拓展一：利用空間向量計算空間中距離的四種類型（人教A版2019選擇性必修第一冊）講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?拓展一：利用空間向量計算空間中距離的四種類型

空間距離包括空間中點到點的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、直線與直線之間的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離.有些空間距離問題較為復(fù)雜，僅根據(jù)立體幾何中的公式、定理、性質(zhì)，很難快速求得空間距離.此時，我們可根據(jù)立體幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點，建立空間直角坐標系，分別求得各個點的坐標、線段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空間距離.

知識點1 空間中距離的定義及分類
1、定義
（1）點到點的距離，是指兩點之間線段的長度.
（2）點到直線的距離，是指點與直線之間垂線段的長度.
（3）兩條平行直線之間的距離，是指其中一條直線上任意一點與另一直線之間垂線段的長度.
（4）點到平面的距離，是指點與平面之間垂線段的長度.
（5）相互平行的直線與平面之間的距離，是指直線上任意一點與平面之間垂線段的長度.
（6）兩個平行平面之間的距離，是指其中一個平面上任意一點與另一平面之間垂線段的長度.
（7）異面直線之間的距離，是指兩條異面直線之間公垂線段的長度.
注：①和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線;②公垂線與兩條直線相交的點所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段;③兩條異面直線公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離.
④公垂線段是異面直線上任意兩點的最小距離

2、分類情況
（1）點到點的距離;
（2）點到直線的距離，包括點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離;
（3）點到平面的距離，包括點到平面的距離、相互平行的直線與平面之間的距離以及兩個平行平面之間的距離;
（4）異面直線之間的距離.

知識點2 利用空間向量計算空間中距離的四種類型及方法
（1）點到點的距離
方法：由已知兩點分別作為起點和終點得出向量，計算該向量的模，即為點到點的距離
具體步驟：①確定點A為起點，點B為終點，得出向量；
②計算；
③距離
（2）點到直線的距離
方法1：過點P向直線作垂線，垂足為點Q，計算即為點P到直線的距離
具體步驟：①在直線上作點Q，使得；②作出；③計算；④距離

方法2：作直線上的一個方向向量，計算在方向向量上的投影，在通過勾股定理計算出的長度，即為點到直線的距離
具體步驟：①在直線上取定兩點A，B，得出向量，；
②計算在上的投影；③利用勾股定理計算；④距離

（3）點到平面的距離
方法：如圖，在平面內(nèi)取點A得出向量，計算平面的一個法向量，再計算在上的投影的絕對值，即為點到平面的距離
具體步驟：①在平面內(nèi)取點A的出向量；②利用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，計算出平面的一個法向量；③計算在上的投影；④

（4）異面直線之間的距離
如圖，設(shè)是異面直線，是的公垂線段的方向向量，又分別是上的任意兩點，則在上投影的絕對值即為之間的距離.
具體步驟：①在直線上取點A，C，在直線上取點B，D；②通過和計算公垂線段的方向向量；③計算在上的投影；④

注：在立體幾何中，求點到平面的距離、異面直線的距離、直線到平面的距離（此時直線與平面不相交）、兩個平行平面的距離有一個統(tǒng)一的公式，其中兩點A，B分別在兩個圖形上，指平面的一個法向量（求兩條異面直線的距離時，與這兩條異面直線的方向向量均垂直）.

考點一點到點的距離
【例1-1】如圖，正方體的棱長為1，M是棱的中點，O是的中點．求證：OM分別與異面直線，垂直，并求OM的長．

【解析】

如圖建立空間直角坐標系，
則，
所以，
因為，
所以
.

【例1-2】如圖，正方體的棱長等于4，點是棱的中點．

(1)求直線與直線所成的角余弦值；
(2)若底面上的點滿足平面，求線段的長度．
【解析】(1)如圖以D為坐標原點，以為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則，
所以，，
設(shè)直線與直線所成的角為，
則,
(2)假設(shè)在底面上存在點，使得平面，設(shè)，
因為，
所以，
由得，，
即，解得，即，
所以，，
故線段的長度為.

