專題5.1 一元一次方程中的綜合 【典例1】定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”． 例如：方程2x?1=3和x+1=0為“美好方程”． （1）請判斷方程4x?(x+5)=1與方程?2y?y=3是否互為“美好方程”； （2）若關(guān)于x的方程x2+m=0與方程3x?2=x+4是“美好方程”，求m的值； （3）若關(guān)于x方程12022x?1=0與12022x+1=3x+k是“美好方程”，求關(guān)于y的方程12022(y+2)+1=3y+k+6的解． 【思路點撥】 （1）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解； （2）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解； （3）先求出12022x?1=0的解為x=2022，根據(jù)“美好方程”的定義，可得方程12022x+1=3x+k的解為：x=?2021，然后把12022(y+2)+1=3y+k+6化為12022(y+2)+1=3(y+2)+k，可得y+2=?2021，即可求解． 【解題過程】 解：（1）是，理由如下： 由4x?(x+5)=1解得x=2； 由?2y?y=3解得：y=?1． ∵?1+2=1 ∴方程4x?(x+5)=1與方程?2y?y=3是“美好方程”． （2）解：由3x?2=x+4解得x=3； 由x2+m=0解得x=?2m． ∵方程3x?2=x+4與方程x2+m=0是“美好方程” ∴?2m+3=1， 解得m=1． （3）解：由12022x?1=0解得x=2022； ∵方程12022x?1=0與方程12022x+1=3x+k是“美好方程” ∴方程12022x+1=3x+k的解為：x=1?2022=?2021， 又12022(y+2)+1=3y+k+6可化為12022(y+2)+1=3(y+2)+k ∴y+2=?2021， 解得：y=?2023． 1．（2022·浙江·七年級單元測試）滿足方程x+23+x?43=2的整數(shù)x有（????）個 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 2．（2022·河北·邢臺市開元中學(xué)七年級階段練習(xí)）方程x3+x15+x35…+x2021×2023=1的解是x=（????）． A．20212023 B．20232021 C．20231011 D．10112023 3．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次方程3x?5m2?x?m3=19的解，比關(guān)于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（x﹣m）的解大15，則m＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 4．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x?38?ax3=x2?1有負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為（????） A．?11 B．?26 C．?28 D．?30 5．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若關(guān)于x的方程2kx+m3=x?nk6+2，無論k為任何數(shù)時，它的解總是x=1，那么m+n=_______． 6．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）對于三個互不相等的有理數(shù)a，b，c，我們規(guī)定符號max{a,b,c}表示a，b，c三個數(shù)中較大的數(shù)，例如max{2,3,4}=4.按照這個規(guī)定則方程max{x,?x,0}=3x?2的解為_________． 7．（2022·河北保定·七年級期末）已知關(guān)于x的一元一次方程x2020+a=2020x的解為x=2020，那么關(guān)于y的一元一次方程1?y2020=2020(1?y)+a的解為________. 8．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解關(guān)于x的一元一次方程x1×3+x3×5+?+x2019×2021=2020． 9．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）解關(guān)于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0． 10．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解方程：|x-3x+1|＝4． 11．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如果方程 3x?42?7=2x+13?1 的解與方程 4x?(3a+1)=6x+2a?1 的解相同，求式子 a2?a+1 的值． 12．（2022·江蘇·七年級單元測試）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x?12+?＝3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)?被污染了； (1)嘉淇猜?是2，請解一元一次方程3x?12+2=3； (2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？ 13．（2021·吉林松原·七年級期末）某同學(xué)在解關(guān)于y的方程3y?a4?5y?7a6=1去分母時、忘記將方程右邊 的1乘以12，從而求得方程的解為y＝10． （1）求a的值； （2）求方程正確的解． 14．（2022·湖北省直轄縣級單位·七年級期末）一題多解是培養(yǎng)發(fā)散思維的重要方法，方程“6(4x?3)+2(3?4x)=3(4x?3)+5”可以有多種不同的解法． (1)觀察上述方程，假設(shè)y=4x?3，則原方程可變形為關(guān)于y的方程：_________ ，通過先求y的值，從而可得x=_____； (2)利用上述方法解方程：3(x?1)?13(x?1)=2(x?1)?12(x+1)． 15．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）解關(guān)于x的方程x3+x5+x7＝0，我們也可以這樣來解： （13+15+17）x＝0， 因為13+15+17≠0． 