?第24章圓培優(yōu)卷
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．在△ABC中，O為外心，∠A=92°，則∠BOC的度數(shù)為（???????）
A．88° B．92° C．184° D．176°
2．如果兩圓的半徑長分別為6和2，圓心距為3，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（????）
A．外離 B．相切 C．相交 D．內(nèi)含
3．如圖，在□ABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑作弧，交AD于點(diǎn)F;②分別以點(diǎn)F，B為圓心大于FB的長為半徑作弧，兩弧在∠DAB內(nèi)交于點(diǎn)G;③作射線AG，交邊BC于點(diǎn)E，連接EF．若AB=5，BF=8，則四邊形ABEF的面積為（??）

A．12 B．20 C．24 D．48
4．兩圓的半徑分別為2和3，若圓心距為5，則這兩圓的位置關(guān)系是
A．相交 B．外離 C．外切 D．內(nèi)切
5．如圖，AB是半圓O的直徑，D，E是半圓上任意兩點(diǎn)，連接AD，DE，AE與BD相交于點(diǎn)C，要使△ADC與△ABD相似，可以添加一個(gè)條件．下列添加的條件其中錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A． B． C． D．
6．如圖，⊙O 是四邊形 ABCD 的內(nèi)切圓，連接 OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，則∠COD 的度數(shù)是（????）

A．60° B．70° C．80° D．45°
7．下列圖形中是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（????）
A． B． C． D．
8．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，－2），則k的值為（ ）

A．1 B．－3 C．4 D．1或－3
9．如圖，已知 M（0，2），A（2，0），以點(diǎn) M 為圓心，MA 為半徑作⊙M，與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B， 點(diǎn) C 是⊙M 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 BC，AC，點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn)，連接 OD．給出 4 個(gè)說法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③當(dāng)線段 OD 取得最大值時(shí)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（1，1＋）；④當(dāng)點(diǎn) C 在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) D 的運(yùn)動(dòng)路徑為．其中正確的是（????）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．如圖，的半徑為1，弦在圓心的兩側(cè)，求上有動(dòng)點(diǎn)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為（????）

A． B． C． D．

二、填空題
11．如圖，在⊙O中，弦AC=2，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，且∠ABC=45°，則⊙O的半徑R= ．

12．平行四邊形兩鄰角的平分線相交所成的角為 ．
13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為4的⊙O，，則AC＝ ．

14．如圖，⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC延長線上，∠BOD＝160°則∠DCE＝ ．

15．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，PA=OA，陰影部分的面積為6π，則⊙O的半徑長為 ．

16．如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝（k＜0）上，連接OA，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)A為圓心，大于OA的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點(diǎn)，直線DE交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，連接AB．若AB＝1，則k的值為 ．

17．如圖、在正六邊形中，連接線，，，，，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，分別延長，于點(diǎn)，設(shè)．有以下結(jié)論：①；②；③的重心、內(nèi)心及外心均是點(diǎn)；④四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與四邊形重合．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

18．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE=4ED，BE的中垂線分別交BE，BC的延長線于點(diǎn)H，N．且BC=CN，⊙C為△BNH的外接圓，CFBE，交⊙C于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB于點(diǎn)M（FM＜BC），若FM=20，則tan∠AEB= ；矩形ABCD的周長為 ．


三、解答題
19．作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）
(1)如圖，已知點(diǎn)M.N和∠AOB，求作一點(diǎn)P，使P到點(diǎn)M.N的距離相等，且到∠AOB的兩邊的距離相等．

(2)要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村.李莊送水（如圖）． 修在河邊l什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置．

20．（1）尺規(guī)作圖：如圖1，求作一點(diǎn)P，是點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，且到M、N兩點(diǎn)的距離也相等；

（2）如圖2，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB＝∠APD．

21．一個(gè)長方形的長與寬之比為5：3，它的對(duì)角線長為cm，求這個(gè)長方形的長與寬（結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字）．
22．已知：AB為⊙O的直徑，∠A=∠B=90°，DE與⊙O相切于E，⊙O的半徑為，AD=2．

