專題2.5 新定義問題 【典例1】小聰是一個聰明而又富有想象力的孩子．學習了“有理數(shù)的乘方”后，他就琢磨著使用“乘方”這一數(shù)學知識，腦洞大開地定義出“有理數(shù)的除方”概念．于是規(guī)定：若干個相同有理數(shù)（均不能為0）的除法運算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，類比有理數(shù)的乘方．小聰把5÷5÷5記作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）記作f（4，﹣2）． （1）直接寫出計算結(jié)果，f（4，12）＝　 　，f（5，3）＝　 ??； （2）關于“有理數(shù)的除方”下列說法正確的是 　 　．（填序號） ①f（6，3）＝f（3，6）； ②f（2，a）＝1（a≠0）； ③對于任何正整數(shù)n，都有f（n，﹣1）＝1； ④對于任何正整數(shù)n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）． （3）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請推導出“除方”的運算公式f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），要求寫出推導過程將結(jié)果寫成冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示） （4）請利用（3）問的推導公式計算：f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，12）． （1）根據(jù)題意計算即可； （2）①分別計算f（6，3）和f（3，6）的結(jié)果進行比較即可； ②根據(jù)題意計算即可判斷； ③分為n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別計算即可判斷； ④2n為偶數(shù)，偶數(shù)個a相除，結(jié)果應為正； （3）推導f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），按照題目中的做法推到即可； （4）按照上題的推導式可以將算式中的每一部分表示出來再計算． 解：（1）f（4，12）=12÷12÷12÷12=4， f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127； 故答案為：4； 127． （2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f（3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f（6，3）≠f（3，6），故錯誤； ②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正確； ③對于任何正整數(shù)n，當n為奇數(shù)時，f（n，﹣1）＝﹣1；當n為偶數(shù)時，f（n，﹣1）＝1．故錯誤； ④對于任何正整數(shù)n，2n為偶數(shù)，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故錯誤； 故答案為：②． （3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（1a）n﹣2（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2）． （4）f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，12） =127×9×（?18）×16 =?23． 1．（2022?長安區(qū)模擬）用“☆”定義一種新運算：對于任何不為零的整數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，則（﹣2）☆（﹣1）的值為（　?。?A．﹣3 B．1 C．32 D．?32 2．（2021秋?東港區(qū)期末）已知a、b皆為正有理數(shù)，定義運算符號為※：當a＞b時，a※b＝2a；當a＜b時，a※b＝2b﹣a，則3※2﹣（﹣2※3）等于（　?。?A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10 3．（2022?武威模擬）用“*”定義新運算，對于任意有理數(shù)a、b，都有a*b＝b3﹣1，則12*[3*（﹣1）]的值為（　?。?A．﹣1 B．﹣9 C．?12 D．0 4．（2021秋?洪山區(qū)期末）定義：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN．例如：因為72＝49，所以log749＝2；因為53＝125，所以log5125＝3．則下列說法中正確的有（　?。﹤€．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，則a＝50；④log2128＝log216+log28； A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2021秋?順城區(qū)期末）觀察下列兩個等式：1?23=2×1×23?1，2?35=2×2×35?1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對有理數(shù)a，b為“同心有理數(shù)對”，記為（a，b），如：數(shù)對（1，23），（2，35）都是“同心有理數(shù)對”下列數(shù)對是“同心有理數(shù)對”的是（　?。?A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） D．