高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何1.2 空間向量基本定理精品課堂檢測-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?1.2 空間向量基本定理

課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1. 理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內(nèi)容及含義..
2. 理解基底與基向量的含義，會(huì)用恰當(dāng)?shù)幕蛄勘硎究臻g任意向量.
3. 會(huì)用相關(guān)的定理解決簡單的空間幾何問題.
1.通過對(duì)空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會(huì)用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標(biāo)形式表示空間向量.
2.結(jié)合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關(guān)問題.

知識(shí)點(diǎn)1 空間向量基本定理
1．定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.
注：（1）對(duì)于基底{a，b，c}應(yīng)明確以下三點(diǎn)：
①空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底．基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同．
②基底中的三個(gè)向量a，b，c都不是0.這是因?yàn)?與任意向量共線，與任意兩個(gè)向量共面．由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面，所以若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是零向量．
③空間中的一個(gè)基底是由不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的，是一個(gè)向量組，基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．
（2）空間向量基本定理的推論
設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.
推論表明：可以根據(jù)空間向量基本定理確定空間任一點(diǎn)的位置．

2．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底：空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解．

易錯(cuò)辨析：
（1）構(gòu)成基底的三個(gè)向量中，可以有零向量嗎？不可以．
（2）在四棱錐O-ABCD中，可表示為＝x＋y＋z且唯一，這種說法對(duì)嗎？對(duì)．
【即學(xué)即練1】下列說法正確的是（???????）
A．任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底
B．空間的基底有且僅有一個(gè)
C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D．直線的方向向量有且僅有一個(gè)
【解析】對(duì)于A，任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，兩兩垂直的三個(gè)非零向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C正確；
對(duì)于D，直線的方向向量有無數(shù)個(gè)，所以D錯(cuò)誤.
故選：C

【即學(xué)即練2】設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底，當(dāng){a，b，c}為基底時(shí)，一定有a，b，c為非零向量．因此p?q，q?p.故選B

【即學(xué)即練3】已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是(　　)
A．3a，a－b，a＋2b　　　　　 B．2b，b－2a，b＋2a
C．a(chǎn),2b，b－c D．c，a＋c，a－c
【解析】C

【即學(xué)即練4】【多選】設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列向量組中，可以作為空間一個(gè)基底的向量組有(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
【解析】如圖所示，令a＝，b＝，c＝，

則x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝，由于A，B1，C，D1四點(diǎn)不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．

【即學(xué)即練5】在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．用向量a，b，c表示，；
【解析】如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，

＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝－＝(a－c)＝a－c.

知識(shí)點(diǎn)2 證明平行、共面問題
1. 對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
2. 如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.
3．直線平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題．
【即學(xué)即練6】如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.

求證：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
【證明】因?yàn)椋剑?br /> ＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋＝＋，
所以，，共面，所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

知識(shí)點(diǎn)3 夾角、垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.
注：區(qū)分向量的夾角與異面直線所成的角的范圍．

【即學(xué)即練7】在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且CG＝CD.

(1)證明：EF⊥B1C；
(2)求EF與C1G所成角的余弦值．
【解析】(1)證明　設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k，
則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個(gè)正交基底．
所以＝＋＝－k＋(＋)
＝i＋j－k，＝＋＝－i－k，
所以·＝·(－i－k)
＝－|i|2＋|k|2＝0，
所以EF⊥B1C.
(2)解　∵＝i＋j－k，＝＋＝－k－j，
||2＝2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，||＝，
||2＝2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，
∴cos〈，〉＝，
＝＝＝.
即EF與C1G所成角的余弦值為.

