【典例1】如果有4個(gè)不同的正整數(shù)a、b、c、d滿足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，那么a+b+c+d的最大值為 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，可知四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，結(jié)合乘積為8，進(jìn)行分類討論．
【解題過程】
解：∵a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，
∴四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，
不妨設(shè)（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d），
又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，
∴這四個(gè)數(shù)從小到大可以取以下幾種情況：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]，
∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大，
∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2時(shí)，a+b+c+d取最大值＝8076﹣（﹣2）＝8078．
故答案為：8078．
1．（2021秋?曲阜市校級(jí)期中）我們常用的十進(jìn)制數(shù)，我國(guó)古代《易經(jīng)》一書記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，并采用七進(jìn)制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）
A．1435天B．565天C．13天D．465天
2．（2021秋?社旗縣期中）下列變形正確的有（ ）個(gè)．
①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；
②312?（﹣214）+（?13）?14?（+16）＝312+214?13?14+16；
③124÷（13?14+112）=124÷13?124÷14+124÷112；
④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．
A．0B．1C．2D．3
3．（2021秋?韓城市期中）如果四個(gè)互不相同的正整數(shù)m、n、p、q滿足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，則4m+3n+3p+q的最大值為（ ）
A．40B．50C．60D．70
4．（2021秋?順城區(qū)期末）觀察下列兩個(gè)等式：1?23=2×1×23?1，2?35=2×2×35?1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對(duì)有理數(shù)a，b為“同心有理數(shù)對(duì)”，記為（a，b），如：數(shù)對(duì)（1，23），（2，35）都是“同心有理數(shù)對(duì)”下列數(shù)對(duì)是“同心有理數(shù)對(duì)”的是（ ）
A．（﹣3，47）B．（4，49）C．（﹣5，611）D．（6，713）
5．（2021秋?旌陽區(qū)期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取n＝26．則：
若n＝49，則第2021次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（ ）
A．68B．78C．88D．98
6．（2021秋?新華區(qū)校級(jí)期中）若a，b互為相反數(shù)，且ab≠0，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，則（a+b）2021+
（ba）3﹣3cd+2m的值（ ）
A．0B．0或﹣8C．﹣2成6D．2或﹣6
7．（2021秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若|1a|=1a，則a≥0；②若|a|＞|b|，則有（a+b）（a﹣b）是正數(shù)；
③A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣2、6、x，若相鄰兩點(diǎn)的距離相等，則x＝2；
④若代數(shù)式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值與x無關(guān)，則該代數(shù)式值為2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，則b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值為±1．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（19+110+111）﹣2×（18?19?110?111）﹣3×（19+110+111+112）的結(jié)果是 ．
9．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（134?78?712）÷78+78÷（134?78?712）的結(jié)果是 ．
10．（2021春?濱湖區(qū)期中）觀察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述規(guī)律計(jì)算：30+31+32+…+3100＝ ．
11．（2021?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]＝ （其中[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．
12．（2021秋?鄞州區(qū)期末）已知正整數(shù)a，b，c均小于5，存在整數(shù)m滿足2022+1000m＝2a+2b+2c，則m（a+b+c）的值為 ．
13．（2020秋?鄞州區(qū)期末）已知整數(shù)a，b，c，d的絕對(duì)值均小于5，且滿足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，則abcd的值為 ．
14．（2022春?商城縣校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）（﹣3）2×[?23+（?59）]；
（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；
（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．