（6，713） 6．（2020秋?旌陽區(qū)期末）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復進行，例如，取n＝26．則： 若n＝49，則第2021次“F”運算的結(jié)果是（　?。?A．68 B．78 C．88 D．98 7．（2021秋?大連月考）我們對任意四個有理數(shù)a，b，c，d定義一種新的運算：abcd=ad﹣bc．則?4?231的值為 　 ?。?8．（2021秋?鄖西縣月考）我們定義一種新運算，規(guī)定：圖表示a﹣b+c，圖形表示﹣x+y﹣z，則+的值為　 ?。?9．（2020秋?青浦區(qū)期中）若定義新的運算符號“*”為a*b=a+1b，則（13*12）*2＝　 　． 10．（2021秋?西城區(qū)校級期中）用“△”定義新運算：對于任意有理數(shù)a、b，當a≤b時，都有a△b＝a2b；當a＞b時，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝　 　；(?23)△(?3)=　 ?。?11．（2021秋?綿陽期中）定義一種新的運算：x?y=x2?2y，x＞y1，x=y?2xy，x＜y，例如2?1＝22﹣2×1＝2，2?3＝﹣2×2×3＝﹣12，1?1＝1．計算：[（﹣3）?（﹣1）]+[4?（﹣2）]﹣（2021?2021）＝　 ?。? 12．（2021?越秀區(qū)校級開學）定義兩種新運算，觀察下列式子： （1）xΘy＝4x+y，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根據(jù)以上規(guī)則，計算[1Θ(?12)]+[(?2)Θ194]=　 ?。? 13．（2021秋?西城區(qū)校級期中）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b=a+b+|a?b|2． （1）計算：（﹣6）☆5＝　 ?。?（2）從﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任選兩個有理數(shù)做a，b（a≠b）的值，并計算a☆b，那么所有運算結(jié)果中的最大值是 　 ?。? 14．（2021秋?封丘縣期末）對于有理數(shù)a，b，定義一種新運算“?”，規(guī)定a?b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3?5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6． （1）計算3?（﹣5）的值． （2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a?b． 15．（2021秋?茂名期中）已知a、b均為有理數(shù)，現(xiàn)定義一種新的運算，規(guī)定：a?b＝a2+ab﹣5，例如1?1＝12+1×1﹣5．求： （1）（﹣3）?6的值； （2）[2?（?32）]﹣[（﹣5）?9]的值． 16．（2021秋?沁陽市期中）同學們剛學完有理數(shù)相關運算后，老師又定義了一種新的“※（加乘）”運算，以下算式就是按照“※（加乘）”運算法則進行的運算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0． （1）綜合以上情形，有如下有理數(shù)“※（加乘）”運算法則：兩數(shù)進行“※（加乘）”運算，同號 　 　，異號 　 　，并把絕對值 　 　；特別地，一個數(shù)與0進行“※（加乘）”運算，都得 　 ?。?（2）計算：（﹣7）※（﹣4）＝　 ?。?（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．計算：1a×b+1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值． 17．（2021秋?晉江市期中）給出如下定義：如果兩個不相等的有理數(shù)a，b滿足等式a﹣b＝ab．那么稱a，b是“關聯(lián)有理數(shù)對”，記作（a，b）．如：因為3?34=124?34=94，3×34=94．所以數(shù)對（3，34）是“關聯(lián)有理數(shù)對”． （1）在數(shù)對①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“關聯(lián)有理數(shù)對”的是　 　（只填序號）； （2）若（m，n）是“關聯(lián)有理數(shù)對”，則（﹣m，﹣n）　 　“關聯(lián)有理數(shù)對”（填“是”或“不是”）； （3）如果兩個有理數(shù)是一對“關聯(lián)有理數(shù)對”，其中一個有理數(shù)是5，求另一個有理數(shù)． 18．（2022春?邗江區(qū)校級期中）閱讀材料：如果10b＝n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b＝d（n）．由定義可知：10b＝n與b＝d（n）表示b、n兩個量之間的同一關系．如：102＝100，則d（100）＝2． 