知識(shí)點(diǎn)4 距離(長度)問題
＝( ＝ )．
【即學(xué)即練8】已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，．

(1)求；
(2)求．
【解析】(1)設(shè)，，，
由題意得：，，，，，，
；
(2)

考點(diǎn)一空間向量基本定理的理解
解題方略：
判斷基底的方法
(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底．如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進(jìn)行判斷．
(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷．
【例1-1】已知能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下面的各組向量中，不能構(gòu)成空間基底的是（???????）
A． B． C． D．
【解析】由圖形結(jié)合分析，三個(gè)向量共面，不構(gòu)成基底，

故選：C

變式1：已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個(gè)基底．
【解析】假設(shè)，，共面．
則存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程組無解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作為空間的一個(gè)基底．

變式2：設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．給出下列向量組：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作為空間的基底的向量組有________個(gè)．
【解析】如圖所設(shè)a＝，b＝，c＝，則x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D1，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作為基底．
答案：3

變式3：已知O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的是(　　)
A. B. C. D.或
【解析】∵＝(a－b)，∴與a，b共面，∴a，b，不能構(gòu)成空間基底．故選C

變式4：已知是空間的一個(gè)基底，向量，，，若能作為基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【解析】若，，共面，由共面向量定理知，存在實(shí)數(shù)x，y，使得，
即．因?yàn)?，，不共面，所以，，，解得，，，即?dāng)時(shí)，，此時(shí)不能作為基底，所以若能作為基底，則實(shí)數(shù)滿足的條件是．
故選：B

變式5：若向量，，的起點(diǎn)M與終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，且滿足下列關(guān)系(O是空間任一點(diǎn))，則能使向量，，成為空間一組基底的關(guān)系的是(　　)
A．＝＋＋
B．≠＋
C．＝＋＋
D．＝2－
【解析】A中，因?yàn)椋?，所以M，A，B，C共面；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四點(diǎn)可能共面；D中，因?yàn)椋?－，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面．故選C.

考點(diǎn)二空間向量基本定理的應(yīng)用
解題方略：
用基底表示向量的策略
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行．
(2)若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．　　　
（一）用基底表示空間向量
【例2-1】如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)．用向量，，表示和.

【解析】＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
＝＋
＝＋＋＋
＝＋＋.
變式1：四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且＝2，N為BC中點(diǎn)，則為(　　)
A.a－b＋c B.－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
【解析】＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝
－a＋b＋c.故選B

變式2：如圖所示，正方體OABC-O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量，；
(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
【解析】(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a.
(2)法一：連接OG，OH(圖略)，
則＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)
＝(c－b)．
法二：連接O′C，則＝＝(－)
＝(c－b).

變式3：如圖，在四面體ABCD中，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，以{，，}為基底，則＝________.

【解析】如圖，連接AG延長線交BC于點(diǎn)M，連接AE，則＝－＝＋－＝＋(－)－×(＋)＝－－＋.
答案：－－＋

（二）用基底法求空間向量的數(shù)量積
【例2-2】如圖，已知四面體ABCD的每條棱長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c，a，b，c為空間向量的一組基底．計(jì)算·.
【解析】因?yàn)樗拿骟wABCD的每條棱長都等于1，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以＝＝(－)＝(c－a)，所以·＝(c－a)·(－a)＝[－a·c＋(－a)·(－a)]＝×＝.

變式1：在棱長為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足＝x＋y－(x＋y－1)，點(diǎn)N滿足＝λ＋(1－λ)，當(dāng)AM，BN最短時(shí)，·等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
【解析】由共面向量基本定理和空間向量基本定理可知，M∈平面BCD，N∈直線AC，當(dāng)AM，BN最短時(shí)，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，∴M為△BCD的中心，N為AC的中點(diǎn)，即2||＝＝，∴||＝，
∵AM⊥平面BCD，MC?平面BCD，∴AM⊥MC，
∴||＝＝＝.
又＝(＋)，∴·＝(·＋·)＝－||2＝－.

（三）利用空間向量基本定理求參數(shù)

【例2-3】已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m與n共線，則x＝________；y＝________.
【解析】因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，
于是有解得
答案：2?。?

變式1：若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________．
【解析】若x≠0，則a＝－b－c，即a與b，c共面．由{a，b，c}是空間的一個(gè)基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
答案：x＝y(tǒng)＝z＝0

變式2：正方體ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點(diǎn)，以{，，}為基底，′＝x＋y＋z，則x，y，z的值是(　　)
A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝
C．x＝y(tǒng)＝z＝ D．x＝y(tǒng)＝z＝2
【解析】′＝′＋＋
＝(＋)＋(′＋)＋(′＋)
＝＋′＋′
＝＋＋，
由空間向量基本定理，得x＝y(tǒng)＝z＝1.故選A

變式3：點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點(diǎn)，且＝，＝，則滿足＝x＋y＋z的實(shí)數(shù)x，y，z的值分別為________．
【解析】取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，

比較知x＝－，y＝－，z＝.

