2021學(xué)年13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)精品課時訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專訓(xùn)13.1.2 線段垂直平分線的應(yīng)用+尺規(guī)作圖
一、單選題
1．如圖，有、、三個居民點，現(xiàn)要選址建一個新冠疫苗接種點方便居民接種疫苗，要求接種點到三個居民點的距離相等，接種點應(yīng)建在（）

A．的三條中線的交點處
B．三邊的垂直平分線的交點處
C．三條角平分線的交點處
D．三條高所在直線的交點處
【答案】B
【分析】
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】
解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
則接種點應(yīng)建在△ABC三條邊的垂直平分線的交點處．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等；此題是一道實際應(yīng)用題，做題時，可分別考慮，先滿足到兩個居民點的距離相等，再滿足到另兩個居民點的距離相等，交點即可得到．
2．如圖，在中，，，尺規(guī)作圖如下：分別以點、點為圓心，大于為半徑作弧，連接兩弧交點的直線交于點，連接，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后利用兩角差求解即可．
【詳解】
∵，，
．
由作圖可知，所作的直線為BC的垂直平分線，
，
，
，
故選：D．
【點睛】
本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和垂直平分線的性質(zhì)，能夠判斷所作直線為垂直平分線是關(guān)鍵．
3．三名同學(xué)分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模? ）
A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點
C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意可知，凳子的位置應(yīng)該到三個頂點的距離相等，從而可確定答案．
【詳解】
因為三邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學(xué)的距離相等，以保證游戲的公平，
故選：D．
【點睛】
本題主要考查垂直平分線的應(yīng)用，掌握垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．
4．如圖，，，點在線段的垂直平分線上，若，，則的長為（）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計算，得到答案．
【詳解】
解：，，
，
點在線段的垂直平分線上，
，
，
故選：．
【點睛】
本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
5．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪的三個頂點的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（　?。?br />
A．△ABC三邊的垂直平分線的交點
B．△ABC的三條中線的交點
C．△ABC三條角平分線的交點
D．△ABC三條高所在直線的交點
【答案】A
【分析】
由于涼亭到草坪的三個頂點的距離相等，所以根據(jù)垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等，可知是△ABC三條邊垂直平分線的交點．由此即可確定涼亭位置．
【詳解】
解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，
∴涼亭選擇△ABC三邊的垂直平分線的交點．
故選：A．
【點睛】
本題主要考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．主要利用了到線段的兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
6．在聯(lián)歡晚會上，有三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷诘模? ）
A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三邊垂直平分線的交點
【答案】D
【分析】
為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．
【詳解】
解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點上．
故選：D．
【點睛】
本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．
7．觀察下列作圖痕跡，中，為邊上的中線是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
中線的定義為：對應(yīng)頂點到對邊中點的連線，所以需要首先找到AB的中點，利用的是線段垂直平分線的做法．
【詳解】
解：A選項：CD為AB邊上的垂線，故錯誤；
B選項：D點為線段AB與其垂直平分線的交點，所以D點為AB邊的中點，所以CD為AB邊上的中線，故正確；
C選項：CD為∠ACB的角平分線，故錯誤；
D選項：畫圖錯誤，不屬于三角形中的三線，故錯誤．
故選：B．
【點睛】
本題主要考察的是三角形中線段的畫法，掌握尺規(guī)作圖的方法是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在△ABC中，∠C＝84°，分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，作直線MN交AC于點D；以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P．若此時射線BP恰好經(jīng)過點D，則∠A的大小是（　?。?br />
A．30° B．32° C．36° D．42°
【答案】B
【分析】
根據(jù)題中作圖知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【詳解】
由題意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=，∠C＝84°，
∴∠A=，
故選：B．
【點睛】
此題考查線段垂直平分線作圖及性質(zhì)，角平分線作圖及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，表示兩條公路，表示兩個倉庫，試找出點，使點到兩公路的距離相等且到兩個倉庫的距離也相等，則點為（）