15．（2022春?濱?？h月考）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
設(shè)S＝1+2+22+…+22020+22021①
則2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：
（1）2+22+…+220＝ ；
（2）求1+12+122+?+1250= ；
（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程）
16．（2021秋?新都區(qū)期末）先觀察下列各式，再完成題后問題：
12×3=12?13；13×4=13?14；14×5=14?15．
（1）①請(qǐng)仿照上面各式的結(jié)構(gòu)寫出：15×6= ；
②11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1)= ；（其中，n為整數(shù)，且滿足n≥1）
（2）運(yùn)用以上方法思考：求14+112+124+140+160+184+1112+1144的值．
17．（2021秋?開江縣期末）（概念學(xué)習(xí)）
規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a(bǔ)÷a÷a÷?÷a︸n個(gè)（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：5③＝ ，（?13）④＝ ．
（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（此處不用作答）
（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）⑤＝ ；5⑧＝ ；（12）⑩＝ ．
（3）算一算：﹣92÷（?13）⑤×（?14）④﹣（?15）4÷5④．
18．（2021秋?澠池縣期末）2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠每名工人計(jì)劃每天生產(chǎn)300個(gè)醫(yī)用口罩，一周生產(chǎn)2100個(gè)口罩．由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．如表是工人小王某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負(fù)）．
（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知，小王星期五生產(chǎn)口罩 個(gè)．
（2）根據(jù)表格記錄的數(shù)據(jù)，求出小王本周實(shí)際生產(chǎn)口罩?jǐn)?shù)量；
（3）若該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩可得0.8元，若超額完成周計(jì)劃工作量，則超過部分每個(gè)另外獎(jiǎng)勵(lì)0.2元，若完不成每周的計(jì)劃量．則少生產(chǎn)一個(gè)扣0.25元，求小王這一周的工資總額是多少元？
（4）若該廠實(shí)行每日計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩可得0.8元，若超額完成每日計(jì)劃工作量．則超過部分每個(gè)另外獎(jiǎng)勵(lì)0.2元，若完不成每天的計(jì)劃量，則少生產(chǎn)一個(gè)扣0.25元，請(qǐng)直接寫出小王這一周的工資總額是多少元？星期
一
二
三
四
五
六
日
超減產(chǎn)量/個(gè)
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣9
+16
﹣8
專題2.3 有理數(shù)運(yùn)算中的綜合
【典例1】如果有4個(gè)不同的正整數(shù)a、b、c、d滿足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，那么a+b+c+d的最大值為 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，可知四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，結(jié)合乘積為8，進(jìn)行分類討論．
【解題過程】
解：∵a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，
∴四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，
不妨設(shè)（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d），
又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，
∴這四個(gè)數(shù)從小到大可以取以下幾種情況：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]，
∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大，
∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2時(shí)，a+b+c+d取最大值＝8076﹣（﹣2）＝8078．
故答案為：8078．
1．（2021秋?曲阜市校級(jí)期中）我們常用的十進(jìn)制數(shù)，我國(guó)古代《易經(jīng)》一書記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，并采用七進(jìn)制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）
A．1435天B．565天C．13天D．465天
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題意和圖形，可以列出算式1×73+4×72+3×71+5，然后計(jì)算即可．
【解題過程】
解：由圖可知：
1×73+4×72+3×71+5
＝1×343+4×49+3×7+5
＝343+196+21+5
＝565（天），
即孩子自出生后的天數(shù)是565，
故選：B．
2．（2021秋?社旗縣期中）下列變形正確的有（ ）個(gè)．
①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；
②312?（﹣214）+（?13）?14?（+16）＝312+214?13?14+16；
③124÷（13?14+112）=124÷13?124÷14+124÷112；
④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．
A．0B．1C．2D．3
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)加法的交換律可以判斷①；根據(jù)省略加法的方法可以判斷②；根據(jù)有理數(shù)的除法和加減法可以判斷③；根據(jù)乘法分配律可以判斷④．