所以方程的解：x＝0． 請按這種方法解下列方程： (1)x?13+x?15+x?17+x?19＝0； (2)x?232+x?194+x?156+x?118+x?710＝10． 16．（2022·河南·南陽市第九中學(xué)校七年級階段練習(xí)）仔細(xì)觀察下面的解法，請回答為問題． 解方程：3x?12=4x+25?1 解：15x﹣5＝8x+4﹣1， 15x﹣8x＝4﹣1+5， 7x＝8， x=78． (1)上面的解法錯誤有　 　處． (2)若關(guān)于x的方程3x?12=4x+25＋a，按上面的解法和正確的解法得到的解分別為x1，x2，且x2?1x1為非零整數(shù)，求|a|的最小值． 17．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陽澄湖中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知，對于任意的有理數(shù)a、b、c、d，我們規(guī)定了一種運算：|a?bc?d|＝ad﹣bc，例如|1?02??2|＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么當(dāng)|2x+1??4x?1?3|＝19時，求x的值． 18．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）航天創(chuàng)造美好生活，每年4月24日為中國航天日．學(xué)習(xí)了一元一次方程以后，小悅結(jié)合中國航天日給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程的解，y0是關(guān)于y的方程的一個解，且x0，y0滿足x0+y0=424，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x?400的解是x=400，方程y=24的解是y=24或y=?24，當(dāng)y=24時，滿足x0+y0=400+24=424，所以關(guān)于y的方程y=24是關(guān)于x的一元一次方程4x=5x?400的“航天方程”． (1)試判斷關(guān)于y的方程y?1=20是否是關(guān)于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”？并說明理由； (2)若關(guān)于y的方程y?1?3=13是關(guān)于x的一元一次方程x?2x?2a3=2a+1的“航天方程”，求a的值． 19．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數(shù)），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”． (1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為 　 ??； (2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值； (3)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數(shù)式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值． 20．（2022·福建福州·七年級期末）定義：若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． (1)請通過計算判斷關(guān)于x的方程2x＝5x﹣12與關(guān)于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”； (2)若關(guān)于x的方程x﹣x?2m3＝n﹣1與關(guān)于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值； (3)若關(guān)于x的方程sx+t＝h（s≠0），與關(guān)于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，試用含m的式子表示k． 專題5.1 一元一次方程中的綜合 【典例1】定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”． 例如：方程2x?1=3和x+1=0為“美好方程”． （1）請判斷方程4x?(x+5)=1與方程?2y?y=3是否互為“美好方程”； （2）若關(guān)于x的方程x2+m=0與方程3x?2=x+4是“美好方程”，求m的值； （3）若關(guān)于x方程12022x?1=0與12022x+1=3x+k是“美好方程”，求關(guān)于y的方程12022(y+2)+1=3y+k+6的解． 【思路點撥】 （1）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解； （2）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解； （3）先求出12022x?1=0的解為x=2022，根據(jù)“美好方程”的定義，可得方程12022x+1=3x+k的解為：x=?2021，然后把12022(y+2)+1=3y+k+6化為12022(y+2)+1=3(y+2)+k，可得y+2=?2021，即可求解． 【解題過程】 解：（1）是，理由如下： 由4x?(x+5)=1解得x=2； 由?2y?y=3解得：y=?1． ∵?1+2=1 ∴方程4x?(x+5)=1與方程?2y?y=3是“美好方程”． （2）解：由3x?2=x+4解得x=3； 由x2+m=0解得x=?2m． ∵方程3x?2=x+4與方程x2+m=0是“美好方程” ∴?2m+3=1， 解得m=1． （3）解：由12022x?1=0解得x=2022； ∵方程12022x?1=0與方程12022x+1=3x+k是“美好方程” ∴方程12022x+1=3x+k的解為：x=1?2022=?2021， 又12022(y+2)+1=3y+k+6可化為12022(y+2)+1=3(y+2)+k ∴y+2=?2021， 解得：y=?2023． 1．（2022·浙江·七年級單元測試）滿足方程x+23+x?43=2的整數(shù)x有（????）個 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【思路點撥】 分類討論：x≥43，x≤?23，?23

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