A．的垂直平分線與的交點
B．的垂直平分線與的交點
C．的垂直平分線與夾角的平分線的交點
D．以上都不對
【答案】C
【分析】
在一個角中，角平分線到角兩邊距離相等，而對于一條線段，只有垂直平分線上的點到線段兩端的距離最短．
【詳解】
A. 的垂直平分線與的交點，到點EF的距離相等，故A不符合題意．
B. 的垂直平分線與的交點，到點EF的距離相等，故B不符合題意．
C. 可把 AB ，CD 當(dāng)成兩條邊，要使距離相等，則只有角平分線到角兩邊的距離相等，而到 EF 則只有垂直平分線上的點到線段兩端距離最短，所以要使到角兩邊與一線段的距離相等的點，則只能是其角平分線與垂直平分線的交點，符合題意．
D.因C選項正確，故不符合題意．
故選： C .
【點睛】
本題考查了垂直平分線及角平分線的逆用；要熟練掌握三角形的性質(zhì)，理解掌握角平分線垂直平分線的含義及性質(zhì)．
10．如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建（　?。?br />
A．A處 B．B處 C．C處 D．D處
【答案】C
【分析】
利用垂直平分線的性質(zhì)即可判斷．
【詳解】
如圖，可知兩個圓弧交點所連直線為線段MN的垂直平分線，
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得發(fā)射塔應(yīng)該在C處，
故選：C．
【點睛】
本題考查線段垂直平分線的實際應(yīng)用，理解中垂線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．如圖所示，在四邊形ABCD中，，AC=1，，直線MN為線段AD的垂直平分線，P為MN上的一個動點，則PC+PD的最小值為（）

A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】
要求PC+PD的值最小，當(dāng)PC、PD在一條這線上值最小，根據(jù)垂直平分線定理可以把PD轉(zhuǎn)化為PA，可得知A、P、C在一條直線上值最小，即最小值為AC的長．
【詳解】
連接PA，
∵直線MN為線段AD的垂直平分線，
∴，
∴，
當(dāng)P在AC上時，最小，即，
∴最小值為1，
故選：A．

【點睛】
本題主要考查的是垂直平分線定理的運用，以及動點問題，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)以及四邊形動點問題的轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
12．如圖，已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)在BC邊上確定一點P，使得PA+PC=BC，則下列四種不同的作圖方法中，正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)作出AC的垂直平分線進而得出答案．
【詳解】
解：用尺規(guī)在BC上確定一點P，使PA+PB=BC，如圖所示：

先做出AB的垂直平分線，即可得出AP=PB，即可得出PA+PC=PB+PC=BC．
故選：A．
【點睛】
此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．如圖，已知△ABC（AC＜AB），用尺規(guī)在AB上確定一點P，使PB＋PC＝AB，則符合要求的作圖痕跡是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，得到點P在線段AC的垂直平分線上，由此可知選項C符合題意．
【詳解】
解：∵點P在AB上，∴PB+PA=AB，
又∵PB+PC=AB，∴PC=PA，
∴點P在線段AC的垂直平分線上，
且線段AC的垂直平分線交AB于點P．
∴選項C符合要求，
故選：C．
【點睛】
本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把AB拆成PA與PB之和進而得到PC=PA是解決本題的關(guān)鍵．
14．如圖，一位同學(xué)用直尺和圓規(guī)作出了△ABC中BC邊上的高AD，則一定有（　?。?br />
A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90°
【答案】C
【分析】
利用基本作法，作了線段CQ的垂直平分線，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可對各選項進行判斷．
【詳解】
由作法得AD垂直平分CQ，
所以PQ＝PC．
故選C．
【點睛】
本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．
15．如圖，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE，交BC于點M；分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P、Q，作直線PQ，交BC于點N；連接AM、AN．則MAN的周長為（）

