【典例1】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：
（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是 ；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是 ；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是 ，最小距離是 ．
（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|＝ ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點(diǎn)之間的距離即可解決；
（2）根據(jù)絕對(duì)值可得：x+1＝±3，即可解答；
（3）根據(jù)絕對(duì)值分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；
（4）根據(jù)|a+4|+|a﹣2|表示數(shù)a的點(diǎn)到﹣4與2兩點(diǎn)的距離的和即可求解．
【解題過(guò)程】
解：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是：4﹣1＝3；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是：2﹣（﹣3）＝5，故答案為：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案為：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
當(dāng)a＝5，b＝﹣3時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是8，
當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最小距離是2，
則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是8，最小距離是2；
故答案為：8，2；
（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案為：6．
1．（2022?高郵市模擬）若|x|+|x﹣4|＝8，則x的值為（ ）
A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不對(duì)
2．（2021秋?西峽縣期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10B．11C．17D．21
3．如果有理數(shù)a，b，c滿足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2021秋?洛川縣校級(jí)期末）已知：m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b，且abc＞0，a+b+c＝0．則m共有x個(gè)不同的值，若在這些不同的m值中，最大的值為y，則x+y＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．我們知道|x|=x，(x＞0)0，(x=0)?x，(x＜0)，所以當(dāng)x＞0時(shí)，x|x|=xx=1；當(dāng)x＜0時(shí)，x|x|=x?x=?1．下列結(jié)論序號(hào)正確的是（ ）
①已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab≠0時(shí)，a|a|+b|b|的值為0或±2；
②已知a，b是不為0的有理數(shù)，當(dāng)|ab|＝﹣ab時(shí)，則2a|a|+b|b|的值為±1；
③已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，則b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|=?1或3；
④已知a，b，c是非零的有理數(shù)，且|abc|abc=?1，則|a|a+|b|b+|c|c的值為1或﹣3；
⑤已知a，b，c是非零的有理數(shù)，a+b+c＝0，則a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值為0．
A．①③④B．②③⑤C．①②④⑤D．①②④
6．（2021秋?常州期末）已知x=20212022，則|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是 ．
7．（2021秋?綿竹市期末）代數(shù)式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 ．
8．（2021春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c為整數(shù)，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，則|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝ ．
9．（2021秋?大田縣期中）三個(gè)整數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，則|a|+|b|+|c|的最大值為 ．
10．（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如果|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，則a﹣b的最大值等于 ．
11．（2021秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）設(shè)有理數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，這里ac＜0且|c|＜|b|＜|a|，則|x?a+b2|+|x?b+c2|+|x+a+c2|的最小值為 ．
12．（2020秋?海曙區(qū)期末）已知a，b，c為3個(gè)自然數(shù)，滿足a+2b+3c＝2021，其中a≤b≤c，則|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的最大值是 ．
13．設(shè)x是有理數(shù)，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四個(gè)結(jié)論：①y沒(méi)有最小值；②有無(wú)窮多個(gè)x的值，使y取到最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有兩個(gè)值．其中正確的是 （填序號(hào)）．
