第02講 解一元二次方程——直接開方與配方法 知識點01 直接開方法解一元二次方程 直接開方法求的一元二次方程： 由平方根的定義可知： ①時，一元二次方程有 個 的實數(shù)根，分別是 或 。他們互為 。 ②當(dāng)時，一元二次方程有 個 的實數(shù)根，即 。 ③當(dāng)時，一元二次方程 實數(shù)根。 直接開方法解的一元二次方程： 同樣由平方根的定義可知： ①當(dāng)時，一元二次方程有 個 的實數(shù)根。方程開方降次得到一元一次方程或。所以它的兩個實數(shù)根分別是 或 。 ②當(dāng)時，一元二次方程有 個 的實數(shù)根。方程開方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的兩個實數(shù)根為 。 ③當(dāng)時，一元二次方程 實數(shù)根。 題型考點：①利用直接開方法解方程。 ②根據(jù)根的情況求字母的值或取值范圍。 【即學(xué)即練1】 方程x2＝1的根是（　?。?A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2 2．方程（x+6）2﹣9＝0的兩個根是（　　） A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9 3．解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【即學(xué)即練2】 4．關(guān)于x的一元二次方程x2＝a的兩個根分別是2m﹣1與m﹣5，則m＝　 ?。?【即學(xué)即練3】 5．若關(guān)于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有實數(shù)根，則b的取值范圍是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 6．如果關(guān)于x的方程（x﹣1）2＝m沒有實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是 　 ?。? 知識點02 配方法解一元二次方程 配方法的定義： 將一元二次方程化成的形式在利用直接開方法解一元二次方程的方法。 配方法解一元二次方程的具體步驟： ①將方程化成 。 ②將 系數(shù)化為 。方程的左右兩邊同時除以 或乘以二次項系數(shù)的 。且將 移到等號的右邊。 ③方程的左右兩邊同時加上 。 ④把方程的左邊寫成 ，右邊是一個常數(shù)。 ⑤根據(jù)直接開方法解方程。 題型考點：①判斷完全平方式及根據(jù)完全平方式求值。 ②利用配方法解一元二次方程。 【即學(xué)即練1】 7．下列式子中是完全平方式的是（　　） A．a(chǎn)2+2ab+b2 B．a(chǎn)2+2a+2 C．a(chǎn)2﹣2b+b2 D．a(chǎn)2+2ab+1 8．若多項式x2+kx+16是一個完全平方式，則k的值應(yīng)是（　　） A．4或﹣4 B．8 C．﹣8 D．8或﹣8 9．若多項式4x2﹣（k﹣1）x+9是一個完全平方式，則k的值是（　?。?A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．±11 【即學(xué)即練2】 10．用配方法解方程x2+6x+8＝0時，配方后得到方程是（　　） A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9 11．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5時，此方程可變形為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（　?。?A．3 B．﹣1 C．11 D．7 12．以下是圓圓在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過程： 解：移項得：x2﹣2x＝4 配方：x2﹣2x+1＝4 （x﹣1）2＝4 開平方得：x﹣1＝±2 移項：x＝±2+1 所以：x1＝3，x2＝3 圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程． 13．用配方法解下列關(guān)于x的方程： （1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0． 知識點03 配方法求二次三項式的最值 配方法求二次三項式的最值： 利用配方法將二次三項式化成的形式判斷二次三項式的最值為。若，則為二次三項式的 ；若，則為二次三項式的 。 具體步驟： ①提公因式，即提 。 ②配方，在一次項系數(shù)后面加上 ，為了式子的值不發(fā)生變化，在減去 。 ③將式子寫成 的形式。注意拿到括號外的常數(shù)項一定要先乘以再拿出來。 題型考點：①利用配方法求二次三項式的最值。 ②比較式子的大小關(guān)系。 【即學(xué)即練1】 14．已知x是實數(shù)，則多項式x2+4x+5的最小值為（　?。?A．4 B．3 C．2 D．1 15．將代數(shù)式x2﹣10x+5配方后，發(fā)現(xiàn)它的最小值為（　　） A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0 【即學(xué)即練2】 16．已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，則m和n的大小關(guān)系中正確的是（　?。?A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 題型01 直接開方法求一元二次方程 【典例1】 解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 【典例2】 解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2． 題型02 根據(jù)完全平方式的特點求值 【典例1】 已知x2﹣mx+25是完全平方式，則常數(shù)m的值為（　?。?A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20 變式1： 若多項式x2+（a﹣1）x+9是一個完全平方式，則a的值為（　?。?A．3 B．7或﹣5 C．﹣5 D．﹣7或5 題型03 配方法解一元二次方程 【典例1】 用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，正確的是（　?。?A．（x﹣1）2＝3 B．（x+1）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7 【典例2】 利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0時，將方程配方為（x﹣m）2＝n，則m、n的值分別為（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 【典例3】 用配方法解下列方程： x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2+8x﹣9＝0； （3）2t2﹣7t﹣4＝0； （4）2x2+3＝7x． 題型04 配方法的應(yīng)用 【典例1】 不論x，y取什么實數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　?。?A．不小于2 B．不小于7 C．為任何實數(shù) D．可能為負(fù)數(shù) 變式1： 多項式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值為 　 ?。?【典例2】 m、n為正整數(shù)，m2+n2+1＝2m+2n，則m+n的值為（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例3】 若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，則A、B的大小關(guān)系為（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C． D．x1＝3，x2＝﹣3 2．如果x＝﹣3是方程x2﹣m＝0的一個根，那么m的值是（　　） A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3 3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0時，原方程應(yīng)變形為（　?。?A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝2 4．一元二次方程x2+16＝8x可變形為（　　） A．（x+4）2＝4 B．（x+4）2＝0 C．（x﹣4）2＝0 D．（x﹣4）2＝4 5．把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2＝n的形式，則m+n＝（　?。?A．17 B．14 C．11 D．7 6．將代數(shù)式x2+4x﹣1化成（x+h）2+k的形式為（　?。?A．（x﹣2）2+3 B．（x+2）2+4 C．（x+2）2﹣1 D．（x+2）2﹣5 7．設(shè)M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，則M，N的大小關(guān)系是（　　） A．M＜N B．M≥N C．M＝N D．M≤N 8．將代數(shù)式x2﹣10x+5配方后，發(fā)現(xiàn)它的最小值為（　　） A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0 9．已知a、b滿足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，則x，y的大小關(guān)系是（　?。?A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．x≥y 10．如果多項式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019，則A的最小值是 　 ?。?11．小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，將它化成（x﹣p）2＝q的形式，則p+q的值為 　 　． 12．解下列方程： （1）3（x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①直接開方法解一元二次方程 ②配方法解一元二次方程 ③利用配方法求最值掌握直接開方法，利用直接開方法解一元二次方程 掌握配方法基本步驟，學(xué)會利用配方法解一元二次方程 學(xué)會利用一元二次方程的配方法求二次三項式的最值

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