一、單選題
1．如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=﹣ 4x 圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連結(jié)OA，則△ABO的面積為（ ）
A．16B．8C．4D．2
2．已知（－2，y1），（－1，y2），（1，y3）都在反比例函數(shù)上 y=1x 的圖象上.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．y3>y1>y2B．y1>y3>y2C．y1>y2>y3D．y3>y2>y1
3．已知點(diǎn)P（1，﹣3）在反比例函數(shù)y= kx （k≠0）的圖象上，則k的值是（ ）
A．3B．﹣3C．13D．﹣ 13
4．下列函數(shù)中，當(dāng) x>0 時，y隨x增大而減小的是（ ）
A．y=x2B．y=x?1C．y=34xD．y=?x2
5．已知拋物線 y=x2+2x?m?2 與x軸沒有交點(diǎn)，則函數(shù) y=mx 的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
6．一次函數(shù)y=ax+a（a為常數(shù)，a≠0）與反比例函數(shù)y= ax （a為常數(shù)，a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
7．A、B兩地相距120千米，一輛汽車從A地去B地，則其速度v（千米/時）與行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系可表示為 ；
8．已知反比例函數(shù)y=?6x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，a)，則a的值為 ．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，一次函數(shù)y＝﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn).正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在第一象限，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù) y=kx （k≠0）的圖象上.若正方形ABCD向左平移n個單位后，頂點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是 .
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為4，2，反比例函數(shù)y＝ kx (x＞0)的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，若菱形ABCD的面積為2 5 ，則k的值為 .
三、作圖題
11．已知反比例函數(shù) y=kx 的圖象與正比例函數(shù) y=2x 的圖象交于點(diǎn) (2,m) ，求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式，并在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出這兩個函數(shù)的圖象．
四、解答題
12．已知反比例函數(shù) y=m?5x 的圖象過點(diǎn)P（－1，3），求m的值和該反比例函數(shù)的表達(dá)式.
13．已知y是x的反比例函數(shù)，且x=8時，y=12．寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
14．公司員工甲去距離單位6千米的社區(qū)醫(yī)院接種新冠疫苗，去時騎自行車，在醫(yī)院等候和接種疫苗花了2小時，回來時發(fā)現(xiàn)時間可能來不及了，改乘汽車返回公司，已知其騎自行車的速度不超過 15km/? ，汽車的速度是騎自行速度的1.5倍，并且公司規(guī)定在離開之時算起2.5小時內(nèi)需返回公司.問甲能否規(guī)定時間內(nèi)及時返回公司？
15．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于 A ， B 兩點(diǎn)，與 y 軸的正半軸相交于點(diǎn) C ，與 x 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) D ， OB=5 ， tan∠DOB=12 ．
（1）求反比例的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 23 ，求 △AOC 的面積．
反比例函數(shù)的圖象特征：
反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，永遠(yuǎn)不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.
注意：（1）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，) 中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．
題型1：畫反比例函數(shù)圖像
1.分別畫出函數(shù)y＝和y＝的圖象．
【變式1-1】用描點(diǎn)法畫出反比例函數(shù)y＝和y＝﹣的圖象．
（1）列表：
x
…
…
y＝
…
…
y＝﹣
…
…
（2）在如圖坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并用光滑曲線順次連結(jié)各點(diǎn)．
【變式1-2】已知函數(shù)y＝（m﹣2）x是反比例函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）畫出函數(shù)的圖象．
題型2：判定點(diǎn)是否在反比例圖像上
2.反比例函數(shù)y＝（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，4），則下列各點(diǎn)也在這個函數(shù)圖象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（1，4）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）
【變式2-1】已知反比例函數(shù)y＝（k常數(shù)，k≠1）．
（1）若點(diǎn)A（1，﹣2）在這個函數(shù)的圖象上，求k的值；
（2）若k＝5，試判斷點(diǎn)B（﹣，﹣8）是否在這個函數(shù)的圖象上，并說明理由．
【變式2-2】反比例函數(shù)y＝的圖象過A（2，3）．
（1）求這個函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)（﹣1，m）在函數(shù)圖象上，求m值；
（3）判斷B（1，6）是否在函數(shù)圖象上？C（﹣2，3）呢？
反比例函數(shù)的性質(zhì)
（1）如圖1，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減小；
（2）如圖2，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；
注意：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.
