?專題12.2.4 三角形全等的判定4（AAS）
目標(biāo)導(dǎo)航

1. 經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用“AAS”條件判定兩個(gè)三角形全等；
2. 使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗(yàn)操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.
3. 通過探究三角形全等的條件的活動，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué) 生樂于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.
知識精講

知識點(diǎn)01三角形全等的判定4：（AAS）
知識點(diǎn)
三角形全等的判定4：角角邊（AAS）
文字：在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；
圖形：
符號：在與中，
【微點(diǎn)撥】
1.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．
2.全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等.
【知識拓展1】角角邊判定三角形全等的條件
例1．（2021?覃塘區(qū)八年級期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，請補(bǔ)充一個(gè)條件：　 　，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件，答案不唯一．
【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．
在△ACE與△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．

【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【即學(xué)即練】
1．（2021?句容市八年級月考）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，若添加條件　 　，則可由AAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件　 　，則可由SAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件　 　，則可由ASA證明△ABC≌△DCB．

【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共邊，當(dāng)利用“AAS”進(jìn)行判斷時(shí)可加∠A＝∠D；當(dāng)利用“SAS”進(jìn)行判斷時(shí)可加AB＝DC；當(dāng)利用“ASA”進(jìn)行判斷時(shí)可加∠ACB＝∠DBC．
【解答】解：當(dāng)∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
當(dāng)AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
當(dāng)∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；
故答案為：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對應(yīng)鄰邊．

【知識拓展2】利用AAS判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）
例2．（2021?南關(guān)區(qū)八年級期末）如圖，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．小亮在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點(diǎn)A時(shí)，測得點(diǎn)A到BD的距離AC＝1.5m．點(diǎn)A到地面的距離AE＝1.5m，當(dāng)他從A處擺動到A′時(shí)，有A′B⊥AB．
（1）求A'到BD的距離；（2）求A'到地面的距離．

【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足為F，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）如圖2，作A'F⊥BD，垂足為F．
∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1（m），即A'到BD的距離是1m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，
作A'H⊥DE，垂足為H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），

【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
【即學(xué)即練】
2.（2022?嘉定區(qū)八年級期末）如圖，兩車從路段MN的兩端同時(shí)出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時(shí)間后分別到達(dá)A，B兩地，兩車行進(jìn)的路線平行．那么A，B兩地到路段MN的距離相等嗎？為什么？

【分析】要判斷A，B兩地到路段MN的距離是否相等，可以由條件證明△AEM≌△BFN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論．
【解答】解：A，B兩地到路段MN的距離相等．
理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．
在△AEM和△BFN中，，
∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B兩地到路段MN的距離相等．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離的理解，在解答時(shí)弄清判斷三角形全等的條件是關(guān)鍵．

【知識拓展3】利用AAS證明三角形全等（求線段的長度）
例3．（2022·黑龍江黑河·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點(diǎn)B，C作過點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，則DE=________cm．


【答案】12
【分析】用AAS證明△ABD≌△CAE，得AD=CE，BD=AE，得到DE=BD+CE=7+5=12cm．
【詳解】∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠EAC＝∠ABD，
∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝12cm．故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．
【即學(xué)即練1】
3．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室七年級期末）如圖，E是的邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，過點(diǎn)E作直線交于D，交于F，若，則的長為__________．

【答案】2.5
【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，求出AE= EC，根據(jù)AAS證△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
【詳解】證明：∵CF//AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE= EC，
在△ADE和?CFE中，
∴△ADE≌?CFE(AAS)，∴AD= CF= 6.5，
∵AB= 9，∴BD= AB- AD=9- 6.5= 2.5，故答案為： 2.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA， AAS，SSS．

【知識拓展4】利用AAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）
例4．（2022·山東·八年級期末）如圖，點(diǎn)D在邊AC上，BC與DE交于點(diǎn)P，，，∠CDE＝∠ABD．(1)與全等嗎？為什么？(2)已知，，求的度數(shù)．

【答案】(1)，見解析；(2)
【分析】（1）通過三角形內(nèi)角和為，可以得到∠CDE＝∠CBE，通過找角的關(guān)系可以得到∠ABC＝∠DBE，又因?yàn)椋纯勺C明．
（2）在（1）問的證明中我們可以證得∠ABD＝∠CBE=∠CDE，即可解題．
(1)．
理由：∵∠C＝∠E，∠CPD＝∠EPB，
∴，∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠CDE＝∠ABD，∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，
又∵∠C＝∠E，AB＝DB，
∴．
(2)∵∠ABE＝157°，∠DBC＝27°，
∴，
∴∠CDE＝∠CBE＝65°．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，熟記對頂角相等，熟練掌握運(yùn)用全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練2】
2．（2021?遷安市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在AC上，連接BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，垂足為D，使DE＝BC，連接BE，若∠C＝∠E．（1）求證：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A＝∠DBE，再根據(jù)AAS證出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根據(jù)已知條件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根據(jù)∠DBC＝34°，求出∠FBE的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；
（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，
∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．
【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證出△ABC≌△BDE．