A．9 B．10 C．11 D．13
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意由作圖可知，DE垂直平分線段AB，PQ垂直平分線段AC，推出MA＝MB，NA＝NC即可解決問題．
【詳解】
解：由作圖可知，DE垂直平分線段AB，PQ垂直平分線段AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．
故選：C．
【點睛】
本題考查基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意并靈活運用垂直平分線段性質(zhì)解決問題．
16．觀察下列作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的中線是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，CD為△ABC的邊AB上的中線，就是作AB邊的垂直平分線，交AB于點D，點D即為線段AB的中點，連接CD即可判斷．
【詳解】
解：作AB邊的垂直平分線，交AB于點D，連接CD，
∴點D即為線段AB的中點，
∴CD為△ABC的邊AB上的中線．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查三角形一邊的中線的作法；作該邊的中垂線，找出該邊的中點是解題關(guān)鍵．
17．已知：．求作：一點，使點到三個頂點的距離相等．小明的作法是：（1）作的平分線；（2）作邊的垂直平分線；（3）直線與射線交于．點即為所求的點（作圖痕跡如圖1）．小麗的作法是：（1）作的平分線；（2）作的平分線；（3）射線與射線交于點．點即為所求的點（作圖痕跡如圖2）．對于兩人的作法，下列說法正確的是（）

A．小明對，小麗不對 B．小麗對，小明不對 C．兩人都對 D．兩人都不對
【答案】D
【分析】
根據(jù)三角形外心的定義對小明和小麗的作法逐項作出判斷即可.
【詳解】
∵點到三個頂點的距離相等，
∴點O應(yīng)是三角形兩邊垂直平分線的交點，
∴小明和小麗的作法都不對；
故選：D.
【點睛】
本題考查了作與-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．

二、填空題
18．如圖，已知線段長為4．現(xiàn)按照以下步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點，；②過，兩點作直線，與線段相交于點．則的長為______．

【答案】2
【分析】
根據(jù)作圖得出是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點和點，

，，
是線段的垂直平分線，
．
故答案為2．
【點睛】
本題考查了作圖基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線作法是解答此題的關(guān)鍵．
19．如圖，在中，，，，P為BC邊的垂直平分線DE上一個動點，則周長的最小值為________．

【答案】18
【分析】
因為BC的垂直平分線為DE，所以點C和點B關(guān)于直線DE對稱，所以當(dāng)點動點P和E重合時則△ACP的周長最小值，再結(jié)合題目的已知條件求出AB的長即可．
【詳解】
解：如圖，

∵P為BC邊的垂直平分線DE上一個動點，
∴點C和點B關(guān)于直線DE對稱，
∴當(dāng)點動點P和E重合時則△ACP的周長最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵AP+CP=AP+BP=AB=12，
∴△ACP的周長最小值=AC+AB=18，
故答案為：18．
【點睛】
本題考查了軸對稱-最短路線的問題以及垂直平分線的性質(zhì)，正確確定P點的位置是解題的關(guān)鍵，確定點P的位置這類題在課本中有原題，因此加強課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要．
20．如圖，在中，邊的垂直平分線分別交于點，則的周長是_____________．

【答案】16
【分析】
由在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求得AD與AB的長，繼而求得答案．
【詳解】
解：∵邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，
∴AD＝BD＝5cm，AB＝2AE＝2×3＝6（cm），
∴△ABD的周長是：AD+BD+AB＝5+5+6＝16（cm）．
故答案為16．
【點睛】
此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
21．如圖，點為的平分線上一點，過任作一直線分別與的兩邊交于，兩點，為中點，過作的垂線交于點，，則____ ．

【答案】．
【分析】
過D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝DF，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD＝CD，證Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理即可得出答案．
【詳解】
解：如圖：

過作于，于，
則，
平分，
，
為中點，，
，
在和中，，
，
，
．
，
；
故答案為：．
【點睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線，證明三角形全等是解此題的關(guān)鍵．
22．如圖，在平行四邊形中，連接，按以下步驟作圖：分別以為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點，作直線交于點，交于點．若，則的周長為________．