考點二點到直線的距離
【例2-1】在空間直角坐標系中，點，則到直線的距離為__________．
【解析】依題意得，
則到直線的距離為
故答案為：

變式1：已知在正方體中，棱長為2，E為的中點.則點到直線的距離為____.
【解析】如圖，建立空間直角坐標系，

則，故，
，
，
點到直線的距離為.
故答案為：

變式2：如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，E為的中點.

（1）求異面直線與間的夾角的余弦值：
（2）在側(cè)面找一點N，找平面，并求出到的距離.
【解析】（1）分別以A為原點，，，為x?y?z建立空間直角坐標系.
可得，，，，
從而，，設(shè)與的夾角為，有：

所以異面直線與間的夾角的余弦值為
（2）由于N點在面中，故設(shè)其坐標為.
則.由面得：
或，解得，即
所以，令與得夾角為.
則，
因此N到的距離

變式3：如圖所示，邊長為2的正方形和高為2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．

(1)求和面所成的角的正弦；
(2)求點C到直線的距離；
【解析】（1）因為、、兩兩垂直，建立如圖坐標系，

則，，，，，
則
設(shè)平面的法向量，
則令，則，，所以，
向量和所成角的余弦為．
即和面所成的角的正弦值為．
(2)因為，，所以，，，所以點C到直線的距離

變式4：如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求點到直線的距離；
【解析】（1）證明：取的中點，連接，，
因為四邊形為矩形，
則且，
因為，分別是，的中點，
則且，
又是正方形的中心，
則，
所以且，
則四邊形是平行四邊形，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，，所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，不妨令，則，
因為平面，
則平面的一個法向量為，
所以，
則二面角的正弦值為；
（3）解：因為，，，
則，，
所以，
所以點到直線的距離為；

考點三點到平面的距離
【例3-1】已知經(jīng)過點的平面的法向量為，則點到平面的距離為（???????）
A． B．2 C． D．
【解析】依題意，，所以點P到平面的距離為.
故選：D

【例3-2】如圖，已知四棱錐中，平面，，，且，，是的中點.

（1）求異面直線與所成角的大?。?br /> （2）求點D到平面的距離.
【解析】（1）如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標系，
則，，，故，，
，即，
故異面直線與所成角為；

（2）在平面中，∵，，∴，
∵，∴，由得，
∴，又∵，∴，又∵平面，
∴是平面的一個法向量，所以點D到平面的距離

變式1：在二棱柱中，平面平面，，四邊形為菱形，且，，分別是棱，的中點，.

（1）求異面直線和所成角的余弦值；
（2）求到平面的距離.
【解析】取的中點，連接，，，則，又，所以，
由題意知為等邊三角形，又點為的中點，所以.
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，4分
所以，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系(如圖)，則，，，，，，
所以，，，，.

（1）設(shè)異面直線和所成角為，則.
（2）設(shè)平面的法向量為，則即
令，得，，所以，
所以點到平面的距離.

變式2：如圖，三棱柱中，面面，．過的平面交線段于點（不與端點重合），交線段于點．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】(1)在三棱柱中，，平面，平面，則平面，又平面平面，平面，于是得，
而平面平面，平面平面，平面平面，則，
所以四邊形為平行四邊形.
(2)在平面內(nèi)過點A作，因平面平面，平面平面，
于是得平面，又，以點A為原點，建立如圖所以的空間直角坐標系，

因，，則，
，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
點B到平面的距離，解得，
因此，，而，設(shè)直線與平面所成角為，
于是得，
所以直線與平面所成角的正弦值為.