變式4：已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為(　　)
A. B.
C. D.
【解析】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，＝(＋)＝(－2＋)，＝＝(－2＋)，

∵＝3，
∴＝＝(＋)
＝
＝＋＋.
∴x＝，y＝，z＝.

考點(diǎn)三用向量法證明平行、共面問題
解題方略：
證明平行、共面問題的思路
(1)利用向量共線的充要條件來證明點(diǎn)共線或直線平行．要證兩直線平行，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量滿足a＝λb即可．
(2)利用空間向量基本定理證明點(diǎn)線共面或線面平行．
【例3-1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，則λ＝________.
【解析】如圖，連接A1C1，C1D，
則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，
易知EF//A1D，∴＝，即－＝0，∴λ＝－.
答案：－

【例3-2】如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點(diǎn)，請(qǐng)選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明：

(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C.
【證明】取基底{，，}，
(1)因?yàn)椋剑剑剑?，
所以∥，
又EG，AC無公共點(diǎn)，所以EG∥AC.
(2)因?yàn)椋剑剑?，＝＋?，
所以∥，
又FG，AB′無公共點(diǎn)，所以FG∥AB′.
又FG?平面AB′C，AB′?平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C.
又由(1)知EG∥AC，
可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C.
考點(diǎn)四用向量法解決立體幾何的垂直、夾角問題
解題方略：
求夾角、證明線線垂直的方法
1、要證兩直線垂直，由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0可知，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．
2、利用數(shù)量積定義可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，進(jìn)而求得線線角，兩直線垂直可作為求夾角的特殊情況．
【例4-1】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G，G1分別是棱CC1，BC，CD，A1B1的中點(diǎn)．求證：

(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF;(3)A1G⊥DF;(4)求DE與AD1所成角的余弦值.
【證明】設(shè)＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0.
(1)因?yàn)椋絙＋c，＝＋＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c，
所以·＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，
所以⊥，所以AD1⊥G1G.
(2)因?yàn)椋絙＋c，＝－＝－＝－b－c，所以＝－，所以EF∥AD1.
(3)證明：因?yàn)椋剑剑璫＋b＋a，＝＋＝a－b，所以·＝·＝a2－b2＝0，
所以⊥，所以A1G⊥DF.
(4)因?yàn)椋絙＋c，＝a＋c，所以cos〈，〉＝＝＝，所以AD1與DE所成角的余弦值為.

【例4-2】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點(diǎn)．
證明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；
②A1G⊥平面EFD.
證明?、僭O(shè)正方體棱長為1，＝i，＝j(luò)，＝k，

則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底．
＝＋＝i＋k，
＝＋＝i＋k＝，
∴AB1∥GE.
＝＋＝k＋(i＋j)
＝－i－j＋k，
∵·＝(i＋k)·
＝－|i|2＋|k|2＝0，
∴AB1⊥EH.
②＝＋＋＝－k＋j＋i.
＝＋＝i－j，＝＋＝i＋k.
∴·＝·
＝－|j|2＋|i|2＝0，
∴A1G⊥DF.
·＝·＝－|k|2＋|i|2＝0，
∴A1G⊥DE.
又DE∩DF＝D，DE，DF?平面EFD，
∴A1G⊥平面EFD.

【例4-3】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為__________.

【解析】如圖所示，

設(shè)＝a，＝b，＝c，則〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，
因?yàn)椋剑剑璦＋c，＝＋＝b＋c，
|cos〈，〉|＝＝＝
＝＝＝.

變式1：已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1與AB，AC都成60°角，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
【解析】設(shè)＝a，＝b，＝c，
則a·b＝0，a·c＝2，b·c＝2，
＝a＋c，＝b＋c－a，·＝a·b＋b·c＋c2－a2＝2，
||＝＝＝2，
||＝
＝＝2，
所以cos〈，〉＝＝.