【解題過程】
解：①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6，故①正確；
②312?（﹣214）+（?13）?14?（+16）＝312+214?13?14?16，故②錯(cuò)誤；
③124÷（13?14+112）
=124÷16
=124×6
=14，
而124÷13?124÷14+124÷112
=124×3?124×4+124×12
=324?424+1224
=38≠14，故③錯(cuò)誤；
④（﹣1002）×17＝（﹣1000﹣2）×17，故④錯(cuò)誤；
故選：B．
3．（2021秋?韓城市期中）如果四個(gè)互不相同的正整數(shù)m、n、p、q滿足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，則4m+3n+3p+q的最大值為（ ）
A．40B．50C．60D．70
【思路點(diǎn)撥】
由題意確定出m，n，p，q的值，代入原式計(jì)算即可求出值．
【解題過程】
解：∵四個(gè)互不相同的正整數(shù)m，n，p，q，滿足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，
∴要求4m+3n+3p+q的最大值，則有：4﹣m＝﹣3，4﹣n＝3，4﹣p＝﹣1，4﹣q＝1，
解得：m＝7，n＝1，p＝5，q＝3，
則4m+3n+3p+q＝50．
故選：B．
4．（2021秋?順城區(qū)期末）觀察下列兩個(gè)等式：1?23=2×1×23?1，2?35=2×2×35?1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對(duì)有理數(shù)a，b為“同心有理數(shù)對(duì)”，記為（a，b），如：數(shù)對(duì)（1，23），（2，35）都是“同心有理數(shù)對(duì)”下列數(shù)對(duì)是“同心有理數(shù)對(duì)”的是（ ）
A．（﹣3，47）B．（4，49）C．（﹣5，611）D．（6，713）
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)“同心有理數(shù)對(duì)”的定義判斷即可．
【解題過程】
解：∵﹣3?47=?257，2×（﹣3）×47?1=?217，?257≠?217，
∴數(shù)對(duì)（﹣3，47）不是“同心有理數(shù)對(duì)”；
故選項(xiàng)A不合題意；
∵4?49=329，2×4×49?1=239，329≠239，
∴（4，49）不是“同心有理數(shù)對(duì)”，
故選項(xiàng)B不合題意；
∵?5?611=?6111，2×(?5)×611?1=?6611，?6111≠?6611，
∴（﹣5，611）不是“同心有理數(shù)對(duì)”，
故選項(xiàng)C不合題意；
∵6?713=7113，2×6×713?1=7113，
∴（6，713）是“同心有理數(shù)對(duì)”，
故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
5．（2021秋?旌陽區(qū)期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取n＝26．則：
若n＝49，則第2021次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（ ）
A．68B．78C．88D．98
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)運(yùn)行的框圖依次計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律：6次一循環(huán)，再計(jì)算求解即可．
【解題過程】
解：本題提供的“F運(yùn)算”，需要對(duì)正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計(jì)算，由于n＝49為奇數(shù)應(yīng)先進(jìn)行F①運(yùn)算，
即3×49+5＝152（偶數(shù)），需再進(jìn)行F②運(yùn)算，
即152÷23＝19（奇數(shù)），
再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×19+5＝62（偶數(shù)），
再進(jìn)行F②運(yùn)算，即62÷21＝31（奇數(shù)），
再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×31+5＝98（偶數(shù)），
再進(jìn)行F②運(yùn)算，即98÷21＝49，
再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×49+5＝152（偶數(shù)），…，
即第1次運(yùn)算結(jié)果為152，…，
第4次運(yùn)算結(jié)果為31，第5次運(yùn)算結(jié)果為98，…，
可以發(fā)現(xiàn)第6次運(yùn)算結(jié)果為49，第7次運(yùn)算結(jié)果為152，
則6次一循環(huán)，
2021÷6＝336……5，
則第2021次“F運(yùn)算”的結(jié)果是98．
故選：D．
6．（2021秋?新華區(qū)校級(jí)期中）若a，b互為相反數(shù)，且ab≠0，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，則（a+b）2021+
（ba）3﹣3cd+2m的值（ ）
A．0B．0或﹣8C．﹣2成6D．2或﹣6
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值得出a+b＝0，ba=?1，cd＝1，m＝±2，代入求出即可．
【解題過程】
解：∵a、b互為相反數(shù)，且ab≠0，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，
∴a+b＝0，ba=?1，cd＝1，m＝±2，
當(dāng)m＝2時(shí)，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×2＝0﹣1﹣3+4＝0，
當(dāng)m＝﹣2時(shí)，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣1﹣3﹣4＝﹣8．
故（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m的值是0或﹣8．
故選：B．
7．（2021秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若|1a|=1a，則a≥0；②若|a|＞|b|，則有（a+b）（a﹣b）是正數(shù)；
③A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣2、6、x，若相鄰兩點(diǎn)的距離相等，則x＝2；