理解運用： （1）根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10﹣3）＝　 　，d（1）＝　 　； （2）“勞格數(shù)”有如下運算性質(zhì)： 若m、n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n），d（mn）＝d（m）﹣d（n）；根據(jù)運算性質(zhì)，填空：d(a3)d(a)=　 　；（a為正數(shù)） （3）若d（2）＝0.3010，計算：d（4）、d（5）； （4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，請證明m＝n＝p． 19．（2022春?衡陽縣期末）定義：對于確定位置的三個數(shù)：a，b，c，計算a﹣b，a?c2，b?c3，將這三個數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”，例如，對于1，﹣2，3，因為1﹣（﹣2）＝3，1?32=?1，?2?33=?53，所以1，﹣2，3的“分差”為?53． （1）﹣2，﹣4，1的“分差”為　 ??； （2）調(diào)整“﹣2，﹣4，1”這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，那么這些不同“分差”中的最大值是　 　； （3）調(diào)整﹣1，6，x這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，若其中的一個“分差”為2，求x的值． 20.（2022春?房山區(qū)期中）現(xiàn)將偶數(shù)個互不相等的有理數(shù)分成個數(shù)相同的兩排，需滿足第一排中的數(shù)越來越大，第二排中的數(shù)越來越?。?，軒軒將“1，2，3，4”進行如下分組： 然后把每列兩個數(shù)的差的絕對值進行相加，定義為該分組方式的“M值”． 例如，以上分組方式的“M值”為M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4． （1）另寫出“1，2，3，4”的一種分組方式，并計算相應的“M值”； （2）將4個自然數(shù)“a，6，7，8”按照題目要求分為兩排，使其“M值”為6，則a的值為 　 ?。?（3）已知有理數(shù)c，d滿足c+d＝2，且c＜d．將6個有理數(shù)“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照題目要求分為兩排，使其“M值”為18，求d的值． 　　第一列　第二列　第一排1　2　第二排4　　3 專題2.5 新定義問題 【典例1】小聰是一個聰明而又富有想象力的孩子．學習了“有理數(shù)的乘方”后，他就琢磨著使用“乘方”這一數(shù)學知識，腦洞大開地定義出“有理數(shù)的除方”概念．于是規(guī)定：若干個相同有理數(shù)（均不能為0）的除法運算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，類比有理數(shù)的乘方．小聰把5÷5÷5記作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）記作f（4，﹣2）． （1）直接寫出計算結(jié)果，f（4，12）＝　 　，f（5，3）＝　 ??； （2）關于“有理數(shù)的除方”下列說法正確的是 　 ?。ㄌ钚蛱枺?①f（6，3）＝f（3，6）； ②f（2，a）＝1（a≠0）； ③對于任何正整數(shù)n，都有f（n，﹣1）＝1； ④對于任何正整數(shù)n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）． （3）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請推導出“除方”的運算公式f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），要求寫出推導過程將結(jié)果寫成冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示） （4）請利用（3）問的推導公式計算：f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，12）． （1）根據(jù)題意計算即可； （2）①分別計算f（6，3）和f（3，6）的結(jié)果進行比較即可； ②根據(jù)題意計算即可判斷； ③分為n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別計算即可判斷； ④2n為偶數(shù)，偶數(shù)個a相除，結(jié)果應為正； （3）推導f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），按照題目中的做法推到即可； （4）按照上題的推導式可以將算式中的每一部分表示出來再計算． 解：（1）f（4，12）=12÷12÷12÷12=4， f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127； 故答案為：4； 127． （2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f（3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f（6，3）≠f（3，6），故錯誤； ②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正確； ③對于任何正整數(shù)n，當n為奇數(shù)時，f（n，﹣1）＝﹣1；當n為偶數(shù)時，f（n，﹣1）＝1．