北師大版七年級上冊第三章整式及其加減3.3 整式綜合訓練題-試卷下載-教習網(wǎng)

一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（2022·全國·七年級課時練習）下列說法中，正確的是（）
A．2不是單項式
B．6πx3的系數(shù)是6，次數(shù)是4
1x2是二次單項式
D．x2?1是二次二項式
2．（2022·全國·七年級課時練習）已知關(guān)于x的多項式m?4x3?xn+x?mn為二次三項式，則當x=?1時，這個二次三項式的值是（）
A．?10B．?12C．8D．14
3．（2022·全國·七年級單元測試）按一定規(guī)律排列的單項式：x3，?x5，x7，?x9，x11，……，第n個單項式是（）
A．?1nx2n?1B．?1n?1x2n+1C．?1n?1x2n?1D．?1nx2n+1
4．（2022·全國·七年級單元測試）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（）
A．297B．301C．303D．400
5．（2022·全國·七年級單元測試）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片(如圖①)不重疊地放在一個底面為長方形(長為m，寬為n)的盒子底部(如圖②)，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長和是( )
A．4mB．4nC．2(m＋n)D．4(m－n)
6．（2022·全國·七年級課時練習）某超市出售一商品，有如下四種在原標價基礎上調(diào)價的方案，其中調(diào)價后售價最低的是（）
A．先打九五折，再打九五折
B．先提價50%，再打六折
C．先提價30%，再降價30%
D．先提價25%，再降價25%
7．（2022·廣東·七年級單元測試）某商店在甲批發(fā)市場以每包m元的價格進了40包茶葉，又在乙批發(fā)市場以每包n元（m>n）的價格進了同樣的60包茶葉，如果以每包m+n2元的價格全部賣出這種茶葉，那么這家商店（）
A．虧損了B．盈利了C．不贏不虧D．盈虧不能確定
8．（2022·全國·七年級課時練習）若代數(shù)式2mx2+4x?2y2?3x2? 2nx?3y+1的值與x的取值無關(guān)，則m2019n2020的值為（）
A．32B．23C．?23D．?32
9．（2022·全國·七年級課時練習）數(shù)學課上，張老師出示了這樣一道題目：“當a=12,b=?2時，求已知7a3+3a2b+3a3?3a2b?10a3?1的值”．解完這道題后，小茗同學發(fā)現(xiàn)：“a=12,b=?2是多余的條件”．師生討論后，一致認為小茗的發(fā)現(xiàn)是正確的．受此啟發(fā)，張老師又出示了一道題目：無論x,y取任何值，多項式2x2+ax?4y+1?2(x2+3x?by?4)的值都不變，則系數(shù)a,b的值分別為（）
A．a(chǎn)=6,b=2 B．a(chǎn)=2,b=6
C．a(chǎn)=?6,b=2 D．a(chǎn)=6,b=?2
10．（2022·全國·七年級課時練習）對多項式x?y?z?m?n任意加括號后仍然只含減法運算并將所得式子化簡，稱之為“加算操作”，例如：(x?y)?(z?m?n)=x?y?z+m+n，x?y?(z?m)?n=x?y?z+m?n，…，給出下列說法：
①至少存在一種“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式之和為0；
③所有的“加算操作”共有8種不同的結(jié)果．
以上說法中正確的個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）
11．（2022·全國·七年級課時練習）在式子①2x+5，②?1，③a2+2ab+b2，④xyz，⑤1x+1y，⑥x+y2，⑦2π+3，⑧x2?y2中是整式的有________，其中是單項式的有________，是多項式的有________．
12．（2022·全國·七年級課時練習）已知a﹣b＝4，a﹣c＝1，則代數(shù)式(2a﹣b﹣c)2+(c﹣b)2的值為__．
13．（2022·江蘇·七年級單元測試）已知代數(shù)式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同類項后不含x3，x2項，則2a+3b的值 _____．
14．（2022·全國·七年級課時練習）如果一個矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”，如圖所示，“優(yōu)美矩形”ABCD的周長為26，則正方形d的邊長為______．
15．（2022·江蘇無錫·七年級期末）同一數(shù)軸上有點A，C分別表示數(shù)a，c，且a，c滿足等式（16+a）2+|c﹣12|＝0，點B表示的數(shù)是多項式2x2﹣4x+3的一次項系數(shù)，點A，B，C在數(shù)軸上同時開始運動，點A向左運動，速度為每秒3個單位長度，點B，C均向右運動，速度分別為每秒3個單位長度和每秒4個單位長度，設運動時間為t秒．若存在m使得2AB﹣m?BC的值不隨時間t的變化而改變，則該定值為 _____．
三．解答題（本大題共9小題，滿分55分）