題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1、①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個(gè)基底；
②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；
③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面；
④已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底．顯然②正確．③中由，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，知，，共面．又，，過相同點(diǎn)B，知A，B，M，N四點(diǎn)共面．下面證明①④正確：假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，從而c＝a＋b，∴c與a，b共面，與條件矛盾，∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．于是①②③④四個(gè)命題都正確，故選D.
2、已知O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有（???????）
A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點(diǎn)共線
C．與共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面
【解析】由于向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底知，，共面，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共面，故選：D
3、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)O為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c，則向量可用a，b，c表示為(　　)

A．a(chǎn)－b＋2c B．a(chǎn)－b－2c C．－a＋b＋c D.a－b＋c
【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c.故選D

4、在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若{，，}是空間的一個(gè)基底，則下列命題不正確的是(　　)
A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線
B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線
C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面
D．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線
【解析】選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)的命題是正確的，若四點(diǎn)共線，則向量，，共面，構(gòu)不成基底；選項(xiàng)B對(duì)應(yīng)的命題是錯(cuò)誤的，若四點(diǎn)共面，則，，共面，構(gòu)不成基底；選項(xiàng)C對(duì)應(yīng)的命題是正確的，若四點(diǎn)共面，則，，構(gòu)不成基底；選項(xiàng)D對(duì)應(yīng)的命題是正確的，若有三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)共面，向量，，構(gòu)不成基底．故選B
5、正四面體棱長為2，，，分別是，，的中點(diǎn)，則的值為（???????）
A． B．1 C．2 D．4
【解析】如圖，設(shè)，，，

則，
又，
，
∴.
故選：B.
6、正方體的棱長為a，，N為的中點(diǎn)，則（???????）
A． B． C． D．
【解析】因?yàn)?，所以，而N為的中點(diǎn)，
所以．
故．
故選：C．
7、已知空間向量，，不共面，且，則x，y，z的值分別是（???????）
A．2，1，2 B．2，1，
C．1，，3 D．l，，3
【解析】由題設(shè)知：，解得.故選：C
8、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，A1C1與B1D1的交點(diǎn)為E，則＝________.
【解析】如圖，＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c

9、已知三棱柱，點(diǎn)在線段上，且，則（???????）
A． B．
C． D．
【解析】由題意得：，，，
故

故選：D
10、如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，，則（???????）

A．
B．
C．
D．
【解析】
，
故選：D．

題組B 能力提升練
11、在棱長為1的正四面體ABCD中，直線AB與CD(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．無法判斷位置關(guān)系
【解析】＝－，所以·＝·(－)＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，故⊥，即直線AB與CD垂直．
12、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DC，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是(　　)

A．0 B.
C. D.
【解析】取空間中一組基底：＝a，＝b，＝c，
根據(jù)題意可得，
·＝·
＝c2 －b2 －a2＝×4－1－×4＝0，從而得到和垂直，故其所成角的余弦值為0.
13、在平行六面體中，若，則的值等于（???????）
A． B． C． D．
【解析】在平行六面體中，，如圖，

則有，而，且不共面，
于是得，即，則，
的值等于
故選：D
14、已知A?B?C?D?E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的（???????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】若平面ABC，則共面，故存在實(shí)數(shù)x?y，使得.
若存在實(shí)數(shù)x?y，使得，則，，共面
則平面ABC或平面ABC.
所以“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的充分而不必要條件.
故選：A.
15、若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，當(dāng)d＝αa＋βb＋γc時(shí)，α＋β＋γ＝________.
【解析】由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
又d＝e1＋2e2＋3e3，
所以
故有α＋β＋γ＝3.
16、如圖所示，在正方體OABC－O1A1B1C1中，點(diǎn)G為△ACO1的重心，若＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，則x＋y＋z＝________.