故錯誤； ④對于任何正整數(shù)n，2n為偶數(shù)，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故錯誤； 故答案為：②． （3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（1a）n﹣2（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2）． （4）f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，12） =127×9×（?18）×16 =?23． 1．（2022?長安區(qū)模擬）用“☆”定義一種新運算：對于任何不為零的整數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，則（﹣2）☆（﹣1）的值為（　?。?A．﹣3 B．1 C．32 D．?32 【思路點撥】 原式利用題中的新定義計算即可求出值． 【解題過程】 解：根據(jù)題中的新定義得：原式＝（﹣2）﹣1﹣（﹣1）2=?12?1=?32． 故選：D． 2．（2021秋?東港區(qū)期末）已知a、b皆為正有理數(shù)，定義運算符號為※：當a＞b時，a※b＝2a；當a＜b時，a※b＝2b﹣a，則3※2﹣（﹣2※3）等于（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10 【思路點撥】 原式根據(jù)題中的新定義化簡，計算即可求出值． 【解題過程】 解：根據(jù)題中的新定義得：3※2＝6，﹣2※3＝﹣（2×3﹣2）＝﹣（6﹣2）＝﹣4， 則原式＝6﹣（﹣4）＝10． 故選：D． 3．（2022?武威模擬）用“*”定義新運算，對于任意有理數(shù)a、b，都有a*b＝b3﹣1，則12*[3*（﹣1）]的值為（　?。?A．﹣1 B．﹣9 C．?12 D．0 【思路點撥】 根據(jù)a*b＝b3﹣1，可以求得所求式子的值． 【解題過程】 解：∵a*b＝b3﹣1， ∴12*[3*（﹣1）] =12*[（﹣1）3﹣1] =12*[（﹣1）﹣1] =12*（﹣2） ＝（﹣2）3﹣1 ＝（﹣8）﹣1 ＝﹣9， 故選：B． 4．（2021秋?洪山區(qū)期末）定義：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN．例如：因為72＝49，所以log749＝2；因為53＝125，所以log5125＝3．則下列說法中正確的有（　?。﹤€．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，則a＝50；④log2128＝log216+log28； A．4 B．3 C．2 D．1 【思路點撥】 根據(jù)對數(shù)和乘方互為逆運算逐一進行判斷即可． 【解題過程】 解：∵61＝6， ∴l(xiāng)og66＝1，故①不符合題意； ∵34＝81， ∴l(xiāng)og381＝4，故②符合題意； ∵44＝256， ∴a+14＝256， ∴a＝242，故③不符合題意； ∵27＝128， ∴l(xiāng)og2128＝7， ∵24＝16， ∴l(xiāng)og216＝4， ∵23＝8， ∴l(xiāng)og28＝3， ∵7＝4+3， ∴l(xiāng)og2128＝log216+log28，故④符合題意； 綜上所述，符合題意的有2個， 故選：C． 5．（2021秋?順城區(qū)期末）觀察下列兩個等式：1?23=2×1×23?1，2?35=2×2×35?1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對有理數(shù)a，b為“同心有理數(shù)對”，記為（a，b），如：數(shù)對（1，23），（2，35）都是“同心有理數(shù)對”下列數(shù)對是“同心有理數(shù)對”的是（　?。?A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） D．（6，713） 【思路點撥】 根據(jù)“同心有理數(shù)對”的定義判斷即可． 【解題過程】 解：∵﹣3?47=?257，2×（﹣3）×47?1=?217，?257≠?217， ∴數(shù)對（﹣3，47）不是“同心有理數(shù)對”； 故選項A不合題意； ∵4?49=329，2×4×49?1=239，329≠239， ∴（4，49）不是“同心有理數(shù)對”， 故選項B不合題意； ∵?5?611=?6111，2×(?5)×611?1=?6611，?6111≠?6611， ∴（﹣5，611）不是“同心有理數(shù)對”， 故選項C不合題意； ∵6?713=7113，2×6×713?1=7113， ∴（6，713）是“同心有理數(shù)對”， 故選項D符合題意； 故選：D． 6．（2020秋?旌陽區(qū)期末）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復進行，例如，取n＝26．則： 若n＝49，則第2021次“F”運算的結(jié)果是（　　） A．68 B．78 C．88 D．98 【思路點撥】 根據(jù)運行的框圖依次計算，發(fā)現(xiàn)其運算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律：6次一循環(huán)，再計算求解即可． 