16．（4分）（2022·全國·七年級課時練習）先去括號，再合并同類項：
(1)6a2﹣2ab﹣2（3a2－12ab）； (2)2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；
(3)9a3﹣[﹣6a2+2（a3－23a2）]； (4)﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．
17．（6分）（2022·全國·七年級課時練習）先化簡，再求值
（1）2（a2b+ab2）-2（a2b-1）-3（ab2+1），其中a=-2，b=2．
（2）(2x2y?2xy2)?[(?3x2y2+3x2y)+(3x2y2?3xy2)]，其中x=?1,y=2
（3）當x＝－52，y＝25時，求xy+2y2+x2?3xy?2y2?x2?xy的值；
18．（6分）（2022·全國·七年級專題練習）已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同學錯將“2A﹣B”看成“2A+B”，算得結(jié)果為4a2b﹣3ab2+4abc．
(1)計算B的表達式；
(2)求出2A﹣B的結(jié)果；
(3)小強同學說(2)中的結(jié)果的大小與c的取值無關(guān)，對嗎？若a=18，b=15，求(2)中式子的值．
19．（6分）（2022·全國·七年級課時練習）閱讀下列材料：小明為了計算1+2+22+?+22017+22018的值，采用以下方法：
設S=1+2+22+?+22017+22018 ①
則2S=2+22+?+22018+22019 ②
②-①得 2S?S=22019?1
∴S=1+2+22+?+22017+22018=22019?1
（1）1+2+22+?+29= ;
（2）3+32+?+310 = ;
（3）求1+a+a2+?+an的和（a>0 ，n是正整數(shù)，請寫出計算過程）.
20．（6分）（2022·四川資陽·七年級期末）一般情況下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如：a=b=0．我們稱使得a2+b3=a+b2+3成立的一對數(shù)a,b為“相伴數(shù)對”，記為(a,b)
（1）若(1,b)是“相伴數(shù)對”，求b的值；
（2）寫出一個“相伴數(shù)對”(a,b)，并說明理由．（其中a≠0，且a≠1）
（3）若(m,n)是“相伴數(shù)對”，求代數(shù)式m?223n?[4m?2(3n?1)]的值．
21．（6分）（2022·全國·七年級期中）小明家住房戶型呈長方形，平面圖如下（單位：米）．現(xiàn)準備鋪設整個長方形地面，其中三間臥室鋪設木地板，其它區(qū)域鋪設地磚．（房間內(nèi)隔墻寬度忽略不計）
（1）求a的值；
（2）請用含x的代數(shù)式分別表示鋪設地面需要木地板和地磚各多少平方米；
（3）按市場價格，木地板單價為300元/平方米，地磚單價為100元/平方米．裝修公司有A，B兩種活動方案，如表：
已知臥室2的面積為21平方米，則小方家應選擇哪種活動，使鋪設地面總費用（含材料費及安裝費）更低？
22．（6分）（2022·全國·七年級專題練習）特殊值法，又叫特值法，是數(shù)學中通過設題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=6x，則：①取x=0時，直接可以得到a0=0；②取x=1時，可以得到a4+a3+a2+a1+a0=6；③取x=?1時，可以得到a4?a3+a2?a1+a0=?6；④把②，③的結(jié)論相加，就可以得到2a4+2a2 +2a0=0，結(jié)合①a0=0的結(jié)論，從而得出a4+a2=0．
請類比上例，解決下面的問題：
已知a6(x?1)6+a5(x?1)5+a4(x?1)4+a3(x?1)3+a2(x?1)2+a1(x?1)+a0=4x．求：
(1)a0的值；
(2)a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；
(3)a6+a4+a2的值．
23．（7分）（2022·四川達州·七年級期中）一個多位數(shù)整數(shù)，a代表這個整數(shù)分出來的左邊數(shù)，b代表這個整數(shù)分出來的右邊數(shù)．其中a，b兩部分數(shù)位相同，若a+b2正好為剩下的中間數(shù)，則這個多位數(shù)就叫平衡數(shù)，
例如：357滿足3+72＝5，233241滿足23+412=32．
(1)判斷：468_____平衡數(shù)；314567_____平衡數(shù)（填“是”或“不是”）；
(2)證明任意一個三位平衡數(shù)一定能被3整除；
(3)若一個三位平衡數(shù)后兩位數(shù)減去百位數(shù)字之差為9的倍數(shù)，且這個平衡數(shù)為偶數(shù)，求這個三位數(shù)．
24．（8分）（2022·全國·七年級）已知A,B,C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，它們表示的數(shù)分別是a,b,c．
（1）填空：abc______0，a+b_____0；（填“>”，“=”或“n）的價格進了同樣的60包茶葉，如果以每包m+n2元的價格全部賣出這種茶葉，那么這家商店（）
A．虧損了B．盈利了C．不贏不虧D．盈虧不能確定
