知識(shí)點(diǎn)01 根的判別式
根的判別式：
用配方法解一元二次方程，可將方程化成 。由配方法解方程可知，根據(jù)與0的大小關(guān)系可以確定方程的根的情況。確定與0的大小關(guān)系只需要確定 與0的大小關(guān)系。我們把 叫做一元二次方程的根的判別式。用符號(hào)來(lái)表示。
①若 。
②若 。
③若 。
題型考點(diǎn)：①計(jì)算根的判別式的值判斷方程的根的情況。②根據(jù)方程的根的情況求值
【即學(xué)即練1】
1．一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．無(wú)實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【即學(xué)即練2】
2．已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3
知識(shí)點(diǎn)02 利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。 。我們把它叫做一元二次方程的求根公式。
①時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。即 ； 。
②時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。即 。
③時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
公式法解一元二次方程的步驟：
①將一元二次方程化成 ，并確定 的值。
②計(jì)算 的值，確定一元二次方程的根的情況。
③根據(jù)根的情況把的值帶入相應(yīng)的求根公式求解。
題型考點(diǎn)：①根據(jù)求根公式確定的值。②利用公式法解一元二次方程。
【即學(xué)即練1】
3．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0時(shí)，Δ＝（ ）
A．﹣43B．﹣28C．45D．60
【即學(xué)即練2】
4．下列方程中，以x＝為根的是（ ）
A．x2﹣5x﹣c＝0B．x2+5x﹣c＝0C．x2﹣5x+4c＝0D．x2+5x+c＝0
【即學(xué)即練3】
5．利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的兩解為a、b，且a＞b，求a值為何（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練4】
用公式法解方程：
（1）：x2+2x﹣6＝0．
（2）：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．
知識(shí)點(diǎn)03 根與系數(shù)的關(guān)系
根與系數(shù)的關(guān)系：
由公式法可知，若一元二次方程的時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別是
與 。
①求 。
②求 。
根與系數(shù)的關(guān)系的推廣應(yīng)用：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ 。
題型考點(diǎn)：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求式子的值。
【即學(xué)即練1】
7．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，則（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
【即學(xué)即練2】
8．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，則x1x2﹣x1﹣x2的值為（ ）
A．22B．﹣22C．﹣26D．26
【即學(xué)即練3】
9．已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩根分別為a，b，則的值為（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【即學(xué)即練4】
23．關(guān)于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是x1、x2，且，則m值是（ ）
A．B．C．D．
題型01 根據(jù)一元二次方程的根的情況求值
【典例1】
若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
變式1：
若關(guān)于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m＝（ ）
A．m＜B．m＜且m≠﹣1C．m≤D．m≤且m≠﹣1
變式2：
對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b＝b2﹣ab，例如：3?2＝22﹣3×2＝﹣2，則關(guān)于x的方程（k﹣3）?x＝k﹣1的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定
題型02 根與系數(shù)的關(guān)系
【典例1】
方程x2﹣2x﹣1＝0的根為x1x2，則x1x2﹣（x1+x2）的值為（ ）
A．B．1C．﹣3D．
【典例2】
已知m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的兩根，則的值是（ ）
A．B．3C．﹣3D．
【典例3】
若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式﹣2x1+x2的值等于（ ）
A．2029B．2028C．2027D．2026
【典例4】
已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩根，則的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．﹣1
題型03 根的情況與根與系數(shù)的關(guān)系
【典例1】
已知關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍．
（2）若兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1，x2，且，求m的值．
【典例2】
已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
1．一元二次方程x2+2＝2x根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
2．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一個(gè)根是x＝1，則方程x2+6x﹣c＝0的根的情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．有一個(gè)根是x＝1
3．關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
4．若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的一個(gè)根是m（m≠0），則b+＝（ ）
A．mB．﹣mC．2mD．﹣2m
5．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若a﹣b+c＝0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根
B．當(dāng)b＝0且方程存在實(shí)數(shù)根時(shí)，兩根一定互為相反數(shù)
C．若ac＜0，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．若b＝2a+c，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
6．如果4是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣b+2023的值是（ ）
A．2023B．2021C．2026D．2027
8．用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是 ．
9．下面是小明同學(xué)解方程x2﹣5x＝﹣4的過(guò)程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x＝，（第三步）．
∴x1＝，x2＝（第四步）．
小明是從第 步開(kāi)始出錯(cuò)．
10．如果代數(shù)式x2+x+2與5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
11．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．
（1）求證：無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β滿(mǎn)足α2+β2＝9，求m的值．
12．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且+＝﹣，求m的值．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①根的判別式
②公式法解一元二次方程
③根與系數(shù)的關(guān)系
學(xué)會(huì)利用根的判別式判斷根的情況，同時(shí)根據(jù)根的情況利用根的判別式求值。
掌握公式法解一元二次方程。
掌握根與系數(shù)的關(guān)系。

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21.2.2 公式法

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