【解題過程】 解：本題提供的“F運算”，需要對正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計算，由于n＝49為奇數(shù)應先進行F①運算， 即3×49+5＝152（偶數(shù)），需再進行F②運算， 即152÷23＝19（奇數(shù)）， 再進行F①運算，得到3×19+5＝62（偶數(shù)）， 再進行F②運算，即62÷21＝31（奇數(shù)）， 再進行F①運算，得到3×31+5＝98（偶數(shù)）， 再進行F②運算，即98÷21＝49， 再進行F①運算，得到3×49+5＝152（偶數(shù)），…， 即第1次運算結(jié)果為152，…， 第4次運算結(jié)果為31，第5次運算結(jié)果為98，…， 可以發(fā)現(xiàn)第6次運算結(jié)果為49，第7次運算結(jié)果為152， 則6次一循環(huán)， 2021÷6＝336……5， 則第2021次“F運算”的結(jié)果是98． 故選：D． 7．（2021秋?大連月考）我們對任意四個有理數(shù)a，b，c，d定義一種新的運算：abcd=ad﹣bc．則?4?231的值為 　2?。?【思路點撥】 直接利用已知定義將原式變形計算得出答案． 【解題過程】 解：?4?231 ＝﹣4×1﹣（﹣2）×3 ＝﹣4+6 ＝2． 故答案為：2． 8．（2021秋?鄖西縣月考）我們定義一種新運算，規(guī)定：圖表示a﹣b+c，圖形表示﹣x+y﹣z，則+的值為　﹣3?。?【思路點撥】 先認真讀題，再根據(jù)列出算式，最后根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行計算即可． 【解題過程】 解：+ ＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7） ＝2﹣3+4﹣5+6﹣7 ＝﹣3， 故答案為：﹣3． 9．（2020秋?青浦區(qū)期中）若定義新的運算符號“*”為a*b=a+1b，則（13*12）*2＝　116?。?【思路點撥】 先計算出13*12=83，再計算（13*12）*2=83*2即可． 【解題過程】 解：13*12=13+112 =4312 =83， ∴（13*12）*2 =83*2 =83+12 =1132 =116， 故答案為：116． 10．（2021秋?西城區(qū)校級期中）用“△”定義新運算：對于任意有理數(shù)a、b，當a≤b時，都有a△b＝a2b；當a＞b時，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝　24?。??23)△(?3)=　﹣6　． 【思路點撥】 根據(jù)當a≤b時，都有a△b＝a2b；當a＞b時，都有a△b＝ab2，可以計算出所求式子的值． 【解題過程】 解：∵2＜6， ∴2△6 ＝22×6 ＝4×6 ＝24， ∵?23＞?3， ∴(?23)△(?3) ＝（?23）×（﹣3）2 ＝（?23）×9 ＝﹣6， 故答案為：24，﹣6． 11．（2021秋?綿陽期中）定義一種新的運算：x?y=x2?2y，x＞y1，x=y?2xy，x＜y，例如2?1＝22﹣2×1＝2，2?3＝﹣2×2×3＝﹣12，1?1＝1．計算：[（﹣3）?（﹣1）]+[4?（﹣2）]﹣（2021?2021）＝　13　． 【思路點撥】 根據(jù)題目中的新定義，可以將所求式子轉(zhuǎn)化，然后即可求出所求式子的值． 【解題過程】 解：由題意可得， [（﹣3）?（﹣1）]+[4?（﹣2）]﹣（2021?2021） ＝﹣2×（﹣3）×（﹣1）+42﹣2×（﹣2）﹣1 ＝﹣6+16+4﹣1 ＝13， 故答案為：13． 12．（2021?越秀區(qū)校級開學）定義兩種新運算，觀察下列式子： （1）xΘy＝4x+y，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根據(jù)以上規(guī)則，計算[1Θ(?12)]+[(?2)Θ194]=　﹣1?。?【思路點撥】 根據(jù)題目中的新定義，可以計算出所求式子的值． 【解題過程】 解：由題意可得， [1Θ(?12)]+[(?2)Θ194] ＝[4×1+（?12）]+[4×（﹣2）+194] ＝[4+（?12）]+[（﹣8）+194] ＝[3.5]+[?134] ＝3+（﹣4） ＝﹣1， 故答案為：﹣1． 13．（2021秋?西城區(qū)校級期中）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b=a+b+|a?b|2． （1）計算：（﹣6）☆5＝　5?。?（2）從﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任選兩個有理數(shù)做a，b（a≠b）的值，并計算a☆b，那么所有運算結(jié)果中的最大值是 　9?。?【思路點撥】 （1）根據(jù)a☆b=a+b+|a?b|2，可以求得所求式子的值； （2）根據(jù)題意，可以分兩種情況討論，分別求出對應的最大值即可． 【解題過程】 解：（1）∵a☆b=a+b+|a?b|2， ∴（﹣6）☆5 =(?6)+5+|(?6)?5|2 =(?6)+5+112 =102 ＝5， 故答案為：5； （2）由題意可得， 當a＞b時，a☆b=a+b+|a?b|2=a+b+a?b2=a≤9， a≤b時，a☆b=a+b+|a?b|2=a+b+b?a2=b≤9， 由上可得，所有運算結(jié)果中的最大值是9， 故答案為：9． 14．（2021秋?封丘縣期末）對于有理數(shù)a，b，定義一種新運算“?”，規(guī)定a?b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3?5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6． （1）計算3?（﹣5）的值． （2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a?b． 【思路點撥】 （1）將a＝3，b＝﹣5代入公式計算即可； （2）先由非負數(shù)的性質(zhì)得出a、b的值，再代入計算即可． 