知識(shí)點(diǎn)01 二次函數(shù)的三種形式
二次函數(shù)的三種形式：
一般式：
有定義可知，二次函數(shù)的一般式為 。
頂點(diǎn)式：
能直接看出二次函數(shù)的頂點(diǎn)的函數(shù)解析式叫二次函數(shù)的頂點(diǎn)式。即 。由頂點(diǎn)式可知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 。
兩點(diǎn)式（交點(diǎn)式）：
能直接得到二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的二次函數(shù)解析式是二次函數(shù)的兩點(diǎn)式，又叫做二次函數(shù)的交點(diǎn)式。即 。此時(shí)二次函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 與 。二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 。
二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：
利用配方法將一般形式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：過程如下：


題型考點(diǎn)：①二次函數(shù)的形式轉(zhuǎn)換。
【即學(xué)即練1】
1．將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正確的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+4
【即學(xué)即練2】
2．將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+7化為y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值為 ．
【即學(xué)即練3】
3. 把拋物線y＝（x﹣1）2+1化成一般式是 ．
【即學(xué)即練4】
4．把y＝（2﹣3x）（6+x）變成y＝ax2+bx+c的形式，二次項(xiàng) ，一次項(xiàng)系數(shù)為 ，常數(shù)項(xiàng)為 ．
【即學(xué)即練5】
5．對(duì)于二次函數(shù)y＝4（x+1）（x﹣3）下列說法正確的是（ ）
A．圖象開口向下
B．與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小
D．圖象的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1
知識(shí)點(diǎn)02 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一般式）
二次函數(shù)的一般式的圖像與性質(zhì)：
把二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式可知一般式的性質(zhì)如下：
題型考點(diǎn)：①二次函數(shù)的性質(zhì)。
【即學(xué)即練1】
6．二次函數(shù)y＝x2﹣2x+5圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【即學(xué)即練2】
7．關(guān)于拋物線y＝x2﹣2x+1，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開口向上
B．與x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn)
C．對(duì)稱軸是直線x＝1
D．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小
【即學(xué)即練3】
8．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表，從下表可知：
下列說法：①拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），②函數(shù)的最大值為6，③拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝，④在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【即學(xué)即練4】
9．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的開口向下
B．當(dāng)x＞﹣3時(shí)，y隨x的增大而增大
C．二次函數(shù)的最小值是﹣2
D．拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣
知識(shí)點(diǎn)03 二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)的開口方向：
二次函數(shù)的開口方向由 決定，，開口向 ，，開口向 。
二次函數(shù)的對(duì)稱軸：
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 。若同號(hào)，則小于0，二次函數(shù)的對(duì)稱軸在軸的 ；若異號(hào)，則大于0，二次函數(shù)的對(duì)稱軸在軸的 。簡(jiǎn)稱左同右異。
①若二次函數(shù)的對(duì)稱軸=1，則 。
②若二次函數(shù)的對(duì)稱軸=﹣1，則 。
二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)：
二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 。
二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)與一元二次方程）：
與軸有兩個(gè)交點(diǎn)有2個(gè) 的實(shí)數(shù)根根的判別式 0。
與軸有 個(gè)交點(diǎn)有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根根的判別式 0。
與軸沒有交點(diǎn) 實(shí)數(shù)根根的判別式 0。
題型考點(diǎn)：①二次函數(shù)的圖像。②二次函數(shù)與一元二次方程。
【即學(xué)即練1】
10．已知一次函數(shù)y＝x+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【即學(xué)即練2】
11．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，則它的圖象可能是圖所示的（ ）
A．B．
C．D．
【即學(xué)即練3】
12．若方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是﹣3和1，那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸是直線（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x＝1
【即學(xué)即練4】
33．若y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的另一個(gè)解為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
題型01 二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式
【典例1】
將二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣4化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，正確的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x+2）2﹣8C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2﹣8
變式1：
用配方法將二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣9化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25D．y＝（x+4）2﹣25
變式2：
把函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式，則h+k＝ ．
題型02 函數(shù)的圖像
【典例1】
如圖是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，則二次函數(shù)y＝kx2+bx+2的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】
函數(shù)y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】
函數(shù)y＝ax2+bx+c和y＝ax+b在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】
如圖所示各圖是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y＝ax2+（a+c）x+c與一次函數(shù)y＝ax+c的大致圖象．正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型03 二次函數(shù)的對(duì)稱軸
【典例1】
拋物線y＝x2+4x+4的對(duì)稱軸是（ ）
A．直線x＝4B．直線x＝﹣4C．直線x＝2D．直線x＝﹣2
【典例2】
下列拋物線中，與拋物線y＝x2﹣2x+4具有相同對(duì)稱軸的是（ ）
A．y＝4x2+2x+1B．y＝x2﹣4xC．y＝2x2﹣x+4D．y＝﹣2x2+4x
題型04 二次函數(shù)的最值
【典例1】
二次函數(shù)y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣10C．﹣6D．6
【典例2】
二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【典例3】
當(dāng)y＝x2﹣6x﹣3的值最小時(shí)，x的取值是（ ）
A．0B．﹣3C．3D．﹣9
【典例4】
已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y(tǒng)4，則y1，y2，y3中最值情況是（ ）
A．y1最小，y3最大B．y2最小，y1最大
C．y2最小，y3最大D．無法判斷
【典例5】
已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（ ）
A．1B．C．或﹣8D．1或﹣8
【典例6】
二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a(chǎn)≤0
【典例7】
若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值為m，最大值為n，則m+n＝（ ）
A．﹣14B．﹣6C．﹣8D．2
題型05 二次函數(shù)的函數(shù)值比較
【典例1】
若點(diǎn)M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（5，y3）在拋物線y＝x2﹣2x上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【典例2】
設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝3（x+1）2+4m（m為常數(shù)）上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【典例3】
已知拋物線y＝mx2﹣4mx過點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y3），其中y2＝﹣4m，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，則y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，則y2≥y3≥y1
C．若y1＜y3≤y2，則|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＜y3≤y2，則|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
【典例4】
已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝（x+3）2﹣4的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，且x1+8＝﹣x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y(tǒng)2D．y1+8＝﹣y2
【典例5】
已知拋物線y＝x2+4x+3上兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x2﹣x1＝2，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若x1＜﹣1時(shí)，則y1＞0＞y2
B．若x1＜﹣1時(shí)，則0＞y1＞y2
C．若﹣1＜x1＜1時(shí)，則y1＞0＞y2
D．若﹣1＜x1＜1時(shí)，則y2＞y1＞0
題型06 二次函數(shù)的綜合
【典例1】
已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝1，有下列結(jié)論：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大．其中正確的有（ ）
典例1 典例2
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【典例2】
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m為任意實(shí)數(shù)，則a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若且x1≠x2，則x1+x2＝4，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【典例3】
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，有如下結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正確的有（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【典例4】
在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)給出以下結(jié)論①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；⑤4ac﹣b2＜0．其中錯(cuò)誤結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【典例5】
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)于下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，總有a+b≥am2+bm；其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

