高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修第一冊1.3 空間向量及其運算的坐標表示優(yōu)秀課后復習題-試卷下載-教習網(wǎng)

?1.3 空間向量及其運算的坐標表示

課程標準
課標解讀
理解和掌握空間向量的坐標表示及意義，會用向量的坐標表達空間向量的相關運算.會求空間向量的夾角、長度以及有關平行、垂直的證明.

利用空間向量的坐標表示，將形與數(shù)有機結(jié)合，并能進行相關的計算與證明是學習空間向量及運算的關鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.

知識點1 空間直角坐標系
1．空間直角坐標系
(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.
(2)相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
注意點：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系．在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
2．空間一點的坐標、向量的坐標
（1）空間點的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．

注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點
點的位置
x軸上
y軸上
z軸上
坐標的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
點的位置
Oxy平面內(nèi)
Oyz平面內(nèi)
Ozx平面內(nèi)
坐標的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)

（2）空間點的對稱問題
①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．
②對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論．
（3）空間向量的坐標
向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a＝(x，y，z)．

【即學即練1】設{i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標分別是________．
答案：(3,2，－1)，(－2,4,2)
【即學即練2】畫一個正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標系，則
①頂點A，D1的坐標分別為________________；
②棱C1C中點的坐標為________；
③正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為________．
答案?、?0,0,0)，(0,1,1)?、凇、?br /> 【即學即練3】在空間直角坐標系中，已知點P(－2,1,4)．
(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標；
(2)求點P關于Oxy平面對稱的點的坐標；
(3)求點P關于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標．
【解析】(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P1(－2，－1，－4)．
(2)由點P關于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P2(－2,1，－4)．
(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，
由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐標為(6，－3，－12)．
【即學即練4】已知、，設點、在平面上的射影分別為、，則向量的坐標為________．
【解析】點、在平面上的射影分別為、，
∴向量的坐標為．
故答案為：.
【即學即練5】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求向量，，的坐標．
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設＝i，＝j，＝k，

＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，
＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，
∴＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．

知識點2 空間向量的坐標運算
1．空間向量的坐標運算法則
設向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量運算
向量表示
坐標表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
注意點：
(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致．
(2)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．
(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量線性運算的結(jié)果仍是向量，用坐標表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．

2．空間向量相關結(jié)論的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
(1)平行關系：當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)垂直關系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(3)|a|＝＝.
(4)cos〈a，b〉＝＝.
注意點：
(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則＝＝成立的條件是x2y2z2≠0.

3．空間兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝||＝.
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則||＝.
注：空間兩點間的距離公式推導過程
如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，

設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是||＝＝
所以P1P2＝||＝，
因此，空間中已知兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝||＝.
【即學即練6】已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，則a＝________，b＝________，a·b＝________.
【解析】a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴a·b＝1＋0＋3＝4.

【即學即練7】已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________.
【解析】易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
【即學即練8】若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】設，則=k，即，即“”可推出“”；
又若＝時，＝(0，0，0)，雖有成立，但條件顯然不成立，
所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要條件.
故選：A．
【即學即練9】已知，，且，則的值為（）.
A． B．2 C． D．
【解析】，4，，，3，，
，存在實數(shù)使得，
，解得，．．
故選：．
【即學即練10】已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，則x的值為(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．－3
【解析】b－c＝(－2,3,1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.故選A
【即學即練11】已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，則線段AB的長為(　　)
A．4 B．2
C．4 D．3
【解析】|AB|＝＝4.故選A

【即學即練12】在空間直角坐標系中，已知點A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，∴||＝＝，||＝＝，||＝＝，∴||2＋||2＝||2，∴△ABC一定為直角三角形．故選C
【即學即練13】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點．

(1)求BM，BN的長．
(2)求△BMN的面積．
【解析】以C為原點，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖．

則B(0,1,0)，M(1,0,1)，
N.
(1)∵＝(1，－1,1)，
＝，
∴||＝＝，
||＝＝.
故BM的長為，BN的長為.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN.
∵cos∠MBN＝cos〈，〉
＝＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面積為.

考點一空間向量的坐標表示
解題方略：
1．建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點落在坐標軸上．充分利用幾何圖形的對稱性．
2.求某點M的坐標的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．
3.空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點
(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定．
已知空間點的坐標、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量的坐標等于終點坐標減起點坐標．即＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．
(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．
【例1-1】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，則向量在基底{i，j，k}下的坐標是(　　)
A．(1,1,1)　　　　　　　 B.
C．(3,2,5) D．(3,2，－5)
【解析】＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐標是(3,2,5)，故選C.
變式1：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝CD，H為C1G的中點，建立適當?shù)淖鴺讼担?br /> (1)寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標；
(2)寫出向量，的坐標．
【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系．點E在z軸上，它的x坐標、y坐標均為0，而E為DD1的中點，故其坐標為.
由F作FM⊥AD，F(xiàn)N⊥DC，垂足分別為M，N，
由平面幾何知識知FM＝，F(xiàn)N＝，
故F點坐標為.
點G在y軸上，其x、z軸坐標均為0，
又GD＝，故G點坐標為.
由H作HK⊥CG于K，由于H為C1G的中點．
故HK＝，CK＝，∴DK＝，
故H點坐標為.
(2)＝－＝，
＝－＝.

