第10章　10.1　10.1.2A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．一個射手進行射擊，記事件A1＝“脫靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶環(huán)數(shù)大于4”，則在上述事件中，互斥而不對立的事件是(　B　)A．A1與A2 B．A1與A3C．A2與A3 D．以上都不對[解析]　射手進行射擊時，事件A1＝“脫靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶環(huán)數(shù)大于4”，事件A1與A2不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件A1與A2是互斥且對立，A不是；事件A1與A3不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件A1與A3是互斥不對立，B是；事件A2與A3可以同時發(fā)生，即事件A2與A3不互斥不對立，C不是，顯然D不正確．故選B．2．從裝有3個紅球和2個白球的口袋中隨機取出3個球，則事件“取出1個紅球和2個白球”的對立事件是(　D　)A．取出2個紅球和1個白球B．取出的3個球全是紅球C．取出的3個球中既有白球也有紅球D．取出的3個球不止一個紅球[解析]　從裝有3個紅球和1個白球的口袋中隨機取出3個球可能的情況有：“3個紅球”“1個紅球2個白球”“2個紅球1個白球”，所以事件“取出1個紅球和2個白球”的對立事件是“3個紅球或2個紅球1個白球”即“3個球不止一個紅球”，故選D．3．下列各組事件中，不是互斥事件的是(　B　)A．一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B．統(tǒng)計一個班級數(shù)學(xué)期中考試成績，平均分?jǐn)?shù)不低于90分與平均分?jǐn)?shù)不高于90分C．播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D．檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%[解析]　A中，一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6，不可能同時發(fā)生，故A中兩事件為互斥事件；B中，當(dāng)平均分等于90分時，兩個事件同時發(fā)生，故B中兩事件不為互斥事件；C中，播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒，不可能同時發(fā)生，故C中兩事件為互斥事件；D中，檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%，不可能同時發(fā)生，故D中兩事件為互斥事件．故選B．4．(多選題)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關(guān)系正確的是(　ABC　)A．A∩D≠? B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D[解析]　“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故A∩D≠?，B∩D＝?，A∪C＝D，A∪B≠B∪D．5．(多選題)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是(　BD　)A．至少有1個紅球與都是紅球B．至少有2個紅球與都是白球C．至少有1個紅球與至少有1個白球D．恰有1個紅球與恰有2個紅球[解析]　A項中，若取出的3個球是3個紅球，則這兩個事件同時發(fā)生，故它們不是互斥事件，所以A項不符合題意；B項中，這兩個事件不能同時發(fā)生，則它們是互斥事件，若取出的3個球為1紅2白，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事件，所以B項符合題意；C項中，若取出的3個球是1個紅球2個白球時，它們同時發(fā)生，則它們不是互斥事件，所以C項不符合題意；D項中，這兩個事件不能同時發(fā)生，是互斥事件，若取出的3個球都是紅球，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事件，所以D項符合題意．二、填空題6．給出以下三個命題：(1)將一枚硬幣拋擲兩次，記事件A：“二次都出現(xiàn)正面”，事件B：“二次都出現(xiàn)反面”，則事件A與事件B是對立事件；(2)在命題(1)中，事件A與事件B是互斥事件；(3)在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任取3件，記事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與事件B是互斥事件，其中真命題的個數(shù)是__1__．[解析]　命題(1)是假命題，命題(2)是真命題，命題(3)是假命題．對于(1)(2)，因為拋擲兩次硬幣，除事件A，B外，還有“第一次出現(xiàn)正面，第二次發(fā)現(xiàn)反面”和“第一次出現(xiàn)反面，第二次出現(xiàn)正面”兩個事件，所以事件A和事件B不是對立事件，但它們不會同時發(fā)生，所以是互斥事件；對于(3)，若所取的3件產(chǎn)品中恰有2件次品，則事件A和事件B同時發(fā)生，所以事件A和事件B不是互斥事件．7．某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件A：“至少有一次中靶”，事件B：“至多有一次不中靶”，則事件A與事件B的關(guān)系是__A＝B__．[解析]　至少有一次中靶，即有一次中靶或者兩次都中靶，與至多有一次不中靶的含義相同，故A＝B．8．拋擲一枚骰子，根據(jù)向上的點數(shù)可以定義下列事件，事件A＝{出現(xiàn)3點}，事件B＝{出現(xiàn)3點或6點}，事件C＝{出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}，事件D＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3點}，則C∩D＝__{出現(xiàn)5點}__，A∪B＝__{出現(xiàn)3點或6點}__．[解析]　因為事件C＝{出現(xiàn)1點或3點或5點}，事件D＝{出現(xiàn)4點或5點或6點}，所以C∩D＝{出現(xiàn)5點}，A∪B＝{出現(xiàn)3點或6點}．三、解答題9．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，判斷下列給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點數(shù)大于9”．[解析]　(1)是互斥事件，不是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，因此它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽出牌的點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．10．