14．有理數(shù)數(shù)a，b滿足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值為 ，最小值為 ．
15．（2021秋?梁子湖區(qū)期中）已知|ab﹣2|與|b﹣2|互為相反數(shù)，求b+1a+1?b+2a?2+b+3a+3的值．
16．（2021秋?貢井區(qū)期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D，E對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，d，e，且這五個(gè)點(diǎn)滿足每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都相等．
（1）填空：a﹣c 0，b﹣a 0，b﹣d 0（填“＞“，“＜“或“＝“）；
（2）化簡(jiǎn)：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接寫出b﹣e的值．
17．（2021秋?銅山區(qū)期中）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離記為d，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）數(shù)軸上表示﹣3和1兩點(diǎn)之間的距離d為 ；
（2）數(shù)軸上表示x和﹣5兩點(diǎn)之間的距離d為 ；
（3）若x表示一個(gè)有理數(shù)，且x大于﹣3且小于1，則|x﹣1|+|x+3|＝ ；
（4）若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x+2|+|x+3|＞1，則有理數(shù)x的取值范圍為 ．
18．x取何值時(shí)，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取最小值，最小值是多少？
19．（2021秋?金鄉(xiāng)縣期中）我們知道：在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”．這一數(shù)學(xué)思想用處非常廣泛，我們經(jīng)常用這種方法解決問(wèn)題．例如：我們?cè)谟懻搢a|的值時(shí)，就會(huì)對(duì)a進(jìn)行分類討論，當(dāng)a≥0時(shí)，|a|＝a；當(dāng)a＜0時(shí)，|a|＝﹣a．現(xiàn)在請(qǐng)你利用這一思想解決下列問(wèn)題：
（1）8|8|= ．?3|?3|=
（2）a|a|= （a≠0），a|a|+b|b|= （其中a＞0，b≠0）
（3）若abc≠0，試求a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值．
20．（2021秋?江岸區(qū)期中）閱讀下列材料．
我們知道|x|=x(x＞0)0(x=0)?x(x＜0)，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡(jiǎn)|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可分以下三種情況：①當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．
∴|x+1|+|x﹣2|=?2x+1(x＜?1)3(?1≤x＜2)2x?1(x≥2)，通過(guò)以上閱讀，解決問(wèn)題：
（1）|x﹣3|的零點(diǎn)值是x＝ （直接填空）；
（2）化簡(jiǎn)|x﹣3|+|x+4|；
（3）關(guān)于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接寫出x+y的最小值為 ．
專題2.2 絕對(duì)值
【典例1】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：
（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是 ；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是 ；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是 ，最小距離是 ．
（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|＝ ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點(diǎn)之間的距離即可解決；
（2）根據(jù)絕對(duì)值可得：x+1＝±3，即可解答；
（3）根據(jù)絕對(duì)值分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；
（4）根據(jù)|a+4|+|a﹣2|表示數(shù)a的點(diǎn)到﹣4與2兩點(diǎn)的距離的和即可求解．
【解題過(guò)程】
解：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是：4﹣1＝3；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是：2﹣（﹣3）＝5，故答案為：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案為：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
當(dāng)a＝5，b＝﹣3時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是8，
當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最小距離是2，
則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是8，最小距離是2；
故答案為：8，2；
（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案為：6．
1．（2022?高郵市模擬）若|x|+|x﹣4|＝8，則x的值為（ ）
A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不對(duì)