【例1-2】點P(1,1,1)關于Oxy平面的對稱點P1的坐標為______，點P關于z軸的對稱點P2的坐標為________．
【解析】點P(1,1,1)關于Oxy平面的對稱點P1的坐標為(1,1，－1)，點P關于z軸的對稱點P2的坐標為
(－1，－1,1)．

【例1-3】已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，則a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________.
【解析】a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1,0，－1)，2a－3b＝2(1,1,0)－3(0,1,1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1,0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：－2　5
【例1-4】已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標原點，若＝，則點B的坐標應為(　　)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
【解析】＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．故選B

變式1：已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，則點B的坐標為(　　)
A．(－7,10,24)　　　　　 B．(7，－10，－24)
C．(－6,8,24) D．(－5,6,24)
【解析】∵a＝(－3,4,12)，且＝2a，∴＝(－6,8,24)．∵A的坐標為(1，－2,0)，∴＝(1，－2,0)，＝＋＝(－6＋1,8－2,24＋0)＝(－5,6,24)，∴點B的坐標為(－5,6,24)．故選D.
變式2：已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，則C的坐標是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】設點C的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y，z)，又＝(－3，－2，－4)，＝，
所以x＝－，y＝－，z＝－，所以C.故選C
變式3：已知O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求點P的坐標，使：
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
【解析】＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∴－＝(6,3，－4)．
(1)＝(6,3，－4)＝，
則點P的坐標為.
(2)設點P的坐標為(x，y，z)，
則＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，則點P的坐標為.
【例1-5】已知，點Q在直線OP上，那么當取得最小值時，點Q的坐標是（）
A． B． C． D．
【解析】設，
由點在直線上，可得存在實數(shù)使得，
即，可得,
所以,
則，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當時，取得最小值，此時.
故選：C.
考點二空間向量的平行與垂直
解題方略：
解決空間向量垂直、平行問題的有關思路
(1)若有關向量已知時，通常需要設出向量的坐標．例如，設向量a＝(x，y，z)．　　
(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)．例如，已知a∥b，則引入?yún)?shù)λ，有a＝λb，再轉(zhuǎn)化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉(zhuǎn)化為坐標關系，列方程(組)求解．
(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．
【例2-1】已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則(　　)
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
【解析】由題意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在實數(shù)λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴解得
故選B

【例2-2】已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
【解析】依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.故選D

變式1：已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設＝a，＝b.
①設向量c＝，試判斷2a－b與c是否平行？
②若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
【解析】①因為a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，所以2a－b＝(3,2，－2)，
又c＝，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
②因為a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或－.
【例2-3】正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【解析】如圖所示，以D為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由題意，可設點P的坐標為(a，a,1)，
因為3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以點P的坐標為.
由題意可設點Q的坐標為(b，b,0)，
因為PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，解得b＝，
所以點Q的坐標為，
因為＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
【例2-4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G分別是CC1，A1C1，CD的中點．證明：AB1∥GE，AB1⊥EF.
證明：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，由中點坐標公式得E，G，F(xiàn).
∴＝(1,0,1)，
＝，
＝，
∴＝2，
·＝1×＋0＋1×＝0，
∴∥，⊥.
故AB1∥GE，AB1⊥EF.

【例2-5】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求證：AF∥平面BDE；
(2)求證：CF⊥平面BDE.
【證明】(1)設AC與BD交于點G，連接EG.
因為EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形，
所以AF∥EG.
因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz.則C(0,0,0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn).

所以＝，
＝(0，－，1)，＝(－，0,1)．
所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0，
所以⊥，⊥，
即CF⊥BE，CF⊥DE.
又BE∩DE＝E，且BE?平面BDE，DE?平面BDE，
所以CF⊥平面BDE.

考點三利用坐標運算解決夾角、距離問題
解題方略：
1．利用向量數(shù)量積的坐標公式求異面直線所成角的步驟
(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系；
(2)利用已知條件寫出有關點的坐標，進而獲得相關向量的坐標；
(3)利用向量數(shù)量積的坐標公式求得異面直線上有關向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．
2．利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟
(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；
(2)求出線段端點的坐標；
(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．　　　　
（一）夾角問題
【例3-1】已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則與的夾角為(　　)
A．30°　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
【解析】設與的夾角為θ.由題意得＝(－1,1,0)，＝(0,3,3)，∴cos θ＝＝＝，∴θ＝60°，故選C.

變式1：已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，則cos〈a，b〉＝(　　)
A.　　　　B. C. D.
【解析】由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，∴cos〈a，b〉＝＝＝.故選C
【例3-2】若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍是________．
【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，設a，b的夾角為θ，因為θ為鈍角，所以cos θ＝0，|b|>0，所以a·b

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