2＝132， 解得 k＝1 (k＝－1 不符合題意，舍去)， ∴ a＝5，b＝12.
1. 求下列直角三角形中未知邊的長.
解：①由勾股定理，得x2＝52＋122＝169，∴x＝13. ②由勾股定理，得x2＝172－82＝225，∴x＝15. ③由勾股定理，得x2＝202－162＝144，∴x＝12.
2. 求下列圖中 x、y、z 的值.
解：81＋144＝x2， x2＝225， x＝15.
解：y2＋144＝169， y2＝25， y＝5.
解：z2＋576＝625， z2＝49， z＝7.
3. 如圖，△ABC 和△DEF 都不是直角三角形，分別以 △ABC和△DEF的各邊為一邊向三角形外部作正方形， 其中兩個小正方形面積的和等于大正方形的面積嗎?
解：兩個小正方形面積的和不等于大正方形的面積.
第一個圖中△ABC 為銳角三角形，分別以 AC，BC，AB 為邊的正方形的面積分別是 5，8，9， ∵5＋8＞9， ∴兩個小正方形面積的和大于大正方形的面積；
第二個圖中△DEF為鐘角三角形，分別以 DE，EF，DF 為邊的正方形的面積分別是 18，9，45， ∵18＋9＜45， ∴兩個小正方形面積的和小于大正方形的面積. 事實上，以上結(jié)論對于所有的銳角三角形和鐘角二角形都成立.
1. 制作 4 張如圖 3－2 的直角三角形紙片.
2. 小明用這 4 張直角三角形紙片拼成圖 3－3. 試用兩種 不同的方法計算圖 3－3的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)?
3. 如圖 3－4，把這 4 張紙片拼成一個邊長為c的正方形，它的面積為 c2，你能用圖3－4驗證勾股定理嗎?
a2 ＋ b2 ＝ c2. 勾股定理得到驗證.
公元3世紀，我國數(shù)學家趙爽曾用圖 3－4 驗證了勾股定理，這個圖形被稱為“弦圖”.
2002 年國際數(shù)學家大會在北京召開，為弘揚我國古代數(shù)學文明.大會選用了“弦圖”作為會標的中心圖案 (如圖 3－5).
把一個直立的火柴盒放倒. 你能用不同的方法計算梯形ABCD的面積，再次驗證勾股定理嗎?
在 Rt△ABC中，∠C＝90°. (1) 如果 BC＝9，AC＝12，那么AB＝________； (2) 如果 BC＝8，AB＝10，那么AC＝________； (3) 如果 AB＝13，AC＝12，那么BC＝________； (4) 如果 AB＝61，BC＝11，那么AC＝________.
解：①由勾股定理，得 x2＝202＋152＝625，∴x＝25. ②由勾股定理，得 x2－342－162＝900，∴x＝30. ③由勾股定理，得 x2＝262－242＝100，∴x＝10
2. 如圖，長2.5m 的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線 的距離為1.5 m. 求梯子頂端的高度 h.
解：由勾股定理，得 h2＋1.52＝2.52， h2＝2.52－1.52＝4， ∴h＝2.0. ∴梯子頂端的高度h為2.0m.
3. 如圖，設小方格的面積為 1，畫出圖中以格點為端點 且長度為5的線段.
4. 圖中涂色部分是直角邊長為 a、b，斜邊長為c的 4個直角三角形試利用這個圖形驗證勾股定理.
S五邊形ABEFG＝S正方形ACFG＋S△ABC＋S△CEF ＝c2＋ab，∴a2＋b2＋ab＝c2＋ab，∴a2＋b2＝c2

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初中數(shù)學蘇科版（2024）八年級上冊電子課本 舊教材

3.1 勾股定理

版本： 蘇科版（2024）

年級： 八年級上冊

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