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)絕對(duì)值的意義得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原點(diǎn)和4的距離和是8的數(shù)，分兩種情況求出x的值即可．
【解題過(guò)程】
解：∵|x|+|x﹣4|＝8，
∴當(dāng)x＞4時(shí)，x+x﹣4＝8，
解得x＝6，
當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x+4﹣x＝8，
解得x＝﹣2，
故選：C．
2．（2021秋?西峽縣期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10B．11C．17D．21
【思路點(diǎn)撥】
由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意義，得出當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，這個(gè)距離之和最小，再根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解題過(guò)程】
解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)，到表示數(shù)﹣8，﹣1，3，5的點(diǎn)的距離之和，
由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，
當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，這個(gè)距離之和最小，
最小值為|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，
故選：C．
3．如果有理數(shù)a，b，c滿足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【思路點(diǎn)撥】
通過(guò)對(duì)式子|a+c|＝3的變形，確定已知之間的關(guān)系，再進(jìn)行分類討論，結(jié)合對(duì)所求式子的變形，找到已知所求之間的關(guān)系，再進(jìn)行求解．
【解答過(guò)程】
解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝3，
∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，
∴a﹣b＝1，b+c＝2或a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，
分兩種情況討論：
①若a﹣b＝1，b+c＝2，則兩式相加，得a+c＝3，
∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|3+2×2|＝7；
②若a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，則兩式相加，得a+c＝﹣3，
∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|﹣3+2×（﹣2）|＝7．
故選：C．
4．（2021秋?洛川縣校級(jí)期末）已知：m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b，且abc＞0，a+b+c＝0．則m共有x個(gè)不同的值，若在這些不同的m值中，最大的值為y，則x+y＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)絕對(duì)值的意義分情況說(shuō)明即可求解．
【解題過(guò)程】
解：∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴a、b、c為兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，
a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
m=|?c|c+2|?a|a+3|?b|b
∴分三種情況說(shuō)明：
當(dāng)a＜0，b＜0，c＞0時(shí)，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，
當(dāng)a＜0，c＜0，b＞0時(shí)，m＝﹣1﹣2+3＝0，
當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，
∴m共有3個(gè)不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值為0．
∴x＝3，y＝0，
∴x+y＝3．
故選：B．
5．我們知道|x|=x，(x＞0)0，(x=0)?x，(x＜0)，所以當(dāng)x＞0時(shí)，x|x|=xx=1；當(dāng)x＜0時(shí)，x|x|=x?x=?1．下列結(jié)論序號(hào)正確的是（ ）
①已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab≠0時(shí)，a|a|+b|b|的值為0或±2；
②已知a，b是不為0的有理數(shù)，當(dāng)|ab|＝﹣ab時(shí)，則2a|a|+b|b|的值為±1；
③已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，則b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|=?1或3；
④已知a，b，c是非零的有理數(shù)，且|abc|abc=?1，則|a|a+|b|b+|c|c的值為1或﹣3；
⑤已知a，b，c是非零的有理數(shù)，a+b+c＝0，則a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值為0．
A．①③④B．②③⑤C．①②④⑤D．①②④
【思路點(diǎn)撥】
關(guān)于絕對(duì)值化簡(jiǎn)的問(wèn)題，就要嚴(yán)格利用絕對(duì)值的定義來(lái)化簡(jiǎn)，要考慮全面，有時(shí)可以用特殊值法．
【解題過(guò)程】
解：①因?yàn)閍b≠0，所以有以下幾種情況：
a＞0，b＜0，原式值是0；
a＞0，b＞0，原式值是2；
a＜0，b＞0，原式值是0；
a＜0，b＜0，原式值是﹣2．
故①正確；
②∵|ab|＝﹣ab，a，b是不為0的有理數(shù)，
∴ab＜0，有以下兩種情況：
a＞0，b＜0，此時(shí)原式值是1；
a＜0，b＞0，此時(shí)原式值是﹣1，
故②正確；
③已知a，b，c是有理數(shù)且a+b+c＝0，abc＜0，