【思路點撥】
先根據(jù)題意列出進貨的成本與銷售額，再作差比較即可．
【解題過程】
解：由題意得，進貨成本=40m+60n，銷售額=m+n2×（40+60），
故總利潤為：m+n2×（40+60）-（40m+60n）
=50（m+n）-（40m+60n）
=50m+50n-40m-60n
=10（m-n），
∵m＞n，
∴10（m-n）＞0，
∴這家商店盈利．
故答案為：盈利．
8．（2022·全國·七年級課時練習）若代數(shù)式2mx2+4x?2y2?3x2? 2nx?3y+1的值與x的取值無關(guān)，則m2019n2020的值為（）
A．32B．23C．?23D．?32
【思路點撥】
把代數(shù)式去括號，合并為關(guān)于x的代數(shù)式，令含有字母x的項的系數(shù)為零，可求出m，n的值，從而求出m2019n2020的值．
【解題過程】
解：2mx2+4x?2y2?3x2?2nx?3y+1
=2mx2+4x?2y2?3x2+6nx+9y?3
=(2m?3)x2+(4+6n)x?2y2+9y?3
∵代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)
∴2m?3=0，4+6n=0
∴m=32，n=?23
∴m2019n2020=(32)2019(?23)2020=32×(?23)2019×(?23)=23
故選：B．
9．（2022·全國·七年級課時練習）數(shù)學課上，張老師出示了這樣一道題目：“當a=12,b=?2時，求已知7a3+3a2b+3a3?3a2b?10a3?1的值”．解完這道題后，小茗同學發(fā)現(xiàn)：“a=12,b=?2是多余的條件”．師生討論后，一致認為小茗的發(fā)現(xiàn)是正確的．受此啟發(fā)，張老師又出示了一道題目：無論x,y取任何值，多項式2x2+ax?4y+1?2(x2+3x?by?4)的值都不變，則系數(shù)a,b的值分別為（）
A．a(chǎn)=6,b=2B．a(chǎn)=2,b=6C．a(chǎn)=?6,b=2D．a(chǎn)=6,b=?2
【思路點撥】
對多項式2x2+ax?4y+1?2(x2+3x?by?4)去括號，合并同類項，再由無論x，y取任何值，多項式2x2+ax?4y+1?2(x2+3x?by?4)的值都不變，可得關(guān)于a和b的方程，求解即可．
【解題過程】
解：2x2+ax?4y+1?2(x2+3x?by?4)
=2x2+ax?4y+1?2x2?6x+2by+8
=(a?6)x+(2b?4)y+9
∵無論x,y取任何值，多項式2x2+ax?4y+1?2(x2+3x?by?4)的值都不變，
∴a?6=0，2b?4=0，
∴a=6，b=2
故選：A．
10．（2022·全國·七年級課時練習）對多項式x?y?z?m?n任意加括號后仍然只含減法運算并將所得式子化簡，稱之為“加算操作”，例如：(x?y)?(z?m?n)=x?y?z+m+n，x?y?(z?m)?n=x?y?z+m?n，…，給出下列說法：
①至少存在一種“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式之和為0；
③所有的“加算操作”共有8種不同的結(jié)果．
以上說法中正確的個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【思路點撥】
給x?y添加括號，即可判斷①說法是否正確；根據(jù)無論如何添加括號，無法使得x的符號為負號，即可判斷②說法是否正確；列舉出所有情況即可判斷③說法是否正確．
【解題過程】
解：∵x?y?z?m?n=x?y?z?m?n
∴①說法正確
∵x?y?z?m?n?x+y+z+m+n=0
又∵無論如何添加括號，無法使得x的符號為負號
∴②說法正確
③第1種：結(jié)果與原多項式相等；
第2種：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3種：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4種：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5種：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6種：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7種：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8種：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合題意；
∴共有8種情況
∴③說法正確
∴正確的個數(shù)為3
故選D．
二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）
11．（2022·全國·七年級課時練習）在式子①2x+5，②?1，③a2+2ab+b2，④xyz，⑤1x+1y，⑥x+y2，⑦2π+3，⑧x2?y2中是整式的有________，其中是單項式的有________，是多項式的有________．
【思路點撥】
根據(jù)整式、單項式、多項式的定義，結(jié)合所給各式進行判斷即可.