（1）求BC的長；
（2）延長AE交BC的延長線于G點(diǎn)，求EG的長．
23．如圖，AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，且與AB的延長線交于點(diǎn)E．點(diǎn)C是弧BF的中點(diǎn)．

（1）求證：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半徑為3，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BE--EC--弧CB爬回至點(diǎn)B，求螞蟻爬過的路程(π≈3.14，≈1.73，結(jié)果保留一位小數(shù)．)
24．如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O，過圓心O且垂直于半徑OA的直線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．設(shè)圓O在B、C兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P．
證明：直線AP平分線段EF．

25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．

（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的長．

參考答案：
1．D
【分析】運(yùn)用三角形外心的有關(guān)知識(shí)，及外接圓的圓心，360°-∠BOC的度數(shù)為∠A的2倍．
【詳解】解：如圖，

∵點(diǎn)O為△ABC的外心，∠A=92°，
∴360°-∠BOC=2∠A=184°．
∴∠BOC的度數(shù)為：176°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形外心的有關(guān)知識(shí)，即同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，∠A=（360°-∠BOC）=92°，題目比較簡(jiǎn)單．熟練運(yùn)用圓周角定理計(jì)算，即在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．
2．D
【分析】由兩個(gè)圓的半徑分別為6和2，圓心距為3，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系．
【詳解】∵兩個(gè)圓的半徑分別為6和2，圓心距為3，
又∵6-2=4，4＞3，
∴這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是內(nèi)含．
故選D．
3．C
【分析】如圖，設(shè)AE交BF于點(diǎn)O．證明四邊形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可得出AE, 根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半即可解決問題．
【詳解】解：如圖，設(shè)AE交BF于點(diǎn)O．

由作圖可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴四邊形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=4，
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，

∴AE=2OA=6．
∴菱形ABEF的面積=×8×6=24
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
4．C
【分析】當(dāng)圓心距=兩圓半徑和時(shí)，兩圓外切，據(jù)此可解．
【詳解】解：∵r=2， R=3
∴d=r+R=2+3=5
∴兩圓外切
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，熟知兩圓的半徑與圓心距的和與差跟兩圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．
5．D
【分析】利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)A進(jìn)行判定；先利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)B進(jìn)行判定；利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)C、D進(jìn)行判定．
【詳解】解：A、因?yàn)椤螦DC=∠BDA，∠ACD=∠DAB，所以△DAC∽△DBA，
所以A選項(xiàng)添加的條件正確；
B、由AD=DE得∠DAC=∠E，而∠B=∠E，所以∠DAC=∠B，加上∠ADC=∠BDA，
所以△DAC∽△DBA，所以B選項(xiàng)添加的條件正確；
C、由AD2=DB?CD，即AD：DB=DC：DA，加上∠ADC=∠BDA，
所以△DAC∽△DBA，所以C選項(xiàng)添加的條件正確；
D、由AD?AB=AC?BD得，而不能確定∠ABD=∠DAC，
即不能確定點(diǎn)D為弧AE的中點(diǎn)，所以不能判定△DAC∽△DBA，
所以D選項(xiàng)添加的條件錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和圓周角定理，掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵.
6．B
【分析】設(shè)四個(gè)切點(diǎn)分別為E、F、G、H，分別連接切點(diǎn)和圓心，利用切線性質(zhì)和HL定理可以得到4對(duì)全等三角形，進(jìn)而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根據(jù)8個(gè)角之和為360°即可求解．
【詳解】解：設(shè)四個(gè)切點(diǎn)分別為E、F、G、H，分別連接切點(diǎn)和圓心，
則OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，OE=OF=OG=OH，
在Rt△BEO和△BFO中，
，
∴Rt△BEO≌△BFO（HL）
∴∠1=∠2，
同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，
即∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=110°，
∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用圓的的切線性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．
7．D
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A．是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
8．D
【詳解】設(shè)C（x，y）．根據(jù)矩形的性質(zhì)、點(diǎn)A的坐標(biāo)分別求出B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；根據(jù)“矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)”及直線AB的幾何意義知k=，k=，即：=，求得xy=4①，又點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，所以將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入其中求得xy=k2+2k+1②；聯(lián)立①②解關(guān)于k的一元二次方程，求得k=1或－3．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，一次函數(shù)的解析式的求法．
9．B
【分析】根據(jù)三角形中位線定理、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)求解即可；
【詳解】解：（1）由圓的對(duì)稱性可知OB＝OA，
為的中點(diǎn)，
,故①正確；
（2）連接BM、AM，