則b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
∴原式化為?a|a|+?b|b|+?c|c|
a，b，c兩正一負(fù)，有四種情況：
a＞0，b＞0，c＜0，原式值為﹣1；
a＞0，b＜0，c＞0，原式值為﹣1；
a＜0，b＞0，c＞0，原式值為﹣1；
故③錯(cuò)誤；
④∵|abc|abc=?1，
∴abc＜0，分四種情況（同③）
∴原式值是﹣1和3，
故④正確；
⑤分兩種情況：
當(dāng)一正兩負(fù)時(shí)，a|a|，b|b|.c|c|有一個(gè)1，兩個(gè)﹣1，
而abc＞0，所以abc|abc|=1，此時(shí)和為1+1﹣1﹣1＝0；
當(dāng)一負(fù)兩正時(shí)，a|a|，b|b|.c|c|有一個(gè)﹣1，兩個(gè)1，
而abc＜0，所以abc|abc|=?1，此時(shí)和為﹣1+1+1﹣1＝0．
故⑤正確．
故選：C．
6．（2021秋?常州期末）已知x=20212022，則|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是 20212022 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)x的值，判斷x﹣2，x﹣1，x+1，x+2的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的定義化簡(jiǎn)后即可得到答案．
【解題過(guò)程】
解：∵x=20212022，即0＜x＜1，
∴x﹣2＜0，x﹣1＜0，x+1＞0，x+2＞0，
∴|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|
＝2﹣x﹣（1﹣x）+x+x+1﹣x﹣2
＝2﹣x﹣1+x+x+x+1﹣x﹣2
＝x
=20212022，
故答案為：20212022．
7．（2021秋?綿竹市期末）代數(shù)式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 2021 ．
【思路點(diǎn)撥】
利用絕對(duì)值的定義，結(jié)合數(shù)軸可知最小值為1012到﹣1009的距離．
【解題過(guò)程】
解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，
由絕對(duì)值的定義可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距離；|x+506|代表x到﹣506的距離；|x﹣1012|代表x到1012的距離；
結(jié)合數(shù)軸可知：當(dāng)x在﹣1009與1012之間，且x＝﹣506時(shí)，距離之和最小，
∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，
故答案為：2021．
8．（2021春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c為整數(shù)，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，則|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝ 0或2 ．
【思路點(diǎn)撥】
因?yàn)閍、b、c都為整數(shù)，而且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，所以|a﹣b|與|c﹣a|只能是0或者1，于是進(jìn)行分類討論即可得出．
【解題過(guò)程】
解：∵a、b、c為整數(shù)，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，
∴有|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1
①若|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0，
則a﹣b＝±1，a＝c，
∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|a﹣b|＝1，
∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝1+1+0＝2，
②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，
則a＝b，c﹣a＝±1，
∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|c﹣a|＝1，
∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝0+1﹣1＝0，
故答案為：0或2．
9．（2021秋?大田縣期中）三個(gè)整數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，則|a|+|b|+|c|的最大值為 34 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)a+b+c＝0，a＜b＜c，可得a＜0，c＞0，a+b＜0，則|a|＞|b|，再由|a|＜10，a，b，c都是整數(shù)，得到|a|≤9，則|b|≤8，根據(jù)|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，即可得到|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，由此求解即可．
【解題過(guò)程】
解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，a+b＜0，
∴|a|＞|b|，
∵|a|＜10，a，b，c都是整數(shù)，
∴|a|≤9，
∴|b|≤8，
∵|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，
∴|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，
∴|a|+|b|+|c|的值最大為9+8+17＝34，
故答案為：34．
10．（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如果|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，則a﹣b的最大值等于 ﹣2 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題意可得|a+3|+|a﹣2|＝5，|b﹣4|+|b﹣7|＝3，此時(shí)﹣3≤a≤2，4≤b≤7，可求得﹣10≤a﹣b≤﹣2，即可求解．