題型3：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)-基礎(chǔ)
3.下列函數(shù)：①y＝﹣5x；②y＝3x﹣2；③y＝﹣（x＞0）；④y＝3x2（x＜0），其中y的值隨x的增大而增大的函數(shù)為 .（填序號）
【變式3-1】已知函數(shù)的圖象位于第二、第四象限，則k的取值范圍為 ．
【變式3-2】已知反比例函數(shù)y＝，分別根據(jù)下列條件求出字母k的取值范圍．
（1）函數(shù)的圖象位于一、三象限；
（2）在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
題型4：反比例函數(shù)與求字母的值
4.設(shè)y＝（2n+1）x
（1）當(dāng)n為何值時，y與x是正比例函數(shù)，且圖象經(jīng)過一、三象限；
（2）當(dāng)n為何值時，y與x是反比例函數(shù)，且在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而增大．
【變式4-1】已知反比例函數(shù)y＝（m﹣2）
（1）若它的圖象位于第一、三象限，求m的值；
（2）若它的圖象在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，求m的值．
【變式4-2】已知反比例函數(shù)y＝（m﹣2）．
（1）當(dāng)反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限時，求m的值？
（2）當(dāng)反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限時，求m的值？
題型5：反比例函值比較大小
5.已知點(diǎn)（4，y1），（6，y2），在反比例函數(shù)的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．無法判斷
【變式5-1】若點(diǎn)A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)的圖象上，則y1，y2，y3大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【變式5-2】點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若x1＜x2＜0＜x3，則y1，y2，y3大小關(guān)系是 （用“＜”連接）
題型6：反比例函數(shù)的變量取值范圍
6.已知y是x的反比例函數(shù)，且x＝3時，y＝8．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果自變量x的取值范圍為3≤x≤4．求y的取值范圍．
【變式6-1】若函數(shù)y＝（m﹣2）是y關(guān)于x的反比例函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）函數(shù)圖象在哪些象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而怎樣變化？
（3）當(dāng)﹣3≤x≤﹣時，求y的取值范圍．
【變式6-2】作出函數(shù)y＝的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）當(dāng)x＝﹣2時，求y的值；
（2）當(dāng)2＜y＜3時，求x的取值范圍；
（3）當(dāng)﹣4＜x＜﹣2時，求y的取值范圍．
【變式6-3】設(shè)函數(shù)y＝﹣．
（1）畫出函數(shù)的圖象；
（2）利用圖象求﹣3≤x≤﹣1時，函數(shù)值y的變化范圍；
（3）當(dāng)3≤x≤6時，函數(shù)的最大值和最小值各是多少？
反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)k的幾何意義
過雙曲線() 上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
過雙曲線() 上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.
注意：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.
題型7：反比例函數(shù)k的幾何意義
7.如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，AB⊥x軸于B，且△AOB的面積S△AOB＝2，則k的值為（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
【變式7-1】若圖中反比例函數(shù)的表達(dá)式均為，則陰影面積為2的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式7-2】如圖，點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對稱，S△AOB＝8，點(diǎn)A在雙曲線y＝上，求k的值．
題型8：反比例函數(shù)圖像的對稱性
8.正比例函數(shù)y＝2x和反比例函數(shù)的一個交點(diǎn)為（1，2），則另一個交點(diǎn)為（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）
【變式8-1】如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于AB、兩點(diǎn)，分別以AB、兩點(diǎn)為圓心，畫與x軸相切的兩個圓，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），則圖中兩個陰影部分面積的和是（ ）
A．B．C．πD．4π
【變式8-2】如圖，點(diǎn)P（﹣2a，a）是反比例函數(shù)y＝的圖象與⊙O的一個交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為10π，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
【變式8-3】邊長為4的正方形ABCD的對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB∥x軸，BC∥y軸，反比例函數(shù)y＝與y＝﹣的圖象均與正方形ABCD的邊相交，則圖中的陰影部分的面積是（ ）
A．2B．4C．8D．6
題型9：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像判斷
9.函數(shù)和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【變式9-1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax+b與（其中a，b是常數(shù)，ab≠0）的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【變式9-2】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx﹣k與y＝（k＜0）的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
題型10：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題
10.如圖，正比例函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象有一個交點(diǎn)為P（2，m）．
（1）求反比例函數(shù)y＝函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時，反比例函數(shù)y＝的y取值范圍．
【變式10-1】如圖，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝相交于A（1，2）、B（m，﹣1）兩點(diǎn)．
（1）求直線和雙曲線的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足關(guān)于x的不等式k1x+b＜的解集．
【變式10-2】已知反比例函數(shù)y1＝與一次函數(shù)y2＝2x+k（k是常數(shù)），它們的圖象有一個交點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2．
（1）求k的值．
（2）當(dāng)y1＜y2＜0時，求x的取值范圍．
題型11：反比例函數(shù)綜合-面積問題
11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+3與雙曲線y＝交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
（1）求k的值；
（2）求△OAB的面積；
（3）直接寫出關(guān)于x的不等式x+3的解集．
【變式11-1】如圖，一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0，m，n是常數(shù)）與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第二象限的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，a），B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，且OC＝OD＝3．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接OA，求△AOC的面積．
【變式11-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b（k1≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k2≠0）的圖象交于點(diǎn)A（a，2），B（﹣1，﹣8）．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）請根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式k1x+b≤的解；
（3）連接OA，OB，求△AOB的面積．
題型12：反比例函數(shù)與特殊四邊形綜合
12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的邊OC在x軸上，對角線AC，OB交于點(diǎn)M，點(diǎn)B（12，4）．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A，M兩點(diǎn)，求：
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）△AOM的面積；
（3）平行四邊形OABC的周長．
【變式12-1】如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B（a，b）在第一象限，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)的圖象與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，且BE＝2CE．
（1）求證：BD＝2AD；
（2）若四邊形ODBE的面積是6，求k的值．
【變式12-2】如圖，B（﹣1，0），正方形ABCD中心為O1，雙曲線y＝正好經(jīng)過C、O1兩點(diǎn)，求k的值．

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26.1.1 反比例函數(shù)

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