變式3：如圖，在四棱錐中，∥,，,為邊的中點，異面直線與所成的角為90°．

(1)在直線上找一點，使得直線平面PBE，并求的值；
(2)若直線CD到平面PBE的距離為，求平面PBE與平面PBC夾角的余弦值．
【解析】(1)∥,，,為邊的中點，所以四邊形是正方形，
因為,異面直線與所成的角為90°,
所以,
又因為在平面內(nèi)相交，
所以平面,建立如圖所示的坐標系：

設(shè)，,則，
令，
因為，，
所以是平面PBE的法向量.
要使平面PBE，
只需，
解得：；
(2),
因為∥,
又因為平面PBE, 平面PBE,
所以∥平面PBE,
所以到平面PBE的距離等于點到平面PBE的距離，
于是，
解得：，
所以,,
令，
因為，
所以是平面的法向量，
由(1)可知平面的法向量，
因為平面與平面的夾角為銳角，
所以平面PBE與平面PBC夾角的余弦值為：.

考點四異面直線之間的距離
【例4-1】定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（???????）
A． B． C． D．
【解析】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，
則，，
設(shè)和的公垂線的方向向量，
則，即，令，則，
，
.
故選：D.

變式1：如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截而得，其中，，，，若如圖所示建立空間直角坐標系.

（1）求異面直線與所成的角；
（2）求點到截面的距離.
【解析】（1）由題意知，，，，
∴，
，，，
∴，
∴異面直線與所成的角為.
（2）設(shè)平面的一個法向量，
∵，，
∴令，則，，
∴，
又∵，∴，
∴點到平面的距離.

變式2：如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點.

(1)求證：，.
(2)求證：是異面直線與的公垂線段.
(3)求異面直線與的距離.
【解析】(1)以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.
則，，，，，，，，,,.
所以，，.
因為，所以，即；
因為，所以，即；

(2)因為，，.
所以，所以，即;
，所以,即.
又,
所以是異面直線與的公垂線段.
(3)由（2）可知：是異面直線與的公垂線段，
所以異面直線與的距離即為.
即異面直線與的距離為.

題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1、長方體中，，，則點B到平面的距離為________．
【解析】在長方體中，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，

因為，，所以，，，，，，
設(shè)平面的法向量為：
，
，令得：
又
點B到平面的距離為：.
故答案為：.

2、如圖，在正方體中，棱長為2，為的中點.

(1)求到平面的距離.
(2)若面，求.
【解析】(1)如圖，以A為坐標原點，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則 ,
因為正方體中，平面,
所以平面,則到平面的距離即為到平面的距離，
而，
設(shè)平面的法向量為，則 ,
即，令，則，
故，故到平面的距離，
即到平面的距離為；
(2) ,
由題意可得.

3、設(shè)在直三棱柱中，，，依次為的中點.

（1）求異面直線所成角的大小（用反三角函數(shù)表示）
（2）求點到平面的距離.
【解析】

（1）如圖所示，以點為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸建立空間直角坐標系，，
，，則；
（2），，設(shè)平面的法向量為，則有，令，解得，則，
，點到平面的距離為

4、在直三棱柱中，，，點，分別為，的中點.

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成的角；
(3)求點到平面的距離.
【解析】(1)以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

，，，，，，，
∵，
∴
∴
∴；
(2)設(shè)平面的法向量為
，
由
令，則，
∴平面的一個法向量為
由
設(shè)直線與平面所成角為

∴直線與平面所成角為；
(3)點到平面的距離.

5、在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點為棱的中點．

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點到平面的距離．
【解析】（1）證明：連接，交于點，又，分別為和的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面；

（2）直線平面，平面，所以，
由題意得，，
所以以為原點，，，所在直線為，，軸，
建立空間直角坐標系，
，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，，，解得，
設(shè)直線與平面所成角的正弦值，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值；
（3）由（2），，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，
所以平面的法向量，
則點到平面的距離，
所以到平面的距離1．

6、如圖，在四棱錐中，平面，.

（1）求A到平面的距離；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）設(shè)E為棱上的點，滿足異面直線與所成的角為，求的長.
【解析】(1)在四棱錐中，平面，，
以A為原點，射線、、分別為x、y、z軸的非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，

因，則，
于是得.
設(shè)為平面的一個法向量，則，令，得，
所以A到平面的距離；
(2)由(1)知，平面的一個法向量，而平面的一個法向量，
于是得，顯然平面與平面夾角為銳角，
所以平面與平面夾角的余弦值是；
(3)因E為棱上的點，設(shè)，則，而，
又異面直線與所成的角為，則，解得，
所以的長為.

