?第15課 全等三角形單元檢測(cè)（一）
一、單選題
1．如圖：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，則EC的長(zhǎng)為（ ）

A．2 B．3 C．5 D．2.5
【答案】B
【解析】
試題分析：全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．
∵△ABE≌△ACF
∴AC=AB=5
∴EC=AC-AE=5-2=3，
故選B.
考點(diǎn)：本題考查的是全等三角形的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，即可完成．
2．請(qǐng)仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的三角形全等有關(guān)知識(shí)，說(shuō)明畫出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是（　 ?。?br />
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性質(zhì)，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
【詳解】
解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依據(jù)SSS可判定△COD≌△C'O'D'，則△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．
3．如圖,在△ABC和△DEF中,∠B＝∠DEF,AB＝DE,添加下列一個(gè)條件后,仍然不能證明△ABC≌△DEF,這個(gè)條件是：

A．∠ACB＝∠F B．∠A＝∠D C．BE=CF D．AC=DF
【答案】D
【解析】
試題解析：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故選D．
4．下列結(jié)論是正確的是( )
A．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 B．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等
C．有兩條邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角
【答案】A
【分析】
根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及對(duì)頂角的性質(zhì)判定即可.
【詳解】
、全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，正確；
、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似，不一定全等，故錯(cuò)誤；
、當(dāng)兩個(gè)三角形中兩條邊及一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，其中如果這組角是兩邊的夾角時(shí)兩三角形全等，如果不是這兩邊的夾角的時(shí)候不一定全等，故錯(cuò)誤；
、相等的角不一定是對(duì)頂角，故錯(cuò)誤.
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定以及對(duì)頂角的性質(zhì).注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
5．如圖，點(diǎn)C、D分別在∠AOB的邊OA、OB上，若在線段CD上求一點(diǎn)P，使它到OA，OB的距離相等，則P點(diǎn)是
A．線段CD的中點(diǎn)　 B．OA與OB的中垂線的交點(diǎn)　
C．OA與CD的中垂線的交點(diǎn)　 D．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)

【答案】D
【解析】解：根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”得P點(diǎn)是CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)，故選D。
6．在△ABC和△DEF中，給出下列四組條件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，AC=DF；
④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（ ）
A．1組
B．2組
C．3組
D．4組
【答案】B
【解析】
試題分析：要使△ABC≌△DEF的條件必須滿足SSS、SAS、ASA、AAS，可據(jù)此進(jìn)行判斷.
解：第①組滿足SSS，能證明△ABC≌△DEF.
第②組滿足SAS，能證明△ABC≌△DEF.
第③組滿足ASS，不能證明△ABC≌△DEF.
第④組只是AAA，不能證明△ABC≌△DEF.
所以有2組能證明△ABC≌△DEF.
故選B.
考點(diǎn)：全等三角形的判定.
7．如果兩個(gè)三角形中兩條邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角的關(guān)系是 （ ）
A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互補(bǔ)或相等
【答案】D
【分析】
作出圖形，然后利用“HL”證明Rt△ABG和Rt△DEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B=∠DEH，再分∠E是銳角和鈍角兩種情況討論求解．
【詳解】
如圖，△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AG、DH分別是△ABC和△DEF的高，且AG=DH，

在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△DEH（HL），
∴∠B=∠DEH，
∴若∠E是銳角，則∠B=∠DEF，
若∠E是鈍角，則∠B+∠DEF=∠DEH+∠DEF=180°，
故這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角的關(guān)系是：互補(bǔ)或相等．
故選D.
8．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=（　　）

A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A
【解析】
分析：依據(jù)AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依據(jù)∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根據(jù)△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
詳解：∵AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故選A．
點(diǎn)睛：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用．


二、填空題
9．已知，若△ABC的面積為10 ，則的面積為________ ，若的周長(zhǎng)為16，則△ABC的周長(zhǎng)為________．
【答案】10 16
【分析】
根據(jù)全等三角形的面積相等，全等三角形的周長(zhǎng)相等解答．
【詳解】
∵△ABC≌△A′B′C′，△ABC的面積為10，
∴△A′B′C′的面積為10；
∵△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′的周長(zhǎng)為16cm，
∴△ABC的周長(zhǎng)為16cm.
故答案為10，16.
【點(diǎn)睛】
此題考查全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定理.
10．在△ABC和△ADC中，有下列三個(gè)論斷：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．將兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)正確的因果關(guān)系，則條件是__________，結(jié)論為__________．
【答案】①AB=AD；②∠BAC=∠DAC，③BC=DC 或①AB=AD；③BC=DC，②∠BAC=∠DAC ．
【詳解】
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析：根據(jù)全等三角形的判定方法SAS，可知當(dāng)①②為條件且AC為公共邊時(shí)結(jié)論③成立；根據(jù)全等三角形的判定方法SSS，可知當(dāng)①③為條件且AC為公共邊時(shí)結(jié)論②立；
解：方案一∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC為公共邊，
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=DC；
方案二：∵AB=AD，BC=DC，AC為公共邊，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC．
故答案為條件：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC或①AB=AD；③BC=DC；結(jié)論為：③BC=DC或∠BAC=∠DAC．
11．已知，如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，則點(diǎn)D到AB的距離為__cm．

【答案】2．
【分析】
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出，代入求出即可．
【詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則即為所求，

