第二十一章  一元二次方程21.2  解一元二次方程21.2.2  公式法一、    教學(xué)目標(biāo)理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；會利用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，并養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣；通過運(yùn)用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程，提高學(xué)生運(yùn)算能力，并能在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn)，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：求根公式的運(yùn)用.難點(diǎn)：一元二次方程求根公式的推導(dǎo).三、教學(xué)用具多媒體課件四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖教學(xué)目標(biāo)1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；2.會利用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；3.經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，并養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣；4.通過運(yùn)用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程，提高學(xué)生運(yùn)算能力，并能在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn)，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.熟悉教學(xué)目標(biāo).通過學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生熟悉本節(jié)課要講解的內(nèi)容.環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境【回顧】問題：上節(jié)課學(xué)習(xí)了用什么方法解一元二次方程？它的具體步驟是什么？ 請用配方法解下列方程：(1) (2)  解（1）：， 解(2) 因?yàn)榉匠?/span>右邊是一個負(fù)數(shù)，所以此方程無實(shí)數(shù)解. 師訂正，鞏固配方法解方程步驟的同時，對錯題學(xué)生做記錄，并課下練習(xí)鞏固.預(yù)設(shè)生答：配方法，步驟是：①常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，含未知數(shù)的移到左邊；②將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④方程左邊配成完全平方式；⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解. 通過回顧之前學(xué)習(xí)的知識，并借助學(xué)生利用配方法解題，喚醒記憶，為講解公式法的推導(dǎo)作鋪墊，助于對新知的引入和學(xué)習(xí).環(huán)節(jié)二 探究新知【探究】問題：任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式，那么能否用配方法得出上式的解呢？ （推導(dǎo)過程對學(xué)生有難度，師適度鼓勵并板書演示推導(dǎo)細(xì)節(jié)等） 根據(jù)配方法解一元二次方程的經(jīng)驗(yàn)來解決這個問題：對一元二次方程一般式的常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)，得，因?yàn)?/span>，所以方程兩邊同時除以a，得.然后方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，也就是，式子化為，左邊是完全平方，右邊通分，式子化為.學(xué)生觀察、思考并動筆嘗試逐步求解，由于過程要求比較高，對于探究不完善的學(xué)生在看完師板演后，需完善探究過程.     讓學(xué)生自己動手通過對配方法并求解，在加深認(rèn)識求根公式的同時，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)能力，并通過板書演示引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣.【分類探究】因?yàn)?/span>，所以，式子的值有三種情況. 問題1：當(dāng)，和 時，的值分別與零有怎樣的關(guān)系？這里. 師表揚(yáng)并總結(jié)：當(dāng)時，因?yàn)?/span>，所以，從而；當(dāng)時，因?yàn)?/span>，所以，從而，也就是說是否大于0決定了式子右側(cè)整體的值是否大于0.  問題2：能得出什么結(jié)論？ 師表揚(yáng)并總結(jié)：一般地，式子叫做方程根的判別式，通常用希臘字母“”表示它，即. 通過上面的研究，我們知道，當(dāng)時，方程的實(shí)數(shù)根可以寫為的形式，這個式子也叫一元二次方程的求根公式.通過這個公式，也可以看出方程的根是由方程的系數(shù)a、b、c所確定的，利用這個公式，我們根據(jù)一元二次方程中的系數(shù)便可以直接求得方程的解，這種解法叫做公式法.學(xué)生小組合作交流，然后回答.生1：當(dāng)時，；生2：當(dāng)時，；生3：當(dāng)時，. 生1：從上述過程中，當(dāng)時，＜0，小于零時，方程無實(shí)數(shù)解.生2：當(dāng)時，一般形式的一元二次方程的根為，即，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；生3：當(dāng)時，一般形式的一元二次方程的根為，即，方程只有1個實(shí)數(shù)根.通過交流討論之后回答，讓學(xué)生理解分類討論的數(shù)學(xué)思想，并理解和根的關(guān)系.        環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知【典型例題】用公式法解下列方程(1)    (2)    (3)    (4)     解（1）＞0.方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根  即，. （2）方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根： （3）方程化為一般式方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根：即 （4）方程化為一般式方程無實(shí)數(shù)根. 教師可以找4名學(xué)生板演，對于易錯點(diǎn)和難點(diǎn)加以強(qiáng)調(diào)和糾正，有助于學(xué)生運(yùn)算正確及推導(dǎo)公式，并且適當(dāng)鼓勵學(xué)生養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣和建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心. 【總結(jié)】提問：公式法解一元二次方程的步驟？（師表揚(yáng)并總結(jié)）：1.把方程整理成一般形式，從而確定a、b、c；
2.帶入判別式并與0比較. 當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，；當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，.
3.在的情況下，把a、b、c的值帶入公式計(jì)算，最后寫出方程的根. 提問：公式法的優(yōu)點(diǎn)是什么？（師總結(jié)操作簡單、直接計(jì)算，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的記過，省去了配方的中間過程.公式法運(yùn)用了抽象的一般形式具有廣泛的應(yīng)用價值.）學(xué)生按步驟獨(dú)立作答后，組內(nèi)討論交流.               生1：1.把方程整理成一般形式，從而確定a、b、c；2.帶入公式判斷判別式與0的關(guān)系；3.當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；在的情況下，把a、b、c的值帶入公式計(jì)算，求出方程的解.          生1：比較好操作，直接帶入即可.生2：好像所有的都行，應(yīng)用比較廣泛.生3：… 通過例1鞏固公式法解題步驟，并讓學(xué)生感受抽象的一般形式具有廣泛的應(yīng)用價值，一元二次方程的一般形式代表了所有的一元二次方程，因此它的求根公式適用于所有的一元二次方程.通過總結(jié)讓學(xué)生初步理解公式法解題步驟，為下一步例題講解做鋪墊.環(huán)節(jié)四 鞏固新知鞏固練習(xí)：一元二次方程的求根公式是_______________，條件是____________.答案：，利用判別式判斷下列方程的根的情況：(1) (2) 答案：（1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根. （2）方程化為一般式方程無實(shí)數(shù)根.解方程.(1) (2) (3) (4) 解（1）方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：(2) 方程無實(shí)數(shù)根. (3) 方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根：即 （4）方程化為一般式方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根：即 教師可以找學(xué)生板演，對于易錯點(diǎn)和難點(diǎn)加以強(qiáng)調(diào)和糾正，有助于學(xué)生運(yùn)算正確及推導(dǎo)公式，并且適當(dāng)鼓勵學(xué)生養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣和建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.學(xué)生自主練習(xí) 進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容. 了解學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用知識解決問題的過程，給學(xué)生獲得成功體驗(yàn)的空間. 環(huán)節(jié)五 課堂小結(jié)提問：本節(jié)課你學(xué)到了解一元二次方程的哪些知識？ 思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容： 生1；學(xué)習(xí)了公式法求一元二次方程.生2：學(xué)習(xí)了公式法的求解步驟.生3：……    通過提問讓學(xué)生回顧、總結(jié)公式法解一元二次方程的知識，并幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.環(huán)節(jié)六布置作業(yè)教科書第12頁練習(xí)第1-2題；第17頁習(xí)題21.2第4-5題.    

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21.2.2 公式法

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