7、如圖，內(nèi)接于，為的直徑，，，，且平面，為的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求異面直線與所成的角；
(3)求點到平面的距離．
【解析】(1)依題意是圓的直徑，∴，
由于平面，∴，
以C為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系：

，
設(shè)是平面的法向量，
則，故可取．
，
設(shè)是平面的法向量，
則，故可取，
，∴平面平面．
(2)，
設(shè)直線與直線所成角為，
則；
(3)，平面的法向量為，
∴平面，∴到平面的距離為．

8、在直三棱柱中，，，，點是的中點．

（1）求異面直線，所成角的余弦值；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求異面直線與的距離．
【解析】以，，為，，軸建立按直角坐標系，
則各點的坐標為，，，．如圖：

（1）所以，，
所以．
故異面直線和所成角的余弦值為．
（2），，設(shè)平面的法向量為．
則即，取，得．
設(shè)直線與平面所成角為，則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
（3）連接交于點，連接，易得，
所以平面，故點到平面的距離即為所求異面直線距離．
記點到平面的距離為，則．
所以異面直線與的距離為．

9、如圖，在三棱柱中，平面，，，且為線段的中點，連接，，.

(1)證明：；
(2)若到直線的距離為，求平面與平面夾角的余弦值.
【解析】(1)證明：因為平面，平面，所以；
因為，所以；
因為，平面，所以平面；
因為平面，所以.
(2)以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系.

則，，，
設(shè)，，，
因為若到直線的距離為，
即，解得.
故，，，
，，，.
設(shè)平面的法向量為，則，
所以，不妨取.
設(shè)平面的法向量為，則，
所以，不妨取.
設(shè)平面與平面夾角為，則，
即平面與平面夾角的余弦值為.

題組B 能力提升練
1、平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，∥，，且為的中點.

(1)求證：；
(2)求點到平面的距離；
(3)若直線上存在點，使得直線所成角的余弦值為，求直線與平面成角的大小.
【解析】(1)中，，
由余弦定理得，，
，，
平面平面，平面平面＝，平面，
平面，.
(2)以A為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，
∴點到平面的距離；
(3)，，，，
設(shè)點坐標，，
∵E、H、F三點共線，∴，
，∴，
∴，
解得，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，
設(shè)直線與平面成的角為，
，
∴直線與平面成的角為.

2、如圖，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，點為棱的中點．

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判斷直線與平面是否相交，如果相交，求出到交點的距離；如果不相交，求直線到平面的距離．
【解析】(1)證明：因為，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
(2)證明：因為平面，平面，所以，
又，所以兩兩互相垂直.?????
如圖以A為原點，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

由，
可知，，，，，
則，，，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，令，則，所以，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，令，則，所以，
則，
易知二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
(3)由，???得，
因為，
所以與平面不平行，所以直線與平面相交，
在四邊形中延長交的延長線于點.
點就是直線與平面的交點，
易知，所以.

3、如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，且是的中點.

(1)求點到平面的距離；
(2)設(shè)為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.
【解析】(1)以點為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，則，
，
因為為的中點，則
因為
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
故，
所以，
設(shè)點到平面的距離為，
則，
所以點到平面的距離為；
(2)由題意，設(shè)，其中，
則，
所以，
又是平面的一個法向量，
因為直線和平面所成角的正弦值為，
則，
整理可得，
又，解得
故線段的長為.

4、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點.

（1）求異面直線與間的距離；
（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使平面，并求出N到AB和AP的距離.
【解析】（1）由題意得AB⊥AD，PA⊥AD，PA⊥AB.
以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則A(0，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，B(，0，0)，
∴=(，1，0)，=(，0，-2)，=(0，0，2)，
設(shè)異面直線AC、PB的公垂線的方向向量為，則，，
∴令x=1，則y=-，z=，即.
設(shè)異面直線AC、PB之間的距離為d，
則d===.
（2）設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)存在一點N(a，0，c)，使NE⊥平面PAC，
由（1）知E，
∴=，
∴,
解得,
∴，
∴N到AB的距離為，N 到AP的距離為.