【解題過程】
解：所給式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧；
單項式有：②④⑦；
多項式有：①③⑥⑧．
故答案為①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．
12．（2022·全國·七年級課時練習）已知a﹣b＝4，a﹣c＝1，則代數(shù)式(2a﹣b﹣c)2+(c﹣b)2的值為__．
【思路點撥】
把(2a﹣b﹣c)整理成(a﹣b)+(a﹣c)的形式，然后整體代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
【解題過程】
解：(2a﹣b﹣c)2+(c﹣b)2，
＝[(a﹣b)+(a﹣c)]2+(c﹣b)2，
當a﹣b＝4，a﹣c＝1時，
∴c﹣b＝3，
原式＝(4+1)2+32＝25+9＝34．
故答案為：34．
13．（2022·江蘇·七年級單元測試）已知代數(shù)式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同類項后不含x3，x2項，則2a+3b的值 _____．
【思路點撥】
根據(jù)合并后不含三次項，二次項，可得含三次項，二次項的系數(shù)為零，可得a，b的值，再代入所求式子計算即可．
【解題過程】
解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2
＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2，
∵x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同類項后不含x3和x2項，
∴a+5＝0，3﹣7﹣b＝0，
解得：a＝﹣5，b＝﹣4，
∴2a+3b＝2×（﹣5）+3×（﹣4）＝﹣22．
故答案為：﹣22．
14．（2022·全國·七年級課時練習）如果一個矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”，如圖所示，“優(yōu)美矩形”ABCD的周長為26，則正方形d的邊長為______．
【思路點撥】
設正方形a、b、c、d的邊長分別為a、b、c、d，分別求得b=13c，c=35d，由“優(yōu)美矩形”ABCD的周長得4d+2c=26，列式計算即可求解．
【解題過程】
解：設正方形a、b、c、d的邊長分別為a、b、c、d，
∵“優(yōu)美矩形”ABCD的周長為26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，則b=13c，
∴d=2b+c=53c，則c=35d，
∴4d+65d =26，
∴d=5，
∴正方形d的邊長為5，
故答案為：5．
15．（2022·江蘇無錫·七年級期末）同一數(shù)軸上有點A，C分別表示數(shù)a，c，且a，c滿足等式（16+a）2+|c﹣12|＝0，點B表示的數(shù)是多項式2x2﹣4x+3的一次項系數(shù)，點A，B，C在數(shù)軸上同時開始運動，點A向左運動，速度為每秒3個單位長度，點B，C均向右運動，速度分別為每秒3個單位長度和每秒4個單位長度，設運動時間為t秒．若存在m使得2AB﹣m?BC的值不隨時間t的變化而改變，則該定值為 _____．
【思路點撥】
根據(jù)題意分別表示出A，B，C表示的數(shù)為﹣4，﹣16﹣3t，﹣4+3t，12+4t，進而根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離求得AB,BC，根據(jù)整式的加減結(jié)果與t無關(guān)即可求得m的值．
【解題過程】
解：∵（16+a）2+|c﹣12|＝0，
∴16+a＝0，c﹣12＝0，
∴a＝﹣16，c＝12，
∵點B表示的數(shù)是多項式2x2﹣4x+3的一次項系數(shù)，
∴點B表示的數(shù)是﹣4，
運動后，點A，B，C表示的數(shù)分別是：﹣16﹣3t，﹣4+3t，12+4t，
∴AB＝（﹣4+3t）﹣（﹣16﹣3t）＝6t+12，
BC＝（12+4t）﹣（﹣4+3t）＝t+16，
∴2AB﹣m?BC
＝2（6t+12）﹣m（t+16）
＝12t+24﹣mt﹣16m
＝（12﹣m）t+24﹣16m，
∵2AB﹣mBC的值不隨時間t的變化而改變，
∴12﹣m＝0，
解得m＝12．
此時2AB﹣mBC＝24﹣16×12＝﹣168．
故答案為：﹣168．
三．解答題（本大題共8小題，滿分55分）
16．（2022·全國·七年級課時練習）先去括號，再合并同類項：
(1)6a2﹣2ab﹣2（3a2－12ab）；
(2)2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；