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球(標(biāo)號為1和2)，2個綠球(標(biāo)號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設(shè)事件R1＝“第一次摸到紅球”，R2＝“第二次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩個球顏色相同”，N＝“兩個球顏色不同”．(1)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？(2)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？[解析]　(1)因為R?R1，所以事件R1包含事件R；因為R∩G＝?，所以事件R與事件G互斥；因為M∪N＝Ω，M∩N＝?，所以事件M與事件N互為對立事件．(2)因為R∪G＝M，所以事件M是事件R與事件G的并事件；因為R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1與事件R2的交事件．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．某人射擊一次，設(shè)事件A為“擊中環(huán)數(shù)小于4”，事件B為“擊中環(huán)數(shù)大于4”，事件C為“擊中環(huán)數(shù)不小于4”，事件D為“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，則正確的關(guān)系是(　D　)A．A與B為對立事件 B．B與C為互斥事件C．C與D為對立事件 D．B與D為互斥事件[解析]　“擊中環(huán)數(shù)大于4”與“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”不能同時發(fā)生，所以為互斥事件．2．如果事件A，B互斥，記，分別為事件A，B的對立事件，那么(　B　)A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．與一定互斥 D．與一定不互斥[解析]　利用集合Venn圖可知B正確．3．設(shè)H，E，F為三個事件，，，分別表示它們的對立事件，表示“三個事件恰有一個發(fā)生”的表達式為(　B　)A．H＋E＋F B．H＋E＋FC．HE＋HF＋EF D．＋＋[解析]　“恰有一個發(fā)生”是指三個事件中只有一個發(fā)生，同時另外兩個不發(fā)生，故選B．4.2021年某省新高考將實行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語，必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．已知某同學(xué)已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B(　A　)A．是互斥事件，不是對立事件B．是對立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對立事件D．既不是互斥事件也不是對立事件[解析]　事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故事件A和B是互斥事件，但不是對立事件，故A正確．二、填空題5．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，記A為事件“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，C為事件“落地時向上的數(shù)是3的倍數(shù)”．其中是互斥事件的是__A，B__，是對立事件的是__A，B__．[解析]　A，B既是互斥事件，也是對立事件．6．在擲骰子的試驗中，可以得到以下事件：A＝{出現(xiàn)1點}；B＝{出現(xiàn)2點}；C＝{出現(xiàn)3點}；D＝{出現(xiàn)4點}；E＝{出現(xiàn)5點}；F＝{出現(xiàn)6點}；G＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}；H＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}；I＝{出現(xiàn)奇數(shù)點}；J＝{出現(xiàn)偶數(shù)點}．請根據(jù)這些事件，判斷下列事件的關(guān)系：(1)B__?__H；(2)D__?__J；(3)E__?__I；(4)A__＝__G．[解析]　當(dāng)事件B發(fā)生時，H必然發(fā)生，故B?H；同理D?J，E?I，而事件A與G相等，即A＝G．三、解答題7．設(shè)A，B，C代表隨機事件，記它們的對立事件分別為，，，試用這些事件表示下列事件．(1)A與B發(fā)生，C不發(fā)生；(2)A，B，C恰好有兩個發(fā)生；(3)A，B，C至少有兩個發(fā)生．[解析]　(1)事件A與B同時發(fā)生，C不發(fā)生，則A，B，同時發(fā)生，故所求事件為AB．(2)A，B，C恰好有兩個發(fā)生，分為三種情況：A，B發(fā)生，C不發(fā)生；A，C發(fā)生，B不發(fā)生；B，C發(fā)生，A不發(fā)生．分別求解每種情況，然后求和．故所求事件可以表示為AB＋AC＋BC．(3)A，B，C至少有兩個發(fā)生，較第(2)問多一種情況，即A，B，C同時發(fā)生，因此所求事件可以表示為AB＋AC＋BC＋ABC．8．在擲骰子試驗中，根據(jù)向上的點數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)點數(shù)1}；B＝{出現(xiàn)點數(shù)3或4}；C＝{出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}；D＝{出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)}．(1)說明以上4個事件的關(guān)系；(2)求兩兩運算的結(jié)果．[解析]　在擲骰子的試驗中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結(jié)果，記作Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．(1)事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件．(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?．B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點數(shù)3}，B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點數(shù)4}．C∩D＝?A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)1或2或4或6}．B∪C＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或4或5}．B∪D＝{出現(xiàn)點數(shù)2或3或4或6}．C∪D＝{出現(xiàn)點數(shù)1或2或3或4或5或6}． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

10.1 隨機事件與概率

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