?1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題

課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1. 會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值；會用向量法求點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.
1. 能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間中的距離與夾角（三角函數(shù)值）的求解.
2. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升平面向量、空間向量的知識相結(jié)合的綜合能力，準(zhǔn)確將平面向量、空間向量的概念，定理等內(nèi)容與平面幾何、空間立體幾何有機(jī)的隔合在一起，提升解決問題的能力，將形與數(shù)，數(shù)與量有機(jī)的結(jié)合起來，為提升數(shù)學(xué)能力奠定基礎(chǔ).




知識點(diǎn)1 空間距離及向量求法
分類
點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)到平面的距離
圖形語言


文字語言
設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直線l上的投影向量為
（＝(a·u)u.），
則PQ＝＝
設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量，
PQ＝＝
注：實(shí)質(zhì)上，n是直線l的方向向量，點(diǎn)P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．
注意點(diǎn)：
(1)兩條平行直線之間的距離：在其中一條直線上取定一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離．
(2)如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點(diǎn)P，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解．
(3)如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解．
【即學(xué)即練1】已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，則點(diǎn)A到直線BC的距離為(　　)
A. B．1 C. D．2


【即學(xué)即練2】在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直線AC的距離．




【即學(xué)即練3】若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是(　　)
A. B. C. D.




【即學(xué)即練4】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)M到直線AC1的距離；
(2)求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離．





【即學(xué)即練5】兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是(　　)
A. B. C. D．3


知識點(diǎn)2　空間角及向量求法
角的分類
向量求法
范圍
異面直線所成的角
設(shè)兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為u，v，則
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
（1） 兩異面直線所成角的范圍是
（2） 兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系．

直線與平面所成的角
設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
(1)線面角的范圍為.
(2)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．

兩平面的夾角
平面α與平面β相交，形成四個二面角，把不大于的二面角稱為這兩個平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
(1)兩個平面的夾角的范圍是
(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．
思考：（1）兩個平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？
平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90° 的二面角稱為平面α與平面β的夾角．二面角的平面角范圍是[0，π]，而兩個平面的夾角的范圍是.
（2） 平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？
兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．
【即學(xué)即練6】若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為(　　)
A. B.
C.或 D．以上均不對

【即學(xué)即練7】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)

A. B. C. D.

【即學(xué)即練8】設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝，則l與α所成的角為(　　)
A. B. C. D.

【即學(xué)即練9】正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為________．


【即學(xué)即練10】如圖所示，點(diǎn)A，B，C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上，＝(0,0,2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2,1,2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cos θ＝________.

【即學(xué)即練11】正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°


【即學(xué)即練12】在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0，－1,3)，(2,2,4)，則這個二面角的余弦值為(　　)
A. B．－
C. D.或－




考點(diǎn)一 用向量法求空間距離
解題方略：
1、用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟
(1)求直線的方向向量．
(2)計算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．

2、求點(diǎn)到平面的距離的四步驟

注：線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．　　　　
【例1-1】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線與l垂直，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為________．

變式1：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則點(diǎn)D1到直線AC的距離為(　　)
A.a B.a C. D.

變式2：如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面B1EF的距離等于(　　)

A. B. C. D.


變式3：如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點(diǎn)P到BD的距離．



變式4：如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足＝＋＋，則P到AB的距離為(　　)

A. B. C. D.


【例1-2】若平面α的一個法向量為n＝(1,2,1)，A(1,0，－1)，B(0，－1,1)，A?α，B∈α，則點(diǎn)A到平面α的距離為(　　)
A．1 B.
C. D.

變式1：已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．求點(diǎn)D到平面PEF的距離．






變式2：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為________．　




變式3：如圖所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱．若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．









變式4：在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，M為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1M＝λ(0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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