(3)9a3﹣[﹣6a2+2（a3－23a2）]；
(4)﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．
【思路點撥】
（1）先去括號，再合并同類項即可；
（2）先去小括號，再去中括號，然后合并同類項即可；
（3）先去小括號，再去中括號，然后合并同類項即可；
（4）先去小括號，再去中括號，然后合并同類項即可．
【解題過程】
（1）解：6a2﹣2ab﹣2（3a2－12ab）＝6a2﹣2ab﹣6a2+ab＝﹣ab；
（2）解：2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]＝4a﹣2b﹣4b﹣2a+b＝2a﹣5b；
（3）解：9a3﹣[﹣6a2+2（a3－23a2）]＝9a3+6a2﹣2a3＋43a2＝7a3＋223a2；
（4）解：2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）＝2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1＝3t2﹣3t．
17．（2022·全國·七年級課時練習）先化簡，再求值
（1）2（a2b+ab2）-2（a2b-1）-3（ab2+1），其中a=-2，b=2．
（2）(2x2y?2xy2)?[(?3x2y2+3x2y)+(3x2y2?3xy2)]，其中x=?1,y=2
（3）當x＝－52，y＝25時，求xy+2y2+x2?3xy?2y2?x2?xy的值；
【思路點撥】
先根據(jù)去括號法則去括號，然后根據(jù)合并同類項即可完成化簡，再代入求值，注意去括號時符號的變化.
【解題過程】
（1）解：2（a2b+ab2）-2（a2b-1）-3（ab2+1）
=2a2b+2ab2-2a2b+2-3ab2-3
=-ab2-1.
當a=-2，b=2時，原式=-（-2）×22-1=8-1=7.
（2）(2x2y?2xy2)?[(?3x2y2+3x2y)+(3x2y2?3xy2)]
=xy2?x2y,
當x=?1,y=2時，原式=(?1)×22?(?1）2×2=?4?2=?6
（3）xy+2y2+x2?3xy?2y2?x2?xy
=xy+2y2+x2-3xy-2y2-x2+xy
=-xy
當x=－52，y＝25時，原式=1.
18．（2022·全國·七年級專題練習）已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同學錯將“2A﹣B”看成“2A+B”，算得結(jié)果為4a2b﹣3ab2+4abc．
(1)計算B的表達式；
(2)求出2A﹣B的結(jié)果；
(3)小強同學說(2)中的結(jié)果的大小與c的取值無關(guān)，對嗎？若a=18，b=15，求(2)中式子的值．
【思路點撥】
（1）根據(jù)B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A列出關(guān)系式，去括號合并即可得到B；
（2）把A與B代入2A-B中，去括號合并即可得到結(jié)果；
（3）把a與b的值代入計算即可求出值．
【解題過程】
解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，
∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A
＝4a2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)
＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc
＝－2a2b＋ab2＋2abc；
（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)
＝6a2b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc
＝8a2b－5ab2；
（3）對，由（2）化簡的結(jié)果可知與c無關(guān)，
將a＝18，b＝15代入，得
8a2b－5ab2＝8×182×15－5×18×(15)2＝0．
19．（2022·全國·七年級課時練習）閱讀下列材料：小明為了計算1+2+22+?+22017+22018的值，采用以下方法：
設S=1+2+22+?+22017+22018 ①
則2S=2+22+?+22018+22019 ②
②-①得 2S?S=22019?1
∴S=1+2+22+?+22017+22018=22019?1
（1）1+2+22+?+29= ;
（2）3+32+?+310 = ;
（3）求1+a+a2+?+an的和（a>0 ，n是正整數(shù)，請寫出計算過程）.