【解題過程】 解：（1）∵a?b＝|a+b|﹣|a﹣b|， ∴3?（﹣5） ＝|3﹣5|﹣|3+5| ＝2﹣8 ＝﹣6． （2）∵（a+2）2+|b﹣1|＝0， ∴（a+2）2＝0，|b﹣1|＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴a?b ＝|﹣2+1|﹣|﹣2﹣1| ＝1﹣3 ＝﹣2． 5．（2021秋?茂名期中）已知a、b均為有理數(shù)，現(xiàn)定義一種新的運算，規(guī)定：a?b＝a2+ab﹣5，例如1?1＝12+1×1﹣5．求： （1）（﹣3）?6的值； （2）[?（?32）]﹣[（﹣5）?9]的值． 【思路點撥】 （1）原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果； （2）原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果． 【解題過程】 解：（1）（﹣3）?6， ＝（﹣3）2+（﹣3）×6﹣5 ＝9﹣18﹣5 ＝﹣14； （2）[2?（?32）]﹣[（﹣5）?9]， ＝[22+2×（?32）﹣5]﹣[（﹣5）2+（﹣5）×9﹣5] ＝（4﹣3﹣5）﹣（25﹣45﹣5） ＝﹣4+25 ＝21． 16．（2021秋?沁陽市期中）同學們剛學完有理數(shù)相關運算后，老師又定義了一種新的“※（加乘）”運算，以下算式就是按照“※（加乘）”運算法則進行的運算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0． （1）綜合以上情形，有如下有理數(shù)“※（加乘）”運算法則：兩數(shù)進行“※（加乘）”運算，同號 　取正　，異號 　取負　，并把絕對值 　相加?。惶貏e地，一個數(shù)與0進行“※（加乘）”運算，都得 　絕對值?。?（2）計算：（﹣7）※（﹣4）＝　11?。?（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．計算：1a×b+1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值． 【思路點撥】 （1）根據(jù)已知算式得出法則：兩數(shù)進行*（加乘）運算，同號得正、異號得負，并把絕對值相加； （2）依據(jù)所得法則計算可得； （3）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b，再代入后拆分抵消法計算即可求解． 【解題過程】 解：（1）綜合以上情形，有如下有理數(shù)“※（加乘）”運算法則：兩數(shù)進行“※（加乘）”運算，同號取正，異號取負，并把絕對值相加；特別地，一個數(shù)與0進行“※（加乘）”運算，都得絕對值． 故答案為：取正，取負，相加，絕對值； （2）（﹣7）※（﹣4）＝11． 故答案為：11； （3）∵（1﹣a）※（b﹣3）＝0， ∴1﹣a＝0，b﹣3＝0， 解得a＝1，b＝3， 1a×b+1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8) =11×3+13×5+15×7+17×9+19×11 =12×（1?13+13?15+15?17+17?19+19?111） =12×（1?111） =12×1011 =511． 17．（2021秋?晉江市期中）給出如下定義：如果兩個不相等的有理數(shù)a，b滿足等式a﹣b＝ab．那么稱a，b是“關聯(lián)有理數(shù)對”，記作（a，b）．如：因為3?34=124?34=94，3×34=94．所以數(shù)對（3，34）是“關聯(lián)有理數(shù)對”． （1）在數(shù)對①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“關聯(lián)有理數(shù)對”的是?、佗邸。ㄖ惶钚蛱枺?； （2）若（m，n）是“關聯(lián)有理數(shù)對”，則（﹣m，﹣n）　不是　“關聯(lián)有理數(shù)對”（填“是”或“不是”）； （3）如果兩個有理數(shù)是一對“關聯(lián)有理數(shù)對”，其中一個有理數(shù)是5，求另一個有理數(shù)． 【思路點撥】 （1）根據(jù)“關聯(lián)有理數(shù)對”的定義即可判斷； （2）根據(jù)“關聯(lián)有理數(shù)對”的定義即可解決問題； （3）根據(jù)“關聯(lián)有理數(shù)對”的定義，先設a＝5，代入等式可得b的值． 【解題過程】 解：（1）①因為1?12=12，1×12=12， 所以數(shù)對（1，12）是“關聯(lián)有理數(shù)對”； ②因為﹣1﹣0＝﹣1，﹣1×0＝0， 所以數(shù)對（﹣1，0）不是“關聯(lián)有理數(shù)對”； ③因為52?57=3514?1014=2514，52×57=2514， 所以數(shù)對（52，57）是“關聯(lián)有理數(shù)對”； 故答案為：①③； （2）（﹣m，﹣n）不是“關聯(lián)有理數(shù)對”； 理由：因為（m，n）是“關聯(lián)有理數(shù)對” 所以m﹣n＝mn， 因為﹣m﹣（﹣n）＝n﹣m，﹣m?（﹣n）＝mn＝m﹣n， 所以（﹣m，﹣n）不是“關聯(lián)有理數(shù)對”； 故答案為：是，不是； （3）設a＝5，（a，b）是“關聯(lián)有理數(shù)對”， 所以a﹣b＝ab，即5﹣b＝5b， 解得b=56， 設b＝5，（a，b）是“關聯(lián)有理數(shù)對”， 所以a﹣b＝ab，即a﹣5＝5a， 解得a=?54， 所以另一個有理數(shù)是56或?54． 