【答案】14
【分析】
先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，再由作法可知直線MN是線段AC的垂直平分線，故可得出AE=CE，即AE+DE=CD，據(jù)此可得出結(jié)論．
【詳解】
由題意可知，是的中垂線，
∴，
又∵平行四邊形，
∴，
∴，

∴的周長是14．
【點睛】
本題考查作圖，熟知線段垂直平分線的作法解答的此題的關(guān)鍵．

三、解答題
23．電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的電網(wǎng)必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置，從圖中標(biāo)出．（保留作圖痕跡，說明理由）

【答案】見解析
【分析】
作出AB的垂直平分線，它上面的點到A，B的距離相等，再作出∠MON或其鄰補角∠QON的平分線，它上面的點到m，n的距離相等，即可得出它們的交點P就是所求的發(fā)射塔應(yīng)修建的位置．
【詳解】
解：如圖，作AB的垂直平分線與∠MON或∠QON的平分線，交點P1，P2即為所求發(fā)射塔應(yīng)修建的位置．

【點睛】
本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是運用垂直平分線和角平分線的作法來確定點P的位置．
24．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條髙速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖標(biāo)出它的位置．

【答案】見解析．
【分析】
根據(jù)題意，電視信號發(fā)射塔既在線段AB的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點即為發(fā)射塔的位置．利用角平分線的性質(zhì)以及作法和線段垂直平分線的作法與性質(zhì)分別得出即可．
【詳解】
根據(jù)題意，電視信號發(fā)射塔既在線段AB的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點即為發(fā)射塔的位置．
如圖所示：點P就是發(fā)射塔修建的位置．

【點睛】
本題考查了作圖與角平分線以及垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握角平分線以及垂直平分線的性質(zhì)并且能根據(jù)題意作圖．
25．如圖，已知直線，直線分別與、交于點、．請用尺規(guī)作圖法，在線段上求作點，使點到、的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】
作出線段AB的垂直平分線即可．
【詳解】
解：如圖所示，點即為所求．

【點睛】
本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖．
26．如圖所示，村莊，分別在筆直公路的兩側(cè)．一輛汽車在公路上行駛，汽車在什么位置時到，兩村莊的距離相等？請找出這個點，并說明理由．

【答案】位置見解析，理由見解析
【分析】
結(jié)合題意，根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等的性質(zhì)分析，即可得到答案．
【詳解】
如圖，連接，作線段的垂直平分線，且交公路與點，點即為所求，

理由：∵點C是線段AB垂直平分線上的點，
∴CA=CB．
【點睛】
本題考查了線段垂直平分線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，從而完成求解．
27．如圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，ABC的頂點都在方格紙格點上．

（1）將ABC經(jīng)過平移后得到，圖中標(biāo)出了點B的對應(yīng)點，補全；
（2）若連接，，則這兩條線段之間的關(guān)系是；
（3）畫出AC邊上的高線BD；
（4）畫出ABC中AC邊上的中線BE；
（5）BCE的面積為　　　?。?br /> 【答案】（1）作圖見解析；（2）平行且相等；（3）作圖見解析；（4）作圖見解析；（5）4
【分析】
（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得到答案；
（2）連接，，結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)平移的性質(zhì)分析，即可得到答案；
（3）以點為圓心作圓弧，與分別相交于點、；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，分別以點、為圓心，大于為半徑作圓弧，相交于點；連接并交于點，連接，即可得到答案；
（4）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，分別以點、為圓心，大于為半徑作圓弧，分別相交于點、，連接；直線與相交于點，點即為中點，從而完成求解；
（5）結(jié)合（4）的結(jié)論，根據(jù)中線的性質(zhì)，得，通過計算，即可得到答案．
【詳解】
（1）結(jié)合題意，根據(jù)平移的性質(zhì)作圖如下：

（2）如圖，連接，

根據(jù)（1）的結(jié)論，得，且
根據(jù)平移的性質(zhì)，沿平移得
∴，這兩條線段之間的關(guān)系是平行且相等
故答案為：平行且相等；
（3）以點為圓心作圓弧，與分別相交于點、；
分別以點、為圓心，大于為半徑作圓弧，相交于點；連接并交于點，連接，線段即為AC邊上的高；