【思路點撥】
（1）利用題中的方法設S=1+2+22+…+29，兩邊乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把兩式相減計算出S即可；
（2）利用題中的方法設S=1+3+32+33+34+…+310 ，兩邊乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把兩式相減計算出S即可；
（3）利用（2）的方法計算．
【解題過程】
解：（1）設S=1+2+22+…+29①
則2S=2+22+…+210 ②
②-①得2S-S=S=210-1
∴S=1+2+22+…+29=210-1；
故答案為210-1
（2）設S=3+3+32+33+34+…+310 ①，
則3S=32+33+34+35+…+311 ②，
②-①得2S=311-1，
所以S=311?12，
即3+32+33+34+…+310=311?12；
故答案為311?12；
（3）設S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，
則aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1時，不能直接除以a-1，此時原式等于n+1；
a不等于1時，a-1才能做分母，所以S=an+1?1a?1，
即1+a+a2+a3+a4+..+an=an+1?1a?1.
20．（2022·四川資陽·七年級期末）一般情況下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如：a=b=0．我們稱使得a2+b3=a+b2+3成立的一對數(shù)a,b為“相伴數(shù)對”，記為(a,b)
（1）若(1,b)是“相伴數(shù)對”，求b的值；
（2）寫出一個“相伴數(shù)對”(a,b)，并說明理由．（其中a≠0，且a≠1）
（3）若(m,n)是“相伴數(shù)對”，求代數(shù)式m?223n?[4m?2(3n?1)]的值．
【思路點撥】
（1）根據(jù)“相伴數(shù)對”定義列出方程求解即得；
（2）先根據(jù)“相伴數(shù)對”定義確定一個有序數(shù)對為“相伴數(shù)對”，再將這個特殊的情況代入a2+b3=a+b2+3驗證左右相等即可；
（3）先根據(jù)“相伴數(shù)對”定義得出9m+4n=0，進而用含m的式子表示n，再化簡要求的代數(shù)式即得．
【解題過程】
解：（1）∵(1，b)是“相伴數(shù)對”
∴12+b3=1+b2+3
解得：b=?94
（2）?4，9是“相伴數(shù)對”，理由如下：
∵?42+93=1，?4+92+3=1
∴?42+93=?4+92+3
∴根據(jù)定義?4，9是“相伴數(shù)對”
（3）∵(m，n)是“相伴數(shù)對”
∴m2+n3=m+n2+3
∴9m+4n=0
∴?3m?43n=0
∵m?223n?[4m?2(3n?1)]
=m?223n?4m+6n?2
=?3m?43n?2
=?3m?43n?2
∴當?3m?43n=0時
?3m?43n?2=0?2=?2
21．（2022·全國·七年級期中）小明家住房戶型呈長方形，平面圖如下（單位：米）．現(xiàn)準備鋪設整個長方形地面，其中三間臥室鋪設木地板，其它區(qū)域鋪設地磚．（房間內(nèi)隔墻寬度忽略不計）
（1）求a的值；
（2）請用含x的代數(shù)式分別表示鋪設地面需要木地板和地磚各多少平方米；
（3）按市場價格，木地板單價為300元/平方米，地磚單價為100元/平方米．裝修公司有A，B兩種活動方案，如表：
已知臥室2的面積為21平方米，則小方家應選擇哪種活動，使鋪設地面總費用（含材料費及安裝費）更低？
【思路點撥】
（1）根據(jù)長方形的對邊相等可得a+5=4+4，即可求出a的值；
（2）根據(jù)三間臥室鋪設木地板，其它區(qū)域鋪設地磚，可知將三間臥室的面積的和為木地板的面積，用長方形的面積-三間臥室的面積，所得的差為地磚的面積；
（3）根據(jù)臥室2的面積為21平方米求出x，再分別求出所需的費用，然后比較即可．
【解題過程】
解：（1）根據(jù)題意，可得a+5＝4+4，
得a＝3；
（2）鋪設地面需要木地板：
4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，
鋪設地面需要地磚：
16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；
（3）∵臥室2的面積為21平方米，
∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，
∴3（17﹣5x）＝21，
∴x＝2，
∴鋪設地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，
鋪設地面需要地磚：7x+53＝7×2+53＝67，
A種活動方案所需的費用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），
B種活動方案所需的費用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），
22335＞22165，
