?第3章 勾股定理（A卷）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

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一、單選題
1．把一個(gè)直角三角形的兩條直角邊都擴(kuò)大到原來的2倍，那么斜邊將（????）
A．?dāng)U大到原來的2倍 B．?dāng)U大到原來的4倍
C．?dāng)U大到原來的3倍 D．不能確定
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則的值為（　?。?br /> A．24 B．18 C．12 D．9
3．已知的直角邊分別為3和4，則斜邊上的高為（????）
A．5 B．6 C． D．
4．勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法．下面四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（????）
A． B．
C． D．
5．在Rt△ABC中，，．則＝（????）
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
6．直角三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高的為（????）
A．5 B． C． D．或
7．下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（????）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，11，12 D．8，15，17
8．已知a，b，c是某三角形的三邊，滿足，則此三角形的面積為（????）
A．30 B．60 C．78 D．32.5
9．在下列條件中：①；②；③；④，能確定是直角三角形的條件有（????）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
10．如圖所示，三個(gè)大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個(gè)正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（????）

A．225 B．144 C．81 D．無法確定

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二、填空題
11．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形較短直角邊長為6，大正方形的邊長為10，則小正方形的邊長為 ．

12．在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，則BC= ．
13．如圖，中，，，分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓，則陰影部分面積為 ．

14．如圖，已知△ABC中，，AB=10，BC=6，若點(diǎn)D為AB邊上任意一點(diǎn)，則線段CD的取值范圍是 ．

15．如圖，將一根長12cm的筷子置于底面半徑為3cm，高為8cm的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度h的取值范圍為 ．

16．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C是BO延長線上一點(diǎn)，OC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝ s時(shí)，△POQ是等腰三角形．

17．某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時(shí)，梯子底端A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的距離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為2m，則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為 m．

18．《九章算術(shù)》中有一個(gè)“折竹抵地”問題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問折處高幾尺？即：如圖，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，則AC= 尺．


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三、解答題
19．某小區(qū)有一塊四邊形空地ABCD（如圖所示），為了美化小區(qū)環(huán)境．現(xiàn)計(jì)劃在空地上鋪上草坪．經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若鋪一平方米草坪需要20元，鋪這塊空地需要投入多少錢？

20．某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的試驗(yàn)田，把課堂的“死教材”轉(zhuǎn)換為生動(dòng)的“活景觀”，學(xué)生們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到試驗(yàn)田實(shí)際操練．如圖，四邊形ABCD是規(guī)劃好的試驗(yàn)田，經(jīng)過測量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求試驗(yàn)田ABCD的面積．

21．如圖是長、寬、高的長方體容器．

(1)求底面矩形的對(duì)角線的長；
(2)長方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長是多少？
22．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接AP．

(1)當(dāng)t＝4.5秒時(shí)，求；
(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．
23．如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)為．設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為p，底端到垂直墻面的距離為q，若，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，梯子最穩(wěn)定，使用時(shí)最安全．若梯子的底端B向墻腳內(nèi)移到D點(diǎn)，請(qǐng)問這時(shí)使用是否安全．

24．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．

(1)求證：；
(2)求原來的路線的長．
25．某天，暴雨突然來襲，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有遇險(xiǎn)船只從A、B兩地發(fā)出求救信號(hào)．于是，第一艘搜救艇以20海里/時(shí)的速度離開港口O沿北偏東40°的方向向A地出發(fā)，同時(shí)，第二艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向B地出發(fā)，2小時(shí)后，他們同時(shí)到達(dá)各自的目標(biāo)位置．此時(shí)，他們相距50海里．

(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大?。?br /> (2)由于B地需要被援救的人數(shù)較多，故需要搭載人數(shù)較少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在從A地前往到B地的過程中，與港口O最近的距離是多少？
26．新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．

(1)請(qǐng)問村莊A能否聽到宣傳？請(qǐng)說明理由；
(2)如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時(shí)間的宣傳？

參考答案：
1．A
【分析】運(yùn)用勾股定理就可以解決．
【詳解】解：設(shè)直角三角形的直角邊為a、b，斜邊為c，
直角邊擴(kuò)大2倍后為2a，2b，
那么根據(jù)勾股定理得原來c2=a2+b2，
現(xiàn)在的斜邊．
即斜邊擴(kuò)大到原來的2倍，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答．
2．B
【分析】根據(jù)勾股定理求出的值，再加上的值即可．
【詳解】解：如圖，

在Rt△ABC中，
，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，整體解答是解題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合題目已知條件求解．
【詳解】解：如圖，，，