M（0，2），A（2，0），以點(diǎn) M 為圓心，MA 為半徑作⊙M，

∴∠BCA＝45°，由OD//BC可得∠ODA＝45°，故②正確；
（3）
最大，即最大，
當(dāng)為的直徑時(shí)最大，




為的中點(diǎn)，
故③錯(cuò)誤；
（4） 當(dāng)點(diǎn) C 在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D在以為直徑的⊙E上的上運(yùn)動(dòng)，
連接AE，如（2）中圖，可得∠OEA＝90°，
由△ODA是等腰直角三角形及OA＝2可得OE＝，
則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑長＝，故④正確
綜上所述，正確的結(jié)論是①②④，
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、三角形中位線定理和等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．
10．D
【分析】如詳解中圖，連接OA，OB，作OH⊥BC于H，AQ⊥BC于Q，取AB的中點(diǎn)K，連接KQ．點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中的弧線，先求出∠ABC=75°，再通過KB=KQ，求得∠KBQ=∠KQB=75°，則圓心角∠AKQ=∠KBQ+∠KQB=150°，即可求弧長：點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長= ．
【詳解】解：如圖，連接OA，OB，作OH⊥BC于H，AQ⊥BC于Q，取AB的中點(diǎn)K，連接KQ．

∵OH⊥BC，
∴BH=CH= ，
∴cos∠OBH=，
∴∠OBH=30°，
∵AB=，OA=OB=1，
∴AB2=OA2+OB2，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴∠ABC=75°，
∵∠AQB=90°，AK=KB，
∴KB=KQ，
∴∠KBQ=∠KQB=75°，
∴∠AKQ=∠KBQ+∠KQB=150°，
∵點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中的弧，
∴點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長= ．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
11．
【分析】通過∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根據(jù)OA=OC就可以結(jié)合勾股定理求出AC的長了．
【詳解】∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∴OA2+OC2=AC2．
∴OA2+OA2=（2）2．
∴OA=．
故⊙O的半徑為．
故答案為：．
12．90°
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可知平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，所以，所以可求出．
【詳解】中，AD，BD分別為∠BAD，∠ABC的角平分線相交于O，

∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，
又∵AO，BO分別為∠BAD，∠ABC的角平分線，
∴∠BAO=∠DAO=∠BAD，∠ABO=∠CBO=∠ABC，
∴在△AOB中，∠AOB=180°?(∠BAO+∠ABO)
=180°? (∠BAD+∠ABC)
=180°?×180°
=90°
故答案為90°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，只要熟知平行四邊形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理即可解答．
13．
【分析】連接OA、OC，構(gòu)造等腰直角三角形求得AC的長即可．
【詳解】解：如圖，連接OA，OC，
∵∠D=45°，
∴∠AOC=90°，
∵半徑OA=OC=4，
∴AC=
故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，熟知圓周角定理是解答此題的關(guān)鍵．
14．80°/80度
【分析】先根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半求出∠A的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵∠BOD=160°，
∴∠A=∠BOD=80°．
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠A=180°．
∴∠BCD=100°．
∴∠DCE=180°-∠BCD=80°．
故答案為80°．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．
15．3
【分析】連接OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO＝90°，根據(jù)已知條件得到∠POA＝60°，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接OP，

∵PA、PB是⊙O的兩條切線，
∴∠PAO=90°，????
∵PA=OA，
∴tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∴∠AOB=120°，
∵陰影部分的面積為6π，
∴=6π，
∴OA=3，
∴⊙O的半徑長為3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積公式，三角函數(shù)的定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．﹣．
【分析】BC交OA于H，如圖，利用基本作圖得到CB垂直平分OA，則BO＝BA＝1，AH＝OH，在Rt△OCB中先利用勾股定理計(jì)算出CB，再利用面積法計(jì)算出OH＝，則OA＝，設(shè)A（m，n），根據(jù)?兩點(diǎn)間的距離公式得到（m+1）2+n2＝12，m2+n2＝（）2，解關(guān)于m、n的方程組得到A，然后利用反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求k的值．
【詳解】BC交OA于H，如圖，