④若代數(shù)式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值與x無關(guān)，則該代數(shù)式值為2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，則b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值為±1．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)各個(gè)小題中的說法，可以判斷是否正確，尤其是對(duì)于錯(cuò)誤的結(jié)論，我們只要說明理由或者舉出反例即可．
【解題過程】
解：若|1a|=1a，則a＞0，故①錯(cuò)誤，不合題意；
若|a|＞|b|，
則a＞b＞0或a＞0＞b＞﹣a或﹣a＞b＞0＞a或0＞a＞b，
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，
當(dāng)a＞0＞b＞﹣a時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，
當(dāng)﹣a＞b＞0＞a時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，
當(dāng)0＞a＞b時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，
由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，故②正確，符合題意；
A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣2、6、x，若相鄰兩點(diǎn)的距離相等，則x＝2或﹣10或14，故③錯(cuò)誤，不合題意；
若代數(shù)式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值與x無關(guān)，則2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019，故④錯(cuò)誤，不合題意；
∵a+b+c＝0，abc＜0，
∴a、b、c中一定是一負(fù)兩正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，
∴b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|
=?aa+?b?b+?c?c
＝﹣1+1+1
＝1，故⑤錯(cuò)誤，不合題意；
故選：A．
8．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（19+110+111）﹣2×（18?19?110?111）﹣3×（19+110+111+112）的結(jié)果是 ?12 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以設(shè)19+110+111=a，然后將所求式子變形整理，即可求得所求式子的結(jié)果．
【解題過程】
解：設(shè)19+110+111=a，
則原式＝a﹣2（18?a）﹣3（a+112）
＝a?14+2a﹣3a?14
=?12，
故答案為：?12．
9．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（134?78?712）÷78+78÷（134?78?712）的結(jié)果是 103 ．
【思路點(diǎn)撥】
首先根據(jù)有理數(shù)除法法則將（134?78?712）÷78轉(zhuǎn)化為（74?78?712）×87，再利用乘法分配律求出結(jié)果，再根據(jù)78÷（134?78?712）與（134?78?712）÷78互為倒數(shù)求出結(jié)果，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解題過程】
解：∵（134?78?712）÷78
＝（74?78?712）×87
=74×87?78×87?712×87
＝2﹣1?23
=13，
∴78÷（134?78?712）＝3，
∴（134?78?712）÷78+78÷（134?78?712）
=13+3
=103．
故答案為：103．
10．（2021春?濱湖區(qū)期中）觀察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述規(guī)律計(jì)算：30+31+32+…+3100＝ 12（3101﹣1） ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)已知等式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，原式計(jì)算即可求出值．
【解題過程】
解：根據(jù)題意得：
31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；
……
3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，
相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），
整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=12（3101﹣1）．
故答案為：12（3101﹣1）．
11．（2021?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]＝ 4045 （其中[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．
【思路點(diǎn)撥】
利用取整函數(shù)把算式變?yōu)?04×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【解題過程】
解：[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]
＝（[5×12021]+…[5×4042021]）+（[5×4052021]+…[5×8082021]）+（[5×8092021]+…[5×12122021]）+（[5×12132021]+…[5×16162021]）+（[5×16172021]+…[5×20202021]）+[5×20212021]
＝404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5
＝4045
故答案為：4045．
12．（2021秋?鄞州區(qū)期末）已知正整數(shù)a，b，c均小于5，存在整數(shù)m滿足2022+1000m＝2a+2b+2c，則m（a+b+c）的值為 ﹣14 ．
【思路點(diǎn)撥】
