高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊1.1 空間向量及其運算精品達(dá)標(biāo)測試-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算

課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1．會進(jìn)行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運算.
1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運算、數(shù)量積的運算、夾角的相關(guān)運算及空間距離的求解.

知識點1 空間向量的夾角
定義
如圖，已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉

范圍
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b
拓展提升：
（1）當(dāng)兩個非零向量同向時，它們的夾角為多少度？反向時，它們的夾角為多少度？
只有兩個非零空間向量才有夾角，當(dāng)兩個非零空間向量共線同向時，夾角為0，共線反向時，夾角為π.
（2）〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它們有什么關(guān)系？
對空間任意兩個非零向量a，b有：
①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．

【即學(xué)即練1】在正四面體ABCD中，與的夾角等于(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
【解析】〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.故選D

知識點2 空間向量的數(shù)量積運算
1．(1)空間向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(2)運算律
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律
(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交換律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c

2.投影向量及直線與平面所成的角
(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．
(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．

注意點：
(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.
(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，其符號由夾角θ的范圍決定．
①當(dāng)θ為銳角時，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0.
②當(dāng)θ為鈍角時，a·b