由作法得CB垂直平分OA，
∴BO＝BA＝1，AH＝OH，∠OBH＝90°，
∴B（﹣1，0），
在Rt△OCB中，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
∴CB＝＝，
∵×OH×BC＝×OB×OC，
∴OH＝，
∴OA＝2OH＝，
設(shè)A（m，n），則（m+1）2+n2＝12，m2+n2＝（）2，
解得m＝，n＝，
∴A ，
把A代入得k＝．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，線段的垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．
17．①②③
【分析】由題意易得，，則有，進(jìn)而可得，則有四邊形是矩形，然后可得，為等邊三角形，最后可得答案．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴，
，
∴在△DEF中，，
∴，
同理可得，
∴四邊形是矩形，
同理可證四邊形是矩形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴（ASA），
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
∴∠NAM=60°，
∴△NAM是等邊三角形，
∴AM=MN，
∵AB=3，
∴，
∴，
∵∠MAB=30°，∠ACG=90°，
∴∠G=60°，
∴△ADG是等邊三角形，
∵AC與BD交于點(diǎn)M，
∴由等邊三角形的性質(zhì)及重心、內(nèi)心、外心可得：的重心、內(nèi)心及外心均是點(diǎn)，
連接OF，如圖所示：

易得∠FOA=60°，
∴四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與四邊形重合，
∴綜上所述：正確結(jié)論的序號(hào)是①②③；
故答案為①②③．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
18． 2
【分析】過E作EG⊥BC，F(xiàn)K⊥BC，連接EN，設(shè)ED=k，則AE=4K，求出BC =5k，BN=10k，NG= =6k，根據(jù)NH是BE的垂直平分線，得到EN=BN=10k，利用勾股定理得到AB=EG=8k，根據(jù)tan∠AEB=即可求解；根據(jù)平行的性質(zhì)得到∠FCG=∠AEB，再得到FK=2（5k-20），根據(jù)勾股定理得到CF2=CK2+FK2，得到關(guān)于k的方程求出k，即可求出ABCD的周長．
【詳解】解：如圖，過E作EG⊥BC，F(xiàn)K⊥BC，連接EN，