首先根據(jù)正整數(shù)a，b，c均小于5，得出2a+2b+2c≤24+24+24＝48，2a+2b+2c≥2+2+2＝6，即6≤2022+1000m≤48，解不等式組求出m的范圍，根據(jù)m為整數(shù)，得出m＝﹣2，那么2022+1000m＝22．觀察得只有2+4+16＝22，求出a+b+c＝1+2+4＝7，進(jìn)而得到m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．
【解題過程】
解：∵正整數(shù)a，b，c均小于5，
∴2a+2b+2c≤24+24+24＝48，
2a+2b+2c≥2+2+2＝6，
∴6≤2022+1000m≤48，
∴﹣2.016≤m≤﹣1.974，
∵m為整數(shù)，
∴m＝﹣2，
∴2022+1000m＝22．
∵2a，2b，2c，的取值只能為2，4，8，16，
觀察得只有2+4+16＝22，
∴a+b+c＝1+2+4＝7，
∴m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．
故答案為：﹣14．
13．（2020秋?鄞州區(qū)期末）已知整數(shù)a，b，c，d的絕對(duì)值均小于5，且滿足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，則abcd的值為 ±4 ．
【思路點(diǎn)撥】
先根據(jù)條件確認(rèn)個(gè)位上的1一定為d4產(chǎn)生，得d＝±1或±3，①當(dāng)d＝±1時(shí)，d4＝1，②當(dāng)d＝±3時(shí)，d4＝81，分別代入計(jì)算可得答案．
【解題過程】
解：∵1000a+100b2+10c3+d4＝2021，整數(shù)a，b，c，d的絕對(duì)值均小于5，
∴個(gè)位上的1一定為d4產(chǎn)生，（±3）4＝81，（±1）4＝1，
∴d＝±1或±3，
①當(dāng)d＝±1時(shí)，d4＝1，
∴1000a+100b2+10c3＝2020，
∴100a+10b2+c3＝202，
∴個(gè)位上的2是由c3產(chǎn)生的，
∴c3＝2或﹣8（﹣4～4中沒有立方的個(gè)位數(shù)是2的），
∴c3＝﹣8，
∴c＝﹣2，
∴100a+10b2﹣8＝202，
100a+10b2＝210，
10a+b2＝21，
∴個(gè)位上的1是由b2產(chǎn)生的，（±1）2＝1，
∴當(dāng)b＝±1時(shí)，10a＝20，a＝2，
∴abcd=2×1×(?2)×1=?42×(?1)×(?2)×1=42×1×(?2)×(?1)=42×(?1)×(?2)×(?1)=?4，
∴abcd＝±4；
②當(dāng)d＝±3時(shí)，d4＝81，
∴1000a+100b2+10c3＝2021﹣81＝1940，
∴100a+10b2+c3＝194，
同理43＝64，
∴c＝4，
∴100a+10b2+64＝194，
100a+10b2＝130，
10a+b2＝13，
不存在整數(shù)滿足條件，
故d≠±3；
綜上，abcd＝±4．
故答案為：±4．
14．（2022春?商城縣校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）（﹣3）2×[?23+（?59）]；
（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；
（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．
【思路點(diǎn)撥】
（1）原式先算乘方運(yùn)算，再利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加減即可得到結(jié)果；
（3）原式先算乘方，再算乘除，最后算加減即可得到結(jié)果．
【解題過程】
解：（1）原式＝9×（?23?59）
＝9×（?23）+9×（?59）
＝﹣6﹣5
＝﹣11；
（2）原式＝﹣1﹣3×（16+2）﹣（﹣8）÷4
＝﹣1﹣3×18+8÷4
＝﹣1﹣54+2
＝﹣53；
（3）原式＝﹣1000+[16+（1﹣9）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×1
＝﹣1000+（16﹣8×2）﹣（﹣7）×1
＝﹣1000+（16﹣16）+7
＝﹣1000+7
＝﹣993．
15．（2022春?濱海縣月考）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
設(shè)S＝1+2+22+…+22020+22021①
則2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：
（1）2+22+…+220＝ 221﹣2 ；
（2）求1+12+122+?+1250= 2?1250 ；
（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程）
【思路點(diǎn)撥】
（1）（2）根據(jù)題目所給方法，令等式左邊為S，表示出2S，相減即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題目所給方法，令等式左邊為S，表示出aS，相減即可得到結(jié)果．
【解題過程】
解：（1）設(shè)S＝2+22+…+220，則：
2S＝22+23+…+220+221，
2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，
∴S＝221﹣2，
故答案為：221﹣2．
（2）設(shè)S＝1+12+122+?+1250，則：
2S＝2+1+12+122+?+1249，
2S﹣S＝（2+1+12+122+?+1249）﹣（1+12+122+?+1250）＝2?1250，
∴S＝2?1250，
故答案為：2?1250．
（3）設(shè)S＝1+a+a2+a3+…+an，則：
aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，
aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．
∴S=an+1?1a?1．
16．（2021秋?新都區(qū)期末）先觀察下列各式，再完成題后問題：
12×3=12?13；13×4=13?14；14×5=14?15．
（1）①請(qǐng)仿照上面各式的結(jié)構(gòu)寫出：15×6= 15?16 ；
②11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1)= nn+1 ；（其中，n為整數(shù)，且滿足n≥1）
（2）運(yùn)用以上方法思考：求14+112+124+140+160+184+1112+1144的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）①直接利用已知將原式分成兩分?jǐn)?shù)的差即可；
②利用已知中規(guī)律將原式化簡(jiǎn)求出答案；
（2）首先提取12，進(jìn)而利用已知規(guī)律化簡(jiǎn)求出答案．
【解題過程】
解：（1）①15×6=15?16；
故答案為：15?16；
②原式=1?12+12?13+...+1n?1n+1