，平分，
（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），
，
．
故答案是：2．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
12．下列說(shuō)法中：①如果兩個(gè)三角形可以依據(jù)“AAS”來(lái)判定全等，那么一定也可以依據(jù)“ASA”來(lái)判定它們?nèi)?；②如果兩個(gè)三角形都和第三個(gè)三角形不全等，那么這兩個(gè)三角形也一定不全等；③要判斷兩個(gè)三角形全等，給出的條件中至少要有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等．正確的是_____.
【答案】①③
【解析】
【分析】
熟練綜合運(yùn)用判定定理判斷，做題時(shí)要結(jié)合已知與全等的判定方法逐個(gè)驗(yàn)證．
【詳解】
因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)內(nèi)角和定理，可知另一對(duì)對(duì)應(yīng)角也相等，那么總能利用ASA來(lái)判定兩個(gè)三角形全等，故選項(xiàng)①正確；
兩個(gè)全等的直角三角形都和一個(gè)等邊三角形不全等，但是這兩個(gè)全等的直角三角形可以全等，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，否則不會(huì)全等，故選項(xiàng)③正確.
故選：①③
【點(diǎn)睛】
此題考查全等三角形的判定，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.
13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC于點(diǎn)D．若AB=a，CD=b，則△ADB的面積為______________ ．

【答案】
【詳解】
過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線DE,因?yàn)?BD平分∠CBA所以DE="CD," △ADB的面積=ABDE=ab
14．如圖，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”為依據(jù)，需添加條件____________；
（2）若以“HL”為依據(jù)，需添加條件_____________．

【答案】AB=CD AD=BC
【解析】
(1)若以“SAS”為依據(jù)，需添加條件：AB=CD；
∵AC⊥AB，AC⊥CD，
∴∠BAC=90°，∠DCA=90°，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA(SAS)；
(2)若以“HL”為依據(jù)，需添加條件：AD=BC；
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
故答案為：（1）AB=CD；AD=BC.
15．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段BH的長(zhǎng)度為 ．


【答案】4
【解析】
試題分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，證△ADC≌△BDH后求解．BH=AC=4．
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．
16．已知如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E．若AC=10，可求得△DEC的周長(zhǎng)為________．

【答案】10
【分析】
根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DB=DE，然后根據(jù)HL可證明Rt△ABD≌Rt△AED，進(jìn)而可得AB=AE，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出△DEC的周長(zhǎng)=AC，從而可得答案．
【詳解】
解：∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DE⊥AC于E，
∴DB=DE，
在Rt△ABD和Rt△AED中，
∵AD=AD，DB=DE，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AB=AE，
∵AB=BC，
∴BC=AE，
∴△DEC的周長(zhǎng)=DE+DC+EC=DB+DC+EC=BC+EC=AE+EC=AC=10．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形的周長(zhǎng)計(jì)算等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

三、解答題
17．已知：如圖，CB=DE，∠B=∠E，∠BAE=∠CAD．

求證：∠ACD=∠ADC．
【答案】．證明：
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE∠CAE =∠CAD∠CAE，
即∠BAC=∠EAD． --------------------------1分
在△ABC和△AED中，
∠BAC=∠EAD，
∠B=∠E，
BC=ED，
∴△ABC≌△AED． ------------------------------4分
∴AC=AD． ----------------------------------------5分
∴∠ACD=∠ADC．
【解析】略
18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，過(guò)F作FD∥BC交AB于D．
求證： AC＝AD

【答案】詳見(jiàn)解析
【分析】
由平行的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可證明∠2＝∠3=∠1，結(jié)合角平分線的定義可證明△CAF與△DAF，可證得AC=AD．
【詳解】
證明：∵AC⊥BC，CE⊥AB
∴∠CAB＋∠1＝∠CAB＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
又∵FD∥BC
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2
在△CAF與△DAF中

∴△CAF≌△DAF（AAS）
∴AC＝AD.
【點(diǎn)睛】
此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.
19．已知：如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且∠ABD+∠ACD＝180°．
求證：BD＝CD．

【答案】見(jiàn)解析．
【分析】
先利用角平分線性質(zhì)得：DE=DF，然后利用互補(bǔ)的性質(zhì)得到∠EBD=∠ACD，在由“AAS”可證△BED≌△CFD，可得BD=CD．
【詳解】
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90° ，
∵∠ABD+∠ACD=180°，且∠ABD+∠EBD=180° ，
∴∠EBD=∠ACD ，
在△BED和△CFD中

∴△BED≌△CFD(AAS) ，
∴BD=CD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．
20.如圖①，△ABC是等邊三角形，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，則線段FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系是 　
自主學(xué)習(xí)
事實(shí)上，在解決幾何線段相等問(wèn)題中，當(dāng)條件中遇到角平分線時(shí)，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路
如：在圖②中，若C是∠MON的平分線OP上一點(diǎn)，點(diǎn)A在OM上，此時(shí)，在ON上截取OB=OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定（SAS），容易構(gòu)造出全等三角形△OBC和△OAC，從而得到線段CA與CB相等
學(xué)以致用
參考上述學(xué)到的知識(shí)，解答下列問(wèn)題：
如圖③，△ABC不是等邊三角形，但∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．求證：FE=FD．

【解析】
解：感受理解
EF=FD．理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠DAC=∠ECA，∠BAD=∠BCE，
∴FA=FC．
∴在△EFA和△DFC中，
，
∴△EFA≌△DFC，
∴EF=FD；
學(xué)以致用：
證明：如圖1，在AC上截取AG=AE，連接FG．

∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠2=∠BAC，∠3=∠ACB，
∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°﹣∠AFG﹣∠CFD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分線，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD．

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