設(shè)ED=k，則AE=4K，
∴BC=AD=AE+ED=5k，BN=2BC=10k，
∴NG=NC+CG=5k+k=6k，
∵NH是BE的垂直平分線，
∴EN=BN=10k，
，
∴tan∠AEB=，
∵AEBC，∴∠AEB=∠CBE，
∵CFBE，∴∠GCF=∠CBE，
∴∠FCG=∠AEB，
∵CF=BC=5k，CK=BC-BK=BC-FM=5k-20，
∵tan∠FCG=tan∠AEB==2，
∴FK=2（5k-20），
∵CF2=CK2+FK2，
∴25k2=5（5k-20）2，
解得k=5＋，或5-（舍），
∴ABCD的周長=2（AD+AB）=26k=130+26，
故答案為：2；130+26．
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知圓的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及勾股定理的運(yùn)用．
19．（1）見解析；（2）見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意可知只要作出∠AOB的角平分線、線段MN的垂直平分線，然后找到這兩條線的交點(diǎn)即為所求；
（2）作B點(diǎn)關(guān)于小河的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′A與小河的交點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求．
【詳解】解：（1）如圖所示：作出∠AOB的角平分線、線段MN的垂直平分線，這兩條線的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)
．
（2）作點(diǎn)B關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′A，交河岸于點(diǎn)C，CA+CB=AB′的長度之和最短，則修在河邊l的點(diǎn)C處，可使所用水管最短．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱與最短路線問題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）作線段MN的垂直平分線EF，∠AOB的角平分線OT，OT交EF于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
（2）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，作直線BD交AC于點(diǎn)P，連接PD，點(diǎn)P即為所求．
【詳解】解：（1）如圖1中，點(diǎn)P即為所求．
（2）如圖2中，點(diǎn)P即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
21．長為7.1cm，寬為4.2cm．
【分析】一個(gè)長方形的長與寬之比為5：3，設(shè)長為5xcm，則寬為3xcm，根據(jù)對(duì)角線長，用勾股定理即可列出方程，求出長方形的長和寬，再進(jìn)行估算．
【詳解】解：設(shè)長為5xcm，則寬為3xcm，用勾股定理得（5x）2+（3x）2=（）2，
∴25x2+9x2=68，
∴34x2=68，
∴x2=2，即x=或x=（舍去），
∴長為5×≈7.1（cm），寬為3×≈4.2（cm）
答：長方形的長為7.1cm，寬為4.2cm．
【點(diǎn)睛】根據(jù)長形的對(duì)角線與直角邊構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理化為求一元二次方程的解的問題，求解舍去不符合條件的解即可．
22．（1）BC=；（2）EG=
【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由切線長定理可得DE＝AD＝2，CE＝BC，設(shè)BC＝x，由在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即可得方程（2＋x）2＝（x?2）2＋（2）2，解此方程即可求得答案；
（2）易證得△ADE∽△FEC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得AE：EG＝4：5，由勾股定理即可求得AG的長，繼而求得答案．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AB為⊙O的直徑，∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，AD與BC是⊙O的切線，
∴DF=AB=2，BF=AD=2，
∵DE與⊙O相切，
∴DE=AD=2，CE=BC，
設(shè)BC=x，
則CF=BC﹣BF=x﹣2，DC=DE+CE=2+x，
在Rt△DCF中，DC2=CF2+DF2，
即（2+x）2=（x﹣2）2+（2）2，
解得：x=，
即BC=；
（2）∵AB為⊙O的直徑，∠A=∠B=90°，
∴ADBC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG=DE：CE，AE：EG=AD：CG，
∵AD=DE=2，
∴CG=CE=BC=，
∴BG=BC+CG=5，
∴AE：EG=4：5，
在Rt△ABG中，AG==3，
∴EG=AG=．

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)與判定、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
23．（1）證明見解析；（2）11.3
【詳解】分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，證明OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明；
????（2）根據(jù)圓周角定理得到∠COE=60°，根據(jù)勾股定理、弧長公式計(jì)算即可．
詳解：（1）連接OC．
∵直線CD與⊙O相切，∴OC⊥CD．
????∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠DAC=∠EAC．
????∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；
????（2）∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圓周角定理得：∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，∴螞蟻爬過的路程=3+3+π≈11.3．
????
點(diǎn)睛：本題考查的是切線的性質(zhì)、弧長的計(jì)算，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑、弧長公式是解題的關(guān)鍵．
24．見解析
【分析】過P作EF的平行線，分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)M，N，證明AP平分線段MN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明直線AP平分線段EF．
【詳解】證明：連接OB，過P作EF的平行線MN，分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)M，N，則∠PMB＝∠AEO＝90°?∠OAE，
∵O是△ABC的外心，
∴∠OAE＝ (180°?∠AOB)＝90°?∠ACB，
∴∠PMB＝∠ACB，
∵PB是圓O的切線，
∴∠OBP=90°
∴∠MBP+∠ABO=90°
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB=180°，∠ABO=∠BAO
∴∠ABO+∠AOB=90°
∵∠ACB=∠AOB
∴∠ABO+∠ACB=90°
∴∠PBM＝∠ACB，
∴∠PMB＝∠PBM，
∴PM＝PB．
同理PN＝PC，
∵PB＝PC，
∴PM＝PN，
∴AP平分線段MN，
設(shè)AP與EF交于H點(diǎn)
∵EFMN，
∴△AEH∽△AMP，△AHF∽△APN，
∴，
∴
∵PM＝PN，
∴
∴直線AP平分線段EF．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，考查直線AP平分線段EF，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
25．（1）見解析；（2）DF＝2．
【分析】（1）連接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
【詳解】（1）證明：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD過O，
∴DE與⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．

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