=1?1n+1
=nn+1；
故答案為：nn+1；
（2）原式=12×(12+16+112+...+156+172)
=12×(11×2+12×3+13×4+...+17×8+18×9)
=12×(1?12+12?13+13?14+...+17?18+18?19)
=12×(1?19)
=49．
17．（2021秋?開江縣期末）（概念學(xué)習(xí)）
規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a(bǔ)÷a÷a÷?÷a︸n個(gè)（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：5③＝ 15 ，（?13）④＝ 9 ．
（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（此處不用作答）
（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）⑤＝ （?13）3 ；5⑧＝ （15）6 ；（12）⑩＝ 28 ．
（3）算一算：﹣92÷（?13）⑤×（?14）④﹣（?15）4÷5④．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)定，用除法運(yùn)算直接得出結(jié)果；
（2）根據(jù)運(yùn)算規(guī)定，用除法運(yùn)算直接得出結(jié)果；
（3）根據(jù)a?的運(yùn)算規(guī)定，按照有理數(shù)的運(yùn)算順序、運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果．
【解題過程】
解：（1）5③＝5÷5÷5=15，
（?13）④＝（?13）÷（?13）÷（?13）÷（?13）
=13×3×3×3
＝9．
故答案為：15，9；
（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）
＝（﹣3）×（?13）×（?13）×（?13）×（?13）
＝（?13）3，
5⑧＝5÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5
＝5×15×15×15×15×15×15×15
＝（15）6，
（12）⑩=12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12
=12×2×2×2×2×2×2×2×2×2
＝28，
故答案為：（?13）3；（15）6；28；
（3）由a的圈n次方＝（1a）n﹣2，
∴原式＝﹣92÷（?13）⑤×（?14）④﹣
（?15）4÷5④．
＝﹣81÷（﹣27）×16﹣（?15）4÷（15）2
＝48?125
＝472425．
18．（2021秋?澠池縣期末）2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠每名工人計(jì)劃每天生產(chǎn)300個(gè)醫(yī)用口罩，一周生產(chǎn)2100個(gè)口罩．由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．如表是工人小王某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負(fù)）．
（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知，小王星期五生產(chǎn)口罩 291 個(gè)．
（2）根據(jù)表格記錄的數(shù)據(jù)，求出小王本周實(shí)際生產(chǎn)口罩?jǐn)?shù)量；
（3）若該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩可得0.8元，若超額完成周計(jì)劃工作量，則超過部分每個(gè)另外獎(jiǎng)勵(lì)0.2元，若完不成每周的計(jì)劃量．則少生產(chǎn)一個(gè)扣0.25元，求小王這一周的工資總額是多少元？
（4）若該廠實(shí)行每日計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩可得0.8元，若超額完成每日計(jì)劃工作量．則超過部分每個(gè)另外獎(jiǎng)勵(lì)0.2元，若完不成每天的計(jì)劃量，則少生產(chǎn)一個(gè)扣0.25元，請(qǐng)直接寫出小王這一周的工資總額是多少元？
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到小王星期五生產(chǎn)口罩的數(shù)量；
（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到該廠本周生產(chǎn)口罩的數(shù)量；
（3）根據(jù)每周計(jì)件工資制，列出算式可以解答本題；
（4）根據(jù)日計(jì)件工資制，列出算式可以解答本題．
【解題過程】
解：（1）小王星期五生產(chǎn)口罩?jǐn)?shù)量為：300﹣9＝291（個(gè)），
故答案為：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（個(gè)），
則本周實(shí)際生產(chǎn)的數(shù)量為：2100+11＝2111（個(gè)）
答：小王本周實(shí)際生產(chǎn)口罩?jǐn)?shù)量為2111個(gè)；
（3）一周超額完成的數(shù)量為：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（個(gè)），
所以，2100×0.8+11×（0.8+0.2）
＝1680+11×1
＝1680+11
＝1691（元），
答：小王這一周的工資總額是1691元；
（4）第一天：300×0.8+5×（0.8+0.2）＝245（元）；
第二天：（300﹣2）×0.8﹣2×0.25＝237.9（元）；
第三天：（300﹣4）×0.8﹣4×0.25＝235.8（元）；
第四天：300×0.8+13×（0.8+0.2）＝253（元）；
第五天：（300﹣9）×0.8﹣9×0.25＝230.55（元）；
第六天：300×0.8+16×（0.8+0.2）＝256（元）；
第七天：（300﹣8）×0.8﹣8×0.25＝231.6（元）；
共245+237.9+235.8+253+230.55+256+231.6＝1689.85（元）．
答：小王這一周的工資總額是1689.85元．星期
一
二
三
四
五
六
日
超減產(chǎn)量/個(gè)
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣9
+16
﹣8

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

2.1 有理數(shù)

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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