【解題過(guò)程】
解：|a+3|+|a﹣2|≥5，|b﹣4|+|b﹣7|≥3，
∴|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|≥8，
∵|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，
∴|a+3|+|a﹣2|＝5，|b﹣4|+|b﹣7|＝3，
∴﹣3≤a≤2，4≤b≤7，
∴﹣10≤a﹣b≤﹣2，
∴a﹣b的最大值等于﹣2，
故答案為：﹣2．
11．（2021秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）設(shè)有理數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，這里ac＜0且|c|＜|b|＜|a|，則|x?a+b2|+|x?b+c2|+|x+a+c2|的最小值為 2a+b+c2 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)ac＜0可知a，c異號(hào)，再根據(jù)a＞b＞c，以及|c|＜|b|＜|a|，即可確定a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c在數(shù)軸上的位置，而|x?a+b2|+|x?b+c2|+|x+a+c2|表示到 a+b2，b+c2，?a+c2三點(diǎn)的距離的和，根據(jù)數(shù)軸即可確定．
【解題過(guò)程】
解：∵ac＜0，
∴a，c異號(hào)，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
又∵|c|＜|b|＜|a|，
∴﹣a＜﹣b＜c＜0＜﹣c＜b＜a，
又∵|x?a+b2|+|x?b+c2|+|x+a+c2|表示到 a+b2，b+c2，?a+c2三點(diǎn)的距離的和，
當(dāng)x在b+c2時(shí)距離最小，
即|x?a+b2|+|x?b+c2|+|x+a+c2|最小，最小值是a+b2與?a+c2之間的距離，即2a+b+c2．
故答案為：2a+b+c2．
12．（2020秋?海曙區(qū)期末）已知a，b，c為3個(gè)自然數(shù)，滿足a+2b+3c＝2021，其中a≤b≤c，則|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的最大值是 1346 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)式子，再確定a，b，c的值，由此解答即可．
【解題過(guò)程】
解：由題意知b≥a，則|a﹣b|＝b﹣a，
b≤c，則|b﹣c|＝c﹣b，
a≤c，則|c﹣a|＝c﹣a，
故|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝b﹣a+c﹣b+c﹣a＝2（c﹣a），
上式值最大時(shí)，即c最大，且a最小時(shí)，（即c﹣a最大時(shí)），
又a+2b+3c＝2021，
2021＝3×673+2，
故c的最大值為673，
此時(shí)a+2b＝2，a≤b，且a，b均為自然數(shù)，a＝0時(shí)，b＝1，此時(shí)a最小，
故2（c﹣a）的最大值即c＝673，a＝0時(shí)的值，即：2×（673﹣0）＝1346．
故答案為：1346．
13．設(shè)x是有理數(shù)，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四個(gè)結(jié)論：①y沒(méi)有最小值；②有無(wú)窮多個(gè)x的值，使y取到最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有兩個(gè)值．其中正確的是 （填序號(hào)）．
【思路點(diǎn)撥】
依據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|x﹣1|可以看成是x與1的距離，|x+1|可以看出是x與﹣1的距離，這樣y可以看成兩個(gè)距離之和，即在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使它到1和﹣1 的距離之和等于y．要從三個(gè)情形分析討論：①x在﹣1的左側(cè)；②x在﹣1和1之間（包括﹣1，1）；③x在1的右側(cè)．
【解答過(guò)程】
解：∵|x﹣1|是數(shù)軸上x(chóng)與1的距離，|x+1是數(shù)軸上x(chóng)與﹣1的距離，
∴y＝|x﹣1|+|x+1|是數(shù)軸上x(chóng)與1和﹣1的距離之和．
∴當(dāng)x在﹣1和1之間（包括﹣1，1）時(shí)，y的值總等于2．如下圖：

當(dāng)x在﹣1的左側(cè)時(shí)，y的值總大于于2．如下圖：

當(dāng)x在1的右側(cè)時(shí)，y的值總大于于2．如下圖：
綜上，y有最小值2，且此時(shí)﹣1≤x≤1．
∴①③不正確，②正確．
∵使y＝2.5的x有﹣1，25和1，25兩個(gè)值，
∴④正確．
故答案為②④．
14．有理數(shù)a，b滿足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值為 ，最小值為 ．
【思路點(diǎn)撥】
將|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|拆分開(kāi)來(lái)看，從而分別得到他們的最值小均為3，而根據(jù)已知知道，它們的和為6，從而得到|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|的值均為3，從而得到a和b的取值范圍，進(jìn)而可以求出a2+b2的最大值和最小值．
【解答過(guò)程】
解：|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，
∴|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，
∵|a+1|表示a到﹣1的距離，
|2﹣a|表示a到2的距離，
∴|a+1|+|2﹣a|≥3，
又∵|b+2||表示b到﹣2的距離，
|b+5|表示b到﹣5的距離，
∴|b+2|+|b+5|≥3，
又∵|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，
∴|a+1|+|2﹣a|＝3，|b+2|+|b+5|＝3，
此時(shí)﹣1≤a≤2，﹣5≤b≤﹣2，
∴a2的最大值為4，最小值為0，
b2的最大值為25，最小值為4，
∴a2+b2的最大值為29，最小值為4．