，
作于，
，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用直角三角形的面積公式．畫出圖形能更直觀解題．
4．B
【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個(gè)選項(xiàng)的面積，同時(shí)根據(jù)割補(bǔ)的思想可以寫出另外一種面積表示方法，即可得出一個(gè)等式，進(jìn)而可判斷能否證明勾股定理．
【詳解】解：A、大正方形的面積為：c2；
也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：ab×4＋(b?a)2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝c2，故能證明勾股定理．
B、大正方形的面積為：（a＋b）2；
也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2＋b2＋2ab，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
∴不能證明勾股定理．
C、大正方形的面積為：（a＋b）2；
也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：ab×4＋c2＝2ab＋c2，
∴（a＋b）2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2，故能證明勾股定理．
D、圖形的面積兩種求法：①2個(gè)直角三角形+一個(gè)大正方形：2ab＋c2
②兩個(gè)正方形+兩個(gè)直角三角形：a2＋b2+2ab；
∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，
∴a2＋b2＝c2，故能證明勾股定理．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內(nèi)弦圖、外弦圖是解題關(guān)鍵．
5．D
【分析】根據(jù)勾股定理分情況討論求解即可．
【詳解】解：當(dāng)∠C=90°時(shí)，
；
當(dāng)∠A=90°時(shí)，
；
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理解三角形，理解題意進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．
6．D
【分析】設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，①當(dāng)長為4的邊是直角邊時(shí)，②當(dāng)長為4的邊是斜邊時(shí)，分別求得第三邊長，進(jìn)而根據(jù)等面積法即可求解．
【詳解】解：設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，
①當(dāng)長為4的邊是直角邊時(shí)，斜邊長＝5，
則×3×4＝×5×h，
解得：h＝；
②當(dāng)長為4的邊是斜邊時(shí)，另一條直角邊長的平方＝＝7，即另一條直角邊長＝，
×3×＝×4×h，
解得：h＝；
綜上，直角三角形斜邊上的高為：或．
故本題選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
7．D
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：A．∵，
∴，
∴以4，5，6為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；
B．∵，
∴，
∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．∵，
∴，
∴以5，11，12為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．∵，
∴，
∴以8，15，17為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
故本題選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理逆定理，熟練掌握若一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
8．A
【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可得，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得這個(gè)三角形是直角三角形，且為直角邊，然后利用直角三角形的面積公式求解即可得．
【詳解】解：，
，，，
解得：，
，
這個(gè)三角形是直角三角形，且為直角邊，
這個(gè)三角形的面積為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性、勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．
9．C
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理逆定理逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：對(duì)于①：∵，
∴，
∴，故①滿足題意；
對(duì)于②：，設(shè)，
∴，
∴，
∴，故②滿足題意；
對(duì)于③：，設(shè)，
∵，
∴是直角三角形，故③滿足題意；
對(duì)于④：∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，故④不滿足題意；
所以能判斷是直角三角形的有：①②③，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程中細(xì)心即可．
10．C
【分析】根據(jù)題意得出?EFG為直角三角形，然后利用勾股定理即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖所示，?EFG為直角三角形，

∴，
∴正方形A的面積為81，
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．
11．2
【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC，即可求出CD．
【詳解】解：如圖，

∵若直角三角形較短直角邊長為6，大正方形的邊長為10，
∴AB＝10，BC＝AD＝6，
在Rt△ABC中，，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
12．7或25
【分析】已知三角形兩邊的長和第三邊的高，未明確這個(gè)三角形為鈍角還是銳角三角形，所以需分情況討論，即∠ABC是鈍角還是銳角，然后利用勾股定理求解．
【詳解】解：分兩種情況：
①如圖1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=15，AD=12，
由勾股定理得：BD=
在Rt△ADC中AC=20，AD=12，
由勾股定理得：DC=
∴BC的長為BD+DC=9+16=25．
②如圖2，同理得：BD=9，DC=16，
∴BC=CD-BD=7．
綜上所述，BC的長為25或7．
故答案為：25或7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是在直角三角形中用勾股定理求得線段的長．當(dāng)已知條件中沒有明確角的大小時(shí)，要注意討論．
13．120
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形面積公式、圓的面積公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：由勾股定理得，，
則陰影部分面積
，
故答案為120．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、三角形的面積計(jì)算，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．
14．4.8≤CD≤8
【分析】首先利用勾股定理求出AC=8，即CD的最大值，作CE⊥AB于E，求出EC的長，即CD的最小值．
【詳解】解：∵，AB=10，BC=6，
∴AC=，
∵?AC?BC＝?AB?CE，
∴CE＝＝4.8，
∵點(diǎn)D在線段AB上，
∴4.8≤CD≤8．
故答案為4.8≤CD≤8.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意找到CD的最大值和最小值的位置是解題關(guān)鍵.
15．2cm≤h≤4cm
【分析】如圖，當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最短；當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最長．然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出h的取值范圍．
【詳解】解：如圖，