18．（2022春?邗江區(qū)校級期中）閱讀材料：如果10b＝n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b＝d（n）．由定義可知：10b＝n與b＝d（n）表示b、n兩個量之間的同一關系．如：102＝100，則d（100）＝2． 理解運用： （1）根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10﹣3）＝　﹣3　，d（1）＝　0??； （2）“勞格數(shù)”有如下運算性質(zhì)： 若m、n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n），d（mn）＝d（m）﹣d（n）；根據(jù)運算性質(zhì)，填空：d(a3)d(a)=　3??；（a為正數(shù)） （3）若d（2）＝0.3010，計算：d（4）、d（5）； （4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，請證明m＝n＝p． 【思路點撥】 （1）根據(jù)新定義及法則進行運算即可； （2）根據(jù)新定義運算法則運算即可； （3）根據(jù)新定義運算法則運算即可； （4）根據(jù)新定義運算法則分別運算即可． 【解題過程】 解：（1）∵10b＝10﹣3， ∴b＝﹣3， ∴d（10﹣3）＝﹣3， ∵10b＝1＝100， ∴b＝0， ∴d（1）＝d（100）＝0， （2）d(a3)d(a) =d(a×a×a)d(a) =d(a)+d(a)+d(a)d(a) =3d(a)d(a) ＝3； （3）∵d（2）＝0.310， ∴d（4） ＝d（2×2） ＝d（2）+d（2） ＝2d（2） ＝2×0.3010 ＝0.6020， d（5） ＝d（102） ＝d（10）﹣d（2） ＝1﹣0.3010 ＝0.6990； （4）∵d（2）＝2m+n， ∴d（4） ＝d（2×2） ＝d（2）+d（2） ＝2d（2） ＝2（2m+n） ＝4m+2n， d（8） ＝d（2×2×2） ＝d（2）+d（2）+d（2） ＝3d（2） ＝3（2m+n） ＝6m+3n ∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p， ∴4m+2n=3m+2n+p6m+3n=6m+2n+p ∴m＝n＝p， 故答案為：（1）﹣3，0； （2）3； （3）0.6020，0.6990； （4）證明見解析． 19．（2022春?衡陽縣期末）定義：對于確定位置的三個數(shù)：a，b，c，計算a﹣b，a?c2，b?c3，將這三個數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”，例如，對于1，﹣2，3，因為1﹣（﹣2）＝3，1?32=?1，?2?33=?53，所以1，﹣2，3的“分差”為?53． （1）﹣2，﹣4，1的“分差”為　?53　； （2）調(diào)整“﹣2，﹣4，1”這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，那么這些不同“分差”中的最大值是　23??； （3）調(diào)整﹣1，6，x這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，若其中的一個“分差”為2，求x的值． 【思路點撥】 （1）按“新定義”代入三個代數(shù)式求值再比較大?。?（2）三個數(shù)順便不同可以有6種組合，除第（1）題的順序，計算其余五種情況的“分差”，再比較大?。?（3）由“分差”為2（是正數(shù)）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能對應a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三種情況：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每種情況下計算得三個代數(shù)式后，分別令兩個含x的式子等于2，求出x，再代入檢查此時“分差”是否為2． 【解題過程】 解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1 ∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，a?c2=?2?12=?32，b?c3=?4?13=?53， ∴﹣2，﹣4，1的“分差”為?53 故答案為：?53 （2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4 則a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，a?c2=?2?(?4)2=1，b?c3=1?(?4)3=53， ∴﹣2，1，﹣4的“分差”為﹣3 ②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1 則a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，a?c2=?4?12=?52，b?c3=?2?13=?1 ∴﹣4，﹣2，1的“分差”為?52 ③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2 則a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，a?c2=?4?(?2)2=?1，b?c3=1?