故答案為：29，4．
15．（2021秋?梁子湖區(qū)期中）已知|ab﹣2|與|b﹣2|互為相反數(shù)，求b+1a+1?b+2a?2+b+3a+3的值．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求出a，b的值，代入代數(shù)式求值即可．
【解題過(guò)程】
解：根據(jù)題意得|ab﹣2|+|b﹣2|＝0，
∵|ab﹣2|≥0，|b﹣2|≥0，
∴ab﹣2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴原式=32?4?1+54
=32+4+54
=274．
16．（2021秋?貢井區(qū)期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D，E對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，d，e，且這五個(gè)點(diǎn)滿足每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都相等．
（1）填空：a﹣c ＜ 0，b﹣a ＞ 0，b﹣d ＜ 0（填“＞“，“＜“或“＝“）；
（2）化簡(jiǎn)：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接寫出b﹣e的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)數(shù)軸得出a＜b＜c＜d＜e，再比較即可；
（2）先去掉絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可；
（3）先求出b、e的值，再代入求出即可．
【解題過(guò)程】
解：（1）從數(shù)軸可知：a＜b＜c＜d＜e，
∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0，
故答案為：＜，＞，＜；
（2）原式＝|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|
＝﹣a+c﹣2（b﹣a）﹣（d﹣b）
＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b
＝a﹣b+c﹣d；
（3）|a|＝|e|，
∴a、e互為相反數(shù)，
∵|b|＝3，這五個(gè)點(diǎn)滿足每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都相等，
∴b＝﹣3，e＝6，
∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．
17．（2021秋?銅山區(qū)期中）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離記為d，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）數(shù)軸上表示﹣3和1兩點(diǎn)之間的距離d為 4 ；
（2）數(shù)軸上表示x和﹣5兩點(diǎn)之間的距離d為 |x+5| ；
（3）若x表示一個(gè)有理數(shù)，且x大于﹣3且小于1，則|x﹣1|+|x+3|＝ 4 ；
（4）若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x+2|+|x+3|＞1，則有理數(shù)x的取值范圍為 x＜﹣2或x＞﹣3 ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式列式；
（3）根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算；
（4）根據(jù)絕對(duì)值的意義和數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行分析求解．
【解題過(guò)程】
解：（1）d＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
∴數(shù)軸上表示﹣3和1兩點(diǎn)之間的距離d為4，
故答案為：4；
（2）數(shù)軸上表示x和﹣5兩點(diǎn)之間的距離d＝|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，
故答案為：|x+5|；
（3）∵﹣3＜x＜1，
∴x﹣1＜0，x+3＞0，
∴|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，
故答案為：4；
（4）|x+2|+|x+3|表示數(shù)軸上數(shù)x到數(shù)﹣2和數(shù)﹣3的距離之和，
∵﹣2﹣（﹣3）＝1，且|x+2|+|x+3|＞1，
∴x＜﹣2或x＞﹣3，
故答案為：x＜﹣3或x＞﹣2．
18．x取何值時(shí)，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取最小值，最小值是多少？
【思路點(diǎn)撥】
利用絕對(duì)值的幾何意義分析：x為數(shù)軸上的一點(diǎn)，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|表示：點(diǎn)x到數(shù)軸上的1997個(gè)點(diǎn)（1、2、3、…、1997）的距離之和，進(jìn)而分析得出最小值為：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|求出即可．
【解題過(guò)程】
解：在數(shù)軸上，要使點(diǎn)x到兩定點(diǎn)的距離和最小，
則x在兩點(diǎn)之間，最小值為兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)度（否則距離和大于該線段）；
所以：
當(dāng) 1≤x≤1997時(shí)，|x﹣1|+|x﹣1997|有最小值 1996；
當(dāng) 2≤x≤1996時(shí)，|x﹣2|+|x﹣1996|有最小值 1994；
…
當(dāng) x＝999時(shí)，|x﹣999|有最小值 0．
綜上，當(dāng) x＝999時(shí)，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|能夠取到最小值，
最小值為：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|
＝998+997+996+…+0+1+2+998
=(1+998)×9982×2
＝997002．
