第29講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（考點(diǎn)精講）思維導(dǎo)圖 知識梳理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　 　　 　　　　　　　　 (2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.題型歸納題型1    平面向量基本定理及其應(yīng)用【例1-1】（2020春?荊州期末）中，，點(diǎn)在上，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為　　A． B． C． D．【分析】由題意，可設(shè)，結(jié)合條件整理可得，得到關(guān)于與的方程組，解出即可．【解答】解：如圖，因為，所以則，因為在上，不妨設(shè)，則，因為，所以，解得，故選：．【例1-2】（2020春?密云區(qū)期末）如圖，在中，．若，則的值為　　，是上的一點(diǎn)，若，則的值為　      　．【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和向量共線的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：如圖：在中，．所以：，故．由于點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．所以，則：，整理得：，故：．所以，解得．故．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020?黃州區(qū)校級三模）在中是直線上一點(diǎn)，且，若，則　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，畫出圖象，可知．進(jìn)而求得和的值，算出的值．【解答】解：如圖所示：．，，．．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?金安區(qū)校級期末）如圖，已知，，，，則A． B． C． D．【分析】由圖可得，再由，代入化簡即可【解答】解：因為，，所以，，由圖可得，因為，則上式可得，故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2020春?運(yùn)城期末）如圖，在中，，，若，則的值為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的基本定理結(jié)合向量加法的三角形分別進(jìn)行分解即可．【解答】解：由圖可得，所以，，則，故選：．【名師指導(dǎo)】平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決． 題型2    平面向量的坐標(biāo)表示【例2-1】（2020?黔東南州模擬）若向量，，則　　A． B． C． D．【分析】把 代入可得，，從而求出．【解答】解：，，，，，，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?南崗區(qū)校級期末）設(shè)，則　　A． B． C． D．【分析】可以得出，然后帶人的坐標(biāo)，進(jìn)行向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運(yùn)算即可．【解答】解：．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春?紹興期末）平面向量，，則　　A． B． C． D．【分析】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解．【解答】解：向量，，，，，．故選：．【名師指導(dǎo)】求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路(1)向量問題坐標(biāo)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)． 題型3    平面向量共線的坐標(biāo)表示【例3-1】（2020?全國Ⅰ卷模擬），為原點(diǎn)，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由向量加法的平行四邊形法則可得，求出、的坐標(biāo)，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，中，有，又由，，則，，則，則；故選：．【例3-2】（2020?九江三模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為　　   ．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列方程求出的值．【解答】解：向量，，所以，；又，所以，解得．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?廣州二模）已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為　  　．【分析】根據(jù)題意，由向量共線的坐標(biāo)表示公式可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，若與共線，則有，解可得；故答案為：2．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020?河南模擬）已知向量，，，若，則　　  ．【分析】根據(jù)題意，用坐標(biāo)表示出，根據(jù)兩直線平行的坐標(biāo)表示列式子計算即可得答案．【解答】解：由題，，，，，．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020春?山西月考）已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則　    　．【分析】推導(dǎo)出，，由此能求出．【解答】解：向量，，，，，，三點(diǎn)共線，，，解得．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練3-4】（2020春?樂山期中）已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為　　       ．【分析】由平行四邊形得，根據(jù)向量相等求點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)，由已知，即，，，所以，．故答案為：．【名師指導(dǎo)】平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．  

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6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

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