【解析】易知△ACO1為正三角形，連接OB，設(shè)AC，BO相交于點(diǎn)M，連接O1M，如圖所示，顯然點(diǎn)G在線段O1M上，且滿足＝2，有－＝2(－)，得＝＋，即＝×(＋)＋＝＋＋＝a＋b＋c，可得x＋y＋z＝1.

17、在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在棱BB1，BC，BA上，且滿足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE與平面B1BDD1的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)＝x＋y＋z，則x＋y＋z等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】因?yàn)椋絰＋y＋z＝x＋y＋，O在平面B1GF內(nèi)，所以x＋y＋＝1，
同理可得＋＋z＝1，解得x＋y＝，z＝.所以x＋y＋z＝.故選B

18、正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點(diǎn)，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為________．
【解析】如圖，畫出對(duì)應(yīng)的正四面體，取空間中一組基底：＝a，＝b，＝c，設(shè)棱長均為1，

因?yàn)椋剑?br /> ＝－c＋(a＋b)
＝(a＋b－2c)，
又＝－＝a－b＝(a－2b)．
又a·b＝a·c＝b·c＝.
設(shè)異面直線DM與CN所成的角為θ，則cos θ＝＝
＝
＝＝.

題組C 培優(yōu)拔尖練
19、如圖所示的平行六面體中，已知，，N為上一點(diǎn)，且 .若，則的值為 ________ ；若M為棱的中點(diǎn)，平面，則的值為 ________ .

【解析】①取空間中一組基底：，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以，所以，所以；
②在上取一點(diǎn)使得，連接，

因?yàn)榍?，所以?br /> 又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，且?br /> 所以平面平面，所以平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫妫?br /> 所以，所以，
所以，所以.
故答案為：，.
20、如圖所示，已知四面體ABCD的各棱和對(duì)角線的長都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．
(1)求證MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長．
【解析】(1)證明：設(shè)＝p，＝q，＝r，
由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量的兩兩夾角均為60°.
＝－＝(＋)－
＝(q＋r－p)，
·＝(q＋r－p)·p＝(p·q＋p·r－p2)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0，
∴⊥，即MN⊥AB，同理可證MN⊥CD.
(2)由(1)可知＝(q＋r－p)，
∴||2＝(q＋r－p)2
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝＝×2a2＝，
∴|MN|＝a，∴MN的長為a.
21、如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC.

【證明】如圖，連接BD，則BD過點(diǎn)O，

令＝a，＝b，＝c，
設(shè)|a|＝|b|＝|c|＝1，
∵＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c .
∴·＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c
＝－＝0.
∴⊥，即AC⊥OB1.
又＝＋＝b＋c，
∴·＝·
＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2
＝－＋＝0，
∴⊥，即OB1⊥AP.
又AC∩AP＝A，AC，AP?平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
22、如圖，正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c分別表示向量，；
(2)求異面直線DM與CN所成角的余弦值．
【解析】(1)＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝[(a－c)＋(b－c)]＝(a＋b－2c)，＝(＋)＝[(－)－]＝[(a－b)－b]＝(a－2b)．
(2)設(shè)正四面體的棱長為1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，則||＝||＝.
又·＝(a＋b－2c)·(a－2b)
＝(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴異面直線DM與CN所成角的余弦值為.
23、在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
(1)求證：DE∥平面ACF；
(2)求證：BD⊥AE；
(3)若AB＝CE，在線段EO上是否存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】設(shè)＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)證明：依題意得＝c－b，＝a＋b，＝a＋c，設(shè)＝x＋y (x，y∈R)，則c－b＝x(a＋b)＋y＝a＋xb＋yc，
因此解得
從而，，共面，又直線DE不在平面ACF內(nèi)，因此DE∥平面ACF.
(2)證明：依題意得＝b－a，＝c－a－b，則·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0，因此⊥，從而BD⊥AE.
(3)由AB＝CE，設(shè)|a|＝|b|＝2，則|c|＝，假設(shè)在線段EO上存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE，由O，G，E三點(diǎn)共線，設(shè)＝(1－λ)＋λ＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)，
由CG⊥平面BDE知CG⊥DE，
而＝c－b，
因此·＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝，即點(diǎn)G是線段EO的中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)＝.

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