19．（2021秋?金鄉(xiāng)縣期中）我們知道：在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”．這一數(shù)學(xué)思想用處非常廣泛，我們經(jīng)常用這種方法解決問(wèn)題．例如：我們?cè)谟懻搢a|的值時(shí)，就會(huì)對(duì)a進(jìn)行分類討論，當(dāng)a≥0時(shí)，|a|＝a；當(dāng)a＜0時(shí)，|a|＝﹣a．現(xiàn)在請(qǐng)你利用這一思想解決下列問(wèn)題：
（1）8|8|= 1 ．?3|?3|= ﹣1
（2）a|a|= 1或﹣1 （a≠0），a|a|+b|b|= 2或0 （其中a＞0，b≠0）
（3）若abc≠0，試求a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義即可得到結(jié)論；
（2）分類討論：當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)b＞0時(shí)，當(dāng)b＜0時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義即可得到結(jié)論；
（3）分類討論：①當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，
②當(dāng)a，b，c三個(gè)字母中有一個(gè)字母小于0，其它兩個(gè)字母大于0時(shí)，③當(dāng)a，b，c三個(gè)字母中有一個(gè)字母大于0，其它兩個(gè)字母小于0時(shí)，④當(dāng)a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義即可得到結(jié)論．
【解題過(guò)程】
解：（1）8|8|=1，?3|?3|=?1，
故答案為：1，﹣1；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，a|a|=1；當(dāng)a＜0時(shí)，a|a|=?1；
當(dāng)b＞0時(shí)，a|a|+b|b|=1+1＝2；當(dāng)b＜0時(shí)，a|a|+b|b|=1﹣1＝0；
故答案為：1或﹣1，2或0；
（3）①當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1＝4，
②當(dāng)a，b，c三個(gè)字母中有一個(gè)字母小于0，其它兩個(gè)字母大于0時(shí)，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=?1+1+1﹣1＝0，
③當(dāng)a，b，c三個(gè)字母中有一個(gè)字母大于0，其它兩個(gè)字母小于0時(shí)，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1﹣1﹣1+1＝0，
④當(dāng)a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=?1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，
綜上所述，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值為±4，0．
20．（2021秋?江岸區(qū)期中）閱讀下列材料．
我們知道|x|=x(x＞0)0(x=0)?x(x＜0)，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡(jiǎn)|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可分以下三種情況：①當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．
∴|x+1|+|x﹣2|=?2x+1(x＜?1)3(?1≤x＜2)2x?1(x≥2)，通過(guò)以上閱讀，解決問(wèn)題：
（1）|x﹣3|的零點(diǎn)值是x＝ 3 （直接填空）；
（2）化簡(jiǎn)|x﹣3|+|x+4|；
（3）關(guān)于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接寫出x+y的最小值為 ﹣5 ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)零點(diǎn)值的概念領(lǐng)x﹣3＝0，求解；
（2）仿照材料例題分x＜﹣4；﹣4≤x＜3；x≥3三種情況結(jié)合絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)求解；
（3）仿照材料例題，分原式為|x﹣3|+|x+4|與|y﹣2|+|y+1|兩部分進(jìn)行分析求其最小值．
【解題過(guò)程】
解：（1）令x﹣3＝0，解得：x＝3，
∴|x﹣3|的零點(diǎn)值是x＝3，
故答案為：3；
（2）令x﹣3＝0，x+4＝0，
解得：x＝3，x＝﹣4，
①當(dāng)x＜﹣4時(shí)，
原式＝3﹣x﹣4﹣x＝﹣2x﹣1，
②當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，
原式＝3﹣x+x+4＝7，
③當(dāng)x＞3時(shí)，
原式＝x﹣3+x+4＝2x+1，
綜上，|x﹣3|+|x+4|=?2x?1(x＜?4)7(?4≤x＜3)2x+1(x＞3)；
（3）令x﹣3＝0，x+4＝0，y﹣2＝0，y+1＝0，
解得：x＝3，x＝﹣4，y＝2，y＝﹣1，
由（2）可得，
當(dāng)x＜﹣4時(shí)，|x﹣3|+|x+4|＝﹣2x﹣1，
又∵x＜﹣4，
∴﹣2x＞8，則﹣2x﹣1＞7，
當(dāng)x＞3時(shí)，|x﹣3|+|x+4|＝2x+1，
又∵x＞3，
∴2x＞6，則2x+1＞7，
∴當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，|x﹣3|+|x+4|取得最小值為7，
同理，可得當(dāng)﹣1≤y＜2時(shí)，|y﹣2|+|y+1|取得最小值為3，
∴當(dāng)|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10時(shí)，
﹣4≤x＜3，﹣1≤y＜2，
∴此時(shí)x+y的最小值為﹣4+（﹣1）＝﹣5，
故答案為：﹣5．

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

2.3 絕對(duì)值

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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