【知識拓展5】利用AAS證明三角形全等（證明類）
例5．（2021?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，BD是△ABC中AC邊上的中線，過點(diǎn)C作CE∥AB，交BD的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為△ABC外一點(diǎn)，連接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求證：
（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根據(jù)AAS可證明△ABD≌△CED；
（2）證明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠FCD．
【解答】證明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，
∵BD是△ABC中AC邊上的中線，∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（AAS）；
（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，
∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，
在△BDC和△FDC中，，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF．
【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角分線的判定，中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練5】
5．（2022·浙江·瑞安市八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，，垂足為點(diǎn)E，和的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）求證：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到，然后根據(jù)AAS證明即可；（2）首先根據(jù)ASA證明，然后得到FE=AE，結(jié)合（1）問結(jié)論根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．
【詳解】（1）∵∴∴
∵∴∴
在和中∴（AAS）
（2）∵∴
∵平分∴
在和中
∴（ASA）∴FE=AE∴
∵∴CD=AF∴
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是先證明兩個(gè)三角形全等，然后利用全等的性質(zhì)證明．
6．（2021?西城區(qū)八年級期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在CB的延長線上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求證：BC＝CD；（2）連接BD，求證：∠ABD＝∠EBD．

【分析】（1）由“AAS”可證△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CBD＝∠CDB，由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；
（2）如圖，連接BD，

∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，
又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．




能力拓展

考法01 利用AAS證明三角形全等（探究類）
【典例1】（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖1，已知中，，，、分別與過點(diǎn)的直線垂直，且垂足分別為E，D．

(1)猜想線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
(2)如圖2，當(dāng)過點(diǎn)C的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，如圖2所示，
①線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請說明理由；②若，時(shí)，求的長．
【答案】(1)，證明見解析(2)①發(fā)生改變，；②1.3
【分析】（1）證明，可得，CD＝BE， 即可求解；
（2）①證明，可得，CD＝BE， 即可求解；②由①可得，從而得到，即可求解．
（1）解：，???理由如下：
∵、分別與過點(diǎn)的直線垂直，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，
，，CD＝BE，
∵ DE＝EC＋CD，?????；
（2）解：①發(fā)生改變．
∵、分別與過點(diǎn)的直線垂直，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，
，，CD＝BE，
∵ DE＝CE-CD，???????∴；
②由①知：，∴，∴BE的長為1.3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022?呼蘭區(qū)八年級期中）如圖，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，連接AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度數(shù)；（2）請直接寫出線段BF、EF、DE三者間的數(shù)量關(guān)系．

【分析】（1）證明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度數(shù)；
（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，則可得結(jié)論BF+EF＝DE．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴∠ABF＝∠DAE，
∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；
（2）解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，
∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．
【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
變式2．（2021?華容縣八年級期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)（BP＜CP），分別過B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求證：EF＝CF﹣BE．（2）若點(diǎn)P為BC延長線上一點(diǎn)，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論．

【分析】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根據(jù)∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出結(jié)論；
（2）如圖2，同樣由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根據(jù)∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出結(jié)論EF＝BE+CF．
【解答】解：（1）證明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；
（2）EF＝BE+CF 理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．

【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答時(shí)證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．
考法02 全等中的坐標(biāo)問題
【典例2】（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A（0，2），B（﹣1，0），以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC．(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），求a+b的值．(2)求四邊形OACB的面積．(3)在（1）的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)1 (2) (3)存在，P的坐標(biāo)是或或
【分析】（1）如圖1，作CE垂直于y軸，垂足為E，可知△ECA≌△OAB，知的長，得到的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的值，進(jìn)而得到的值；（2）如圖2，作CE垂直于y軸，垂足為E，連接OC，，代線段值求解即可；
（3）分為三種情況：①如圖3，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，△PEB≌△BOA，得的值，進(jìn)而表示的點(diǎn)坐標(biāo)即可；②如圖4，過C作CM垂直于x軸，垂足為M，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，進(jìn)而表示的點(diǎn)坐標(biāo)即可；③如圖5，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠BEP＝∠BOA＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，進(jìn)而表示的點(diǎn)坐標(biāo)即可．
(1)解：如圖1，作CE垂直于y軸，垂足為E，

∴∠CEA＝90°∵A，B∴OA＝2，OB＝1
∵∠BAC＝90°∴∠BAO+∠CAE＝90°
∵∠ECA+∠CAE＝90°∴∠ECA＝∠BAO
在△ECA和△OAB中
∴△ECA≌△OAB（AAS）∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1
即OE＝EA+OA＝3∴C點(diǎn)坐標(biāo)為
∴∴．
(2)解：如圖2，作CE垂直于y軸，垂足為E，連接OC，

．
(3)解：存在點(diǎn)P，使△PAB與△ABC全等；
分為三種情況：①如圖3，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，

∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°∴∠EPB＝∠ABO
在△PEB和△BOA∴△PEB≌△BOA（AAS）
∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2∴，即P的坐標(biāo)是；
②如圖4，過C作CM垂直于x軸，垂足為M，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠CMB＝∠PEB＝90°，

∵△CAB≌△PAB∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP
∴∠CBP＝90°∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°∴∠MCB＝∠PBE
在△CMB和△BEP中
∴△CMB≌△BEP（AAS）∴PE＝BM，CM＝BE
∵∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2即P的坐標(biāo)是；
③如圖5，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠BEP＝∠BOA＝90°，

∵△CAB≌△PBA∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°
∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°∴∠ABO＝∠BPE
在△BOA和△PEB中∴△BOA≌△PEB（AAS）
∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，∴OE＝BE+BO＝2+1＝3，即P的坐標(biāo)是；
綜合上述，符合條件的P的坐標(biāo)是或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵在于全面考慮三角形全等的可能情況．
變式1．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），則A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．

【答案】（-7，3）
【分析】先作輔助線、，通過導(dǎo)角證明，再證明， 得到AD的長度(A的縱坐標(biāo)長度)、DC長度(加上OC得到A橫坐標(biāo)長度)，根據(jù)A點(diǎn)所在象限的符號，確定A點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】如圖，過點(diǎn)A作 于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作 于點(diǎn)E

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，5)
OC=2，OE=1，BE=5



在 和 中，


A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-7，3) ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明(在兩個(gè)三角形中，如果有兩組對應(yīng)角，和其中一組對應(yīng)角的對邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等) ．
變式2.（2022·福建寧德·八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角頂點(diǎn)、分別在軸、軸上，且，．(1)如圖1，當(dāng)，，點(diǎn)在第四象限時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動，點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動，點(diǎn)在第四象限時(shí)，作軸于點(diǎn)，求，，之間的關(guān)系．

【答案】(1)（3，-1）(2)a＋m＋n=0，理由見解析
【分析】（1）作BD⊥x軸于D，證明△AOC≌△CDB（AAS），可得AO=CD=2，OC=BD=1，根據(jù)點(diǎn)在第四象限，即可求解．（2）作BE⊥x軸于E，證明△CEB≌△AOC（AAS），可得AO=CE=a，BE=CO，根據(jù)點(diǎn)在第四象限時(shí)，即可求解．
（1）解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）．理由如下：作BD⊥x軸于D，

∴∠AOC=90°=∠BDC，∴∠OAC＋∠ACO=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACO＋∠BCD=90°，∴∠OAC=∠BCD，
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），∴AO=CD，OC=BD，
∵A（0，-2），C（1，0），∴AO=CD=2，OC=BD=1，∴OD=3，
∵B在第四象限，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）；
（2）解：a＋m＋n=0．證明：作BE⊥x軸于E，

∴∠BEC=∠AOC=90°，∴∠1＋∠2=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∴∠2=∠3，
在△CEB和△AOC中，，
∴△CEB≌△AOC（AAS），∴AO=CE=a，BE=CO，
∵BE⊥x軸于E，∴BEy軸，
∵BD⊥y軸于點(diǎn)D，EO⊥y軸于點(diǎn)O，
∴EO=BD=m，∴BE=-n，∴a＋m=-n，∴a＋m＋n=0．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．



分層提分

題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．（2021·河南洛陽·八年級期中）已知：如圖，，，要使，需添加一個(gè)條件，則添加的條件以及相應(yīng)的判定定理合適的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定方法分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：、添加條件判定用的判定方法是，故原題說法正確，符合題意；
、添加條件不能判定，故原題說法錯(cuò)誤，不符合題意；
、添加條件判定用的判定方法是，故原題說法錯(cuò)誤，不符合題意；
、添加條件判定用的判定方法是，故原題說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．解題的關(guān)鍵是注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
2.（2022?東臺市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（　?。?br /> A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．
【解答】解：A、已知AB、BC和BC的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、已知兩角和一邊，能畫出唯一△ABC，故本選項(xiàng)符合題意；
C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能畫出△ABC；故本選項(xiàng)不符合題意；
D、根據(jù)∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·北京市師達(dá)中學(xué)八年級期中）如圖，AE⊥AB且，BC⊥CD且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積是（???????）

A．30 B．32 C．35 D．38
【答案】B
【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可證明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可證明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的長，根據(jù)實(shí)線所圍成的圖形的面積=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面積公式即可得答案．
【詳解】∵AE⊥AB，EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，
在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，∴AF=BG=2，EF=AG=5，
同理可得：△CDH≌△BCG，∴CH=BG=2，CG=DH=3，∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，
∴實(shí)線所圍成的圖形的面積=S梯形EFHD-2S△ABC==32．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·山東煙臺·九年級期中）數(shù)學(xué)活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(?????)

A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC

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12.2 三角形全等的判定

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