當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最長，
∴h＝12﹣8＝4（cm）；
當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最短，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，
∴AB2＝AD2＋BD2＝62＋82＝102（cm2），即AB＝10cm，
∴此時(shí)h＝12﹣10＝2（cm），
∴h的取值范圍是：2cm≤h≤4cm．
故本題答案為：2cm≤h≤4cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠讀懂題意和求出h的值最大值與最小值是解題關(guān)鍵．
16．2或6/6或2
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，分別列式計(jì)算即可；
【詳解】根據(jù)題意分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，
設(shè)t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過CO時(shí)的時(shí)間已用3s，
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，，
∴是等邊三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解題時(shí)把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，是常用的方法，解決本題的關(guān)鍵要注意分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)還是在右側(cè)分別求解．
17．2.2
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，同理可得出AB的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】解：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝0.7m，DE＝2.4m，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2m，AC＝AD＝2.5，
∴m，
∴BE＝AE＋AB＝0.7＋1.5＝2.2m，
故答案為：2.2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
18．4
【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（9﹣x）尺，利用勾股定理構(gòu)造方程解方程即可．
【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（9﹣x）尺，
根據(jù)勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2
解得：x＝4，
答：折斷處離地面的高度為4尺．
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，依據(jù)勾股定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．
19．4680元
【分析】利用勾股定理求出DB，再利用勾股定理的逆定理證明∠BDC＝90°，然后根據(jù)即可求出空地的面積，繼而可求解．
【詳解】解：連接BD，

在Rt△ABD中，
∠ABC＝90°，AB＝20米，AD＝15米，
∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252，
則BD＝25米，
在△ADB中，
CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米，
∴，
∴△BDC為直角三角形，∠DCB＝90°，
∴＝×15×20+×7×24＝234（平方米），
∴四邊形ABCD的面積為234平方米，
∵鋪一平方米草坪需要20元，
∴234×20＝4680（元），
答：鋪這塊空地需要投入4680元錢．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識(shí)，正確作出輔助線，把四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
20．24平方米
【分析】連接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面積減去△ACD的面積就是所求的面積．
【詳解】解：連接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24（m2）．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
21．(1)5cm
(2)13cm

【分析】（1）根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)果．
（2）根據(jù)題意連接BD、ED，兩次運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵、，∠ABC=90°，
∴對(duì)角線的長=cm；
（2）解：如圖所示：

連接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故這個(gè)盒子最長能放13cm的棍子．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
22．(1)34
(2)6.5秒或12秒或秒

【分析】（1）由t＝4.5秒計(jì)算出BP，再用勾股定理計(jì)算即可；
（2）分BP＝AB，AP＝AB，PA＝PB三種情況討論即可．
【詳解】（1）解：（1）由題意得：BP＝2t，
∴當(dāng)t＝4.5秒時(shí)，BP＝2×4.5＝9，
∵BC＝12，
∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，
∵∠ACP＝90°，
∴由勾股定理得：；
（2）（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴，
∴，
①當(dāng)BP＝AB＝13=2t時(shí)，t＝13÷2＝6.5秒；
②當(dāng)AP＝AB時(shí)，△ABP是等腰三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴C是BP的中點(diǎn)，（三線合一）
∴BP＝2BC＝24，則t＝24÷2＝12秒；
③當(dāng)PA＝PB＝2t時(shí)，
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，，即
解得：t＝秒；
綜上，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t＝6.5秒或12秒或秒．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的存在性問題，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意分類討論和用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．
23．這時(shí)使用安全
【分析】根據(jù)題意得：AB=CD=2.5m，OA=2m，BD=0.8m，根據(jù)勾股定理可得，從而得到q=0.7，再由勾股定理可得p=2.4，即可求解．
【詳解】解∶根據(jù)題意得：AB=CD=2.5m，OA=2m，BD=0.8m，
∴，
∴OD=OB-BD=0.7m，q=0.7，
∴，即p=2.4
∴，
∵，且．
∴這時(shí)使用安全．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
24．(1)是，理由見解析
(2)路線AC的長為8.45千米

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；
（2）設(shè)AC＝x千米，則AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】（1）證明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB為直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：設(shè)AC＝x千米，則AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原來的路線AC的長為8.45千米．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
25．(1)50度
(2)24海里

【分析】（1）根據(jù)題意求出OA、OB，根據(jù)勾股定理的逆定理推證出即得；
（2）根據(jù)垂線段定理即得.
【詳解】（1）由題得：海里/時(shí)×2小時(shí)海里；海里/時(shí)×2小時(shí)海里，
∵，，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
∵由題知，
∴，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.

（2）過點(diǎn)O作，此時(shí)OE的長度即為最近距離，
由（1）知，，，
∴在中，有，
即，
∴，
答：與港口O最近的距離是24海里.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和其逆定理的應(yīng)用，能熟練運(yùn)用勾股定理及和其逆定理是解決本題的關(guān)鍵.
26．(1)村莊能聽到宣傳，理由詳見解析
(2)村莊總共能聽到4分鐘的宣傳

【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：村莊能聽到宣傳，
理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，
∴村莊能聽到宣傳；
（2）解：如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的影響，

則AP=AQ=1000米，AB=800米，
∴BP=BQ==600（米），
∴PQ=1200米，
∴影響村莊的時(shí)間為：1200÷300=4（分鐘），
∴村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合生活實(shí)際，便于更好的理解題意．

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