1．將拋物線y＝3x2先向右平移2個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6D．y＝3（x+2）2﹣6
2．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+4，則下列說法正確的是（ ）
A．該函數(shù)的圖象開口向上
B．該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）
C．當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值為5
D．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大
3．若拋物線y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q兩點(diǎn)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣4，0）
4．設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝3（x+1）2+4m（m為常數(shù)）上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
5．已知拋物線y＝x2﹣4mx+m，當(dāng)﹣2＜x＜1 時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，則此拋物線的頂點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
6．已知點(diǎn)A（a，b）在二次函數(shù)y＝﹣x2+8的圖象上，則2a﹣b的最小值為（ ）
A．﹣8B．8C．﹣9D．9
7．二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（ ）
A．若y1y2＞0，則y3y4＞0B．若y1y4＞0，則y2y3＞0
C．若y2y4＜0，則y1y3＜0D．若y3y4＜0，則y1y2＜0
8．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝1，有下列結(jié)論：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大．其中正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
9．已知拋物線y＝x2﹣a（a+2）x+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則a＝ ．
10．已知點(diǎn)A（2，5），B（4，5）是拋物線y＝4x2+bx+c上的兩點(diǎn)，則這條拋物線的對(duì)稱軸為直線 ．
11．函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，則實(shí)數(shù)a的值是 ．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），過點(diǎn)A作AA1∥x軸交拋物線于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作A1A2∥OA交拋物線于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作A2A3∥x軸交拋物線于點(diǎn)A3，過點(diǎn)A3作A3A4∥OA交拋物線于點(diǎn)A4…，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為 ．
13．二次函數(shù)y＝x2﹣bx+c的圖象經(jīng)過（﹣2，y1），（1，y2）兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)b＝1時(shí)，判斷y1與y2的大?。?br>（2）當(dāng)y1＜y2時(shí)，求b的取值范圍．
（3）若此函數(shù)圖象還經(jīng)過點(diǎn)（m，y1），且1＜b＜2，求證：3＜m＜4．
14．已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，n），B（2，n）兩點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；
（3）若方程x2+bx+c＝0的兩實(shí)根x1，x2滿足3≤x2﹣x1＜9，且p＝x12﹣3x22，求p的最大值．
15．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（6，7），其對(duì)稱軸為直線x＝2．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值y的取值范圍．
（3）當(dāng)﹣2≤x≤k時(shí)，函數(shù)值y先隨x的增大而減小，后隨x的增大而增大，且y的最大值為7，則k的取值范圍是 ．
（4）已知A、B兩點(diǎn)均在拋物線y＝x2+bx+c上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m+2．將拋物線上A、B兩點(diǎn)之間（含A、B兩點(diǎn)）的圖象記為M，當(dāng)圖象M的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2時(shí)，求m的值．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①二次函數(shù)的三種形式
②二次函數(shù)的一般式的圖像與性質(zhì)
掌握二次函數(shù)的三種形式并能夠熟練的進(jìn)行三種形式之間的轉(zhuǎn)化。
根據(jù)頂點(diǎn)式從而掌握二次函數(shù)一般式的形式與圖像。
解決相關(guān)的題型題目。
開口方向
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對(duì)稱軸
增減性
對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而 。
對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而 。
對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而 。
對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而 。
最值
函數(shù)軸最 值
這個(gè)值是 。
函數(shù)軸最 值
這個(gè)值是 。
與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)


x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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