5、如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，，，點為棱的中點.

（1）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；
（2）若，二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.
【解析】（1）在棱上存在點，使得平面，點為棱的中點.
證明：取的中點，連結(jié)、，
由題意，且，且，
故且.
四邊形為平行四邊形.
，又平面，平面，
平面；

（2）取中點，
因為底面為菱形，所以，
又，且，
所以平面，即.
又，即，而
所以平面.又，
所以為正三角形，即，也即
所以，，兩兩互相垂直（需寫出證明過程）.
以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系.
設(shè)，則，，，，.
所以，.
設(shè)平面的一個法向量為.
由，取，得；
取平面的一個法向量為.
由題意，，解得.
.
設(shè)點到平面的距離為，則.
即點到平面的距離為

題組C 培優(yōu)拔尖練
1、【多選】如圖，四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分別是的中點，M是棱SD上的動點，則下列選項正確的是（???????）

A．
B．存在點M，使平面SBC
C．存在點M，使直線OM與AB所成的角為30°
D．點M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值
【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系（如圖），
設(shè)，則，
由M是棱SD上的動點，設(shè)，
，
，
，故A正確；
當為的中點時，是的中位線，
所以，
又平面，平面，
所以平面，故B正確；
，
若存在點M，使直線OM與AB所成的角為30°，
則，
化簡得，方程無解，故C錯誤；
點M到平面ABCD的距離，
點M與平面SAB的距離，
所以點M到平面ABCD與平面SAB的距離和為，是定值，故D正確；
故選：ABD

2、如圖，在三棱錐，，，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點．

（1）求直線BF與平面ABC所成角的正弦值；
（2）給出以下定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段．兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離．根據(jù)以上定義可知，公垂線段的長度也可以看作是兩條異面直線上任意兩點連線的方向向量在公垂線的方向向量上的投影向量的長度．
請根據(jù)以上定義和理解，求異面直線SE，BF的距離d．
【解析】（1）連接EF，EC，由題知，SE是等腰三角形SAB底邊AB上的中線，
∴．
同理，．∴平面SEC，∴．
同理，平面ABF．?????????????
作平面ABF，分別以EB，EF，EG為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
由題知，，，
∴，，，，，．
設(shè)是平面ABC的法向量，則，
即，?。???????
，
∴直線BF與平面ABC所成角的正弦值為．???????
（2）設(shè)是異面直線SE，BF的公垂線的方向向量，
由，同（1）可求得．?????????????
由題知，異面直線SE，BF的距離等于在方向上的投影向量的長度，即
．
∴異面直線SE，BF的距離．?????????????

3、在三棱錐中，，，.記的中點為，的中點為，則異面直線與的距離為______.
【解析】三棱錐的三組對棱分別相等，因此三棱錐的外接平行六面體為長方體，將三棱錐放在長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，，，且即解得
因此以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，，，，，.
，.
設(shè)垂直于和，所以
令，則，，所以.
又，所以異面直線與的距離.
故答案為：

4、如圖，將邊長為的等邊三角形沿與邊平行的直線折起，使得平面平面，為的中點.

（1）求平面與平面所成角的余弦值；
（2）若平面，試求折痕的長；
（3）當點到平面距離最大時，求折痕的長.
【解析】（1）取中點，連接，依題意，四邊形為等腰梯形，則，由題干，平面，平面，則，下以為原點，構(gòu)建如圖的空間直角坐標系.設(shè)，則，，，
，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即
取，則，故，易見平面的法向量，
故，又平面與平面的所成角是指夾角較小的角，故平面與平面所成角的余弦值為.
（2）平面，且平面，則，即，
，又，
，又，解得，故折痕
（3）連接，過作，垂足為，由，
則平面，又平面，則，又，，
故平面，即為到平面距離.又，
則，，
則，，當時取得等號，又，當時取得等號，也即時，分子取到了最大值，分母取到了最小值，此時即有最大，故折痕.