所以小方家應選擇B種活動方案，使鋪設地面總費用（含材料費及安裝費）更低．
22．（2022·全國·七年級專題練習）特殊值法，又叫特值法，是數(shù)學中通過設題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=6x，則：①取x=0時，直接可以得到a0=0；②取x=1時，可以得到a4+a3+a2+a1+a0=6；③取x=?1時，可以得到a4?a3+a2?a1+a0=?6；④把②，③的結(jié)論相加，就可以得到2a4+2a2 +2a0=0，結(jié)合①a0=0的結(jié)論，從而得出a4+a2=0．
請類比上例，解決下面的問題：
已知a6(x?1)6+a5(x?1)5+a4(x?1)4+a3(x?1)3+a2(x?1)2+a1(x?1)+a0=4x．求：
(1)a0的值；
(2)a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；
(3)a6+a4+a2的值．
【思路點撥】
（1）觀察等式可發(fā)現(xiàn)只要令x=1即可求出a0；
（2）觀察等式可發(fā)現(xiàn)只要令x=2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；
（3）令x=2即可求出等式①，令x=0即可求出等式②，兩個式子相加即可求出來．
【解題過程】
（1）解：當x=1時，
∵a6(x?1)6+a5(x?1)5+a4(x?1)4+a3(x?1)3+a2(x?1)2+a1(x?1)+a0=4x，
∴a0=4×1=4；
（2）解：當x=2時，
∵a6(x?1)6+a5(x?1)5+a4(x?1)4+a3(x?1)3+a2(x?1)2+a1(x?1)+a0=4x，
∴a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=8；
（3）解：當x=2時，
∵a6(x?1)6+a5(x?1)5+a4(x?1)4+a3(x?1)3+a2(x?1)2+a1(x?1)+a0=4x，
∴a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=8①；
當x=0時，
∵a6(x?1)6+a5(x?1)5+a4(x?1)4+a3(x?1)3+a2(x?1)2+a1(x?1)+a0=4x，
∴a6?a5+a4?a3+a2?a1+a0=0②；
用①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0=8，
∴a6+a4+a2=4?a0=0．
23．（2022·四川達州·七年級期中）一個多位數(shù)整數(shù)，a代表這個整數(shù)分出來的左邊數(shù)，b代表這個整數(shù)分出來的右邊數(shù)．其中a，b兩部分數(shù)位相同，若a+b2正好為剩下的中間數(shù)，則這個多位數(shù)就叫平衡數(shù)，
例如：357滿足3+72＝5，233241滿足23+412=32．
(1)判斷：468_____平衡數(shù)；314567_____平衡數(shù)（填“是”或“不是”）；
(2)證明任意一個三位平衡數(shù)一定能被3整除；
(3)若一個三位平衡數(shù)后兩位數(shù)減去百位數(shù)字之差為9的倍數(shù)，且這個平衡數(shù)為偶數(shù)，求這個三位數(shù)．
【思路點撥】
（1）根據(jù)平衡數(shù)的定義即可判斷；
（2）設出這個三位平衡數(shù)，化簡即可驗證；
（3）設出這個三位平衡數(shù)，根據(jù)后兩位數(shù)減去百位數(shù)字之差為9的倍數(shù)列出代數(shù)式并化簡，再根據(jù)x+y2是整數(shù)，y是偶數(shù)即可得出答案．
【解題過程】
解：(1)∵4+82＝6，
∴468是平衡數(shù)；
∵31+672＝49≠45，
∴314567不是平衡數(shù)；
故答案為：是；不是；
(2)證明：設這個三位平衡數(shù)為：100a+10?a+b2+b，
∵100a+10?a+b2+b
＝100a+5a+5b+b
＝105a+6b
＝3(35a+2b)，
∴100a+10?a+b2+b一定能被3整除，
即任意一個三位平衡數(shù)一定能被3整除；
(3)設這個三位平衡數(shù)為100x+10(x+y2)+y，
∴10x+y2+y-x=9k，
∴6y+4x＝9k，
∴6y+4x滿足被9整除，
又∵x+y2是整數(shù)，
∴x+y是2的倍數(shù)，
∵三位數(shù)是偶數(shù)，
∴y是偶數(shù)，
∵0＜x≤9，0≤y≤9，由于y為偶數(shù)，
則y可以取0，2，4，6，8，
y＝0時，x無滿足條件值；
y＝2時，x＝6滿足；
y＝4時，x無滿足條件值；
y＝6時，x無滿足條件值；
y＝8時，x＝6滿足，
綜上所述，三位數(shù)為642，678．
24．（2022·全國·七年級）已知A,B,C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，它們表示的數(shù)分別是a,b,c．
（1）填空：abc______0，a+b_____0；（填“>”，“=”或“

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