（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
復(fù)習(xí)整理一元二次方程的相應(yīng)的基礎(chǔ)知識
利用基礎(chǔ)知識解決一些實際問題
3.培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力
（二）學(xué)習(xí)重難點：
學(xué)習(xí)重點：一元二次方程的概念及一般形式
學(xué)習(xí)難點：把方程化為一般形式
基礎(chǔ)梳理
閱讀課本，識記知識：
1.求根公式的定義：一般地，對于一元二次方程，當(dāng)時，一元二次方程的根是，這個式子稱作一元二次方程的求根公式。
2.求根公式的推導(dǎo)：
一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程實際就是用配方法解一元二次方程，
兩邊同除以，得：
移項得：；
方程兩邊同時加上；
得：；
化簡得：；
因為；
所以當(dāng)時，
可得：
；
3.用公式法解一元二次方程的步驟：
（1）先將方程化為一般形式：，確定的值；
（2）計算：的值，從而確定原方程是否有實數(shù)根；
（3）若，則把以及的值代入求根公式，求出；若，則方程沒有實數(shù)根。
典例探究
例1．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根D．無法確定
【答案】B
【分析】化成一般形式，計算方程根的判別式，根據(jù)計算屬性判斷即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選B．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；，方程有兩個相等的實數(shù)根；，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
例2．配方法是解一元二次方程的一種基本方法，其本質(zhì)是將一元二次方程由一般式化為的形式，然后利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想B．函數(shù)思想C．轉(zhuǎn)化思想D．公理化思想
【答案】C
【分析】先把一般式化為，然后兩邊開方，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而解一元一次方程得到一元二次方程的解．
【詳解】解：利用配方法把一般式化為，再利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
故選：C．
【點睛】本題考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的過程實際上把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的過程．
達(dá)標(biāo)測試
選擇題
1．若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是確定a、b、c的值，再求出判別式的結(jié)果.
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，
∴且，
且，
∴整數(shù)a的最大值為0．
故選：B．
2．下列方程中，有實數(shù)根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查方程有無實數(shù)根的判斷，熟練掌握二次根式和實數(shù)的偶次方的非負(fù)性、分式方程的求解與檢驗、一元二次方程判別式的求法及應(yīng)用是解題關(guān)鍵 ．根據(jù)二次根式和偶次方的非負(fù)性可對A、D作出判斷，根據(jù)分式方程的求解可對D作出判斷，計算一元二次方程判別式的值可對B作出判斷．
【詳解】∵,
∴，
∵，矛盾，
故A沒有實數(shù)根；
∵,
∴，
∵，
故B沒有實數(shù)根；
∵，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗，時原方程的根，
故C有實數(shù)根；
∵,
∴，
∵，矛盾，
故D沒有實數(shù)根；
故選：C．
3．關(guān)于x的一元二次方程，則下列說法正確的是（ ）
A．沒有實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根D．有一個實數(shù)根
【答案】B
【分析】本題主要考查一元二次方程的運用，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解，掌握，方程有兩個不相等的實根；，方程有兩個相等的實根；，方程無實根，是解題的關(guān)鍵
【詳解】解：已知，
∴，即，
∴，
∴方程有兩個相等的實根，
∴選項不符合題意，
故選：
4．已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．且B．C．D．且
【答案】C
【分析】本題考查了根的判別式，根據(jù)條件分兩種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，分別求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時，
解得：，且，
當(dāng)時，即，方程為，解得：，
綜上：實數(shù)k的取值范圍是，
故選：C．
5．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得：且，
故選：C．
6．關(guān)于的方程的根的情況判斷正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．無實數(shù)根D．有一個實數(shù)根
【答案】A
【分析】本題考查根的判別式．根據(jù)題意利用與0比較即可得到本題答案．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∵，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A．
7．若關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根知，據(jù)此得出的范圍，再結(jié)合一元二次方程的定義可得答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，
∴，
解得，，
又∵，
∴且
故選：B．
8．小馬在解關(guān)于x的一元二次方程時，他一馬虎把常數(shù)項c的值抄成了c的相反數(shù)，解出兩個相等的實數(shù)根，那么原方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根D．有一個根是
【答案】C
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，相反數(shù)的定義，根據(jù)題意得有兩個相等的實數(shù)根得出，進(jìn)而求出c的值，代入原方程，再利用根的判別式即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
∴原方程為，
此時，
∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：C．
9．若一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的定義、根的判別式與根的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
由一元二次方程，則；再根據(jù)方程有實數(shù)根，則根的判別式大于等于零，據(jù)此列不等式求解即可；
【詳解】解：∵一元二次方程有實數(shù)根，
∴且，解得：且．
故選C．
10．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，根據(jù)一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根，得到，然后解不等式即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
解得，
，
m的取值范圍是且．
故選：D．
填空題
11．用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各項系數(shù)的值，即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意及求根公式，
得，，，
該一元二次方程為，
故答案為：．
12．若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查了一元二次方程為常數(shù)的根的判別式．當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．
【詳解】解：，即，
∵有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，解得且，
故答案為：且．
13．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實根，則m的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解關(guān)于的方程即可．
【詳解】解：有兩個相等的實數(shù)根，
，
解得．
故答案為：．
14．已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義．直接利用一元二次方程根的判別式、一元二次方程的定義求解即可得．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
，
解得且．
故答案為：且．
15．如圖，已知等邊，，以為邊作正方形（點A、C、D、E按逆時針方向排列），和的延長線相交于F，點P從點B出發(fā)沿向點F運動，到達(dá)點F時停止，點Q在線段和上運動，且始終滿足垂直于正方形的邊長，連接，，，當(dāng)時，的面積是 .

【答案】或
【分析】分類討論：①當(dāng)點P在上運動，點Q在上運動時，②當(dāng)點P在上運動，點Q在上運動時，根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理分別表示出、的值，再根據(jù)，列方程求解，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)點P在上運動，點Q在上運動時，如圖，延長交于點G，
∵是等邊三角形，，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵四邊形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，

②當(dāng)點P在上運動，點Q在上運動時，延長交于點H，
∵是等邊三角形，四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
∵四邊形是正方形，
∴， ，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，
故答案為：或．

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及矩形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
16．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式大于0求解即可得．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴這個方程根的判別式，
整理得，
解得，
所以的取值范圍為．
17．已知關(guān)于x的方程
(1)若此方程的一根是1，求另一個根及m的值．
(2)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【答案】(1)另一個根為3，m的值為2
(2)見解析
【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程根的判別式等知識點：
（1）把代入方程，即可求出m的值，然后解方程即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的判別式，判斷根的情況即可．
【詳解】（1）解：將代入，
得：，
解得，
原方程為，
即，
解得，，
另一個根為3，m的值為2．
（2）解：，
，
，
方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
18．關(guān)于的一元二次方程有兩個不等實根．若方程的一個根是，求的值及另一個根．
【答案】的值為，另一根為
【分析】本題主要考查的是一元二次方程中根的判別式、方程的解，先根據(jù)方程根的情況確定，求出的取值范圍，然后把方程的根代入求出的值，代入求出另一根是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不等實根，
∴，即，
解得：，
把代入方程得，
解得：，
當(dāng)時，方程為，
解得，．
∴的值為，另一根為．
自學(xué)反思
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖

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