(?2)3=1 ∴﹣4，1，﹣2的“分差”為﹣5 ④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2 則a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，a?c2=1?(?2)2=32，b?c3=?4?(?2)3=?23 ∴1，﹣4，﹣2的“分差”為?23 ⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4 則a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，a?c2=1?(?4)2=52，b?c3=?2?(?4)3=23 ∴1，﹣2，﹣4的“分差”為23 綜上所述，這些不同“分差”中的最大值為23 故答案為：23 （3）∵“分差”為2，﹣1﹣6＝﹣7 ∴三個數(shù)的順序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6 ①a＝6，b＝x，c＝﹣1， ∴a﹣b＝6﹣x，a?c2=6?(?1)2=72，b?c3=x?(?1)3=x+13 若6﹣x＝2，得x＝4，x+13=53＜2，不符合 若x+13=2，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合 ②a＝6，b＝﹣1，c＝x， ∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，a?c2=6?x2，b?c3=?1?x3 若6?x2=2，得x＝2，?1?x3=?1?23=?1＜2，不符合 若?1?x3=2，得x＝﹣7，6?x2=6?(?7)2=132＞2，符合 ③a＝x，b＝6，c＝﹣1 ∴a﹣b＝x﹣6，a?c2=x+12，b?c3=73 若x﹣6＝2，得x＝8，x+12=92＞2，符合 若x+12=2，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合 綜上所述，x的值為﹣7或8． 20.（2022春?房山區(qū)期中）現(xiàn)將偶數(shù)個互不相等的有理數(shù)分成個數(shù)相同的兩排，需滿足第一排中的數(shù)越來越大，第二排中的數(shù)越來越?。纾庈帉ⅰ?，2，3，4”進行如下分組： 然后把每列兩個數(shù)的差的絕對值進行相加，定義為該分組方式的“M值”． 例如，以上分組方式的“M值”為M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4． （1）另寫出“1，2，3，4”的一種分組方式，并計算相應的“M值”； （2）將4個自然數(shù)“a，6，7，8”按照題目要求分為兩排，使其“M值”為6，則a的值為 　 ?。?（3）已知有理數(shù)c，d滿足c+d＝2，且c＜d．將6個有理數(shù)“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照題目要求分為兩排，使其“M值”為18，求d的值． 【思路點撥】 （1）按要求分組，利用分組方式的“M值”的意義計算即可； （2）利用分類討論的方法，分0＜a＜6和a＞8兩種情況解答，按要求分組，利用分組方式的“M值”的意義計算即可； （3）利用分類討論的方法，分c＜﹣5，﹣5＜c＜﹣2，﹣2＜c＜1，1＜d＜2四種情況解答，按要求分組，利用分組方式的“M值”的意義計算即可． 【解題過程】 解：（1）將“1，2，3，4”進行如下分組： ∴以上分組方式的“M值”為：M＝|1﹣4|+|3﹣2|＝4； （2）①當0＜a＜6時， 將4個自然數(shù)“a，6，7，8”按照題目要求進行如下分組： ∵以上分組方式的“M值”為6， ∴|a﹣8|+|7﹣6|＝6． ∴a＝3； ②當a＜8時， 將4個自然數(shù)“a，6，7，8”按照題目要求進行如下分組： ∵以上分組方式的“M值”為6， ∴|a﹣6|+|7﹣8|＝6． ∴a＝11； 綜上，a＝3或11． 故答案為：3或11； （3）∵c+d＝2，且c＜d， ∴c＝2﹣d，c＜1，d＞1． ①當c＜﹣5時，則d＞7， 將6個有理數(shù)“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照題目要求進行如下分組： ∵以上分組方式的“M值”為18， ∴|2﹣d﹣d|+|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|＝18． 解得：d=72（不合題意，舍去）． ②當﹣5＜c＜﹣2時，則4＜d＜7， 將6個有理數(shù)“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照題目要求進行如下分組： ∵以上分組方式的“M值”為18， ∴|﹣5﹣d|+|2﹣d﹣4|+|﹣2﹣2|＝18． ∴d=72（不合題意，舍去）． ③當﹣2＜c＜1時，則1＜d＜4， 將6個有理數(shù)“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照題目要求進行如下分組： ∵以上分組方式的“M值”為18， ∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣d|+|2﹣d﹣2|＝18． ∴d=72（符合題意）． ④當1＜d＜2時， ∵以上分組方式的“M值”為18， ∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|+|2﹣d﹣d|＝18． ∴d=72（不合題意，舍去）． 綜上分析可得：d=72． 　　第一列　第二列　第一排　1　2　第二排4　　3

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