（4）分別以點、為圓心，大于為半徑作圓弧，分別相交于點、，連接；
直線與相交于點；連接，即為所求；

（5）根據(jù)（4）的結(jié)論，得
∵
∴
故答案為：4．
【點睛】
本題考查了平移、垂直平分線、三角形中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移、垂直平分線、三角形中線的性質(zhì)，從而完成求解．
28．如圖．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，連接EB．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：EB平分∠ABC．
（3）求證：AE=EF．

【答案】見解析
【分析】
（1）先作線段AB的垂直平分線DE，再延長BC即可；
（2）先利用直角三角形的性質(zhì)求∠ABC= 60，再垂直平分線的性質(zhì)得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；
（3）證明：先利用直角三角形的性質(zhì)求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性質(zhì)求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，進而得∠EFB=∠EBC，證得BE=EF，又因為AE= BE，利用等量代換即可求得答案．
【詳解】
（1）如圖，即為所求；

（2）證明：∵DE是AB的垂直平分線
∴DE⊥AB
∴AE=BE
∵∠A=30，∠ACB=90
∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30
∴∠EBC=∠ABE
∴EB平分∠ABC．
（3）證明：∵DE是AB的垂直平分線
∴DE⊥AB
∴∠DEB=90-∠ABE =60
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30
∴∠EFB=∠EBC
∴BE=EF
又∵AE= BE
∴AE=EF
【點睛】
本題考查了尺規(guī)作圖和垂直平分線性質(zhì)得應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵利用尺規(guī)作圖，畫出圖形．
29．作圖：要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）如圖1，作出的中線AD；
（2）如圖2，作出的角平分線BE；
（3）如圖3，作出的高CM．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析
【分析】
（1）分別以為圓心，大于的一半為半徑畫弧，得到兩弧的交點，過這兩弧的交點作直線與交于點連接即可得到答案；
（2）以為圓心，任意長為半徑畫弧，得到弧與角的兩邊的交點，再分別以這兩個交點為圓心，大于這兩個交點之間的距離的一半為半徑畫弧，得到兩弧的交點，再以為端點，過兩弧的交點作直線，與交于點即可得到答案；
（3）以為圓心，大于到的距離為半徑畫弧，得到弧與直線的兩個交點，再以這兩個交點為圓心，大于這兩個交點之間的距離的一半為半徑畫弧，得到兩弧的一個交點，過與這兩弧的交點畫直線，交直線于從而可得答案．
【詳解】
解：（1）如圖1：

線段即為所求作的作出的中線．
（2）如圖2：

線段即為所求作的作出的角平分線．
（3）如圖3：

線段即為所求作的作出的高．
【點睛】
本題考查的是三角形的中線，角平分線，高的尺規(guī)作圖，掌握作線段的垂直平分線，角平分線的作圖是解題的關(guān)鍵．
30．北師版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第57頁告訴了我們利用尺規(guī)作一個角的角平分線的方法：已知：如圖，鈍角．

求作：的角平分線．
作法：①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA于點D，交OB于點E；
②分別以D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點C；
③作射線OC．
所以射線OC就是所求作的角平分線．
（1）請你根據(jù)上述的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）
（2）在該作圖中蘊含著幾何的證明過程：
由①可得：；
由②可得：______；
由③可知：；
∴____________（依據(jù)_____）．
∴可得（全等三角形對應(yīng)角相等）
即OC就是所求作的的角平分線．
（3）如圖2，點O處是一個老鼠洞，一只貓在A處發(fā)現(xiàn)了B處的一只老鼠正沿著BO向洞口逃竄．若貓以與老鼠相同的速度去追捕老鼠，請在圖中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）見解析；（2）CD＝CE；OCD，OCE，SSS；（3）見解析
【分析】
（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；
（2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，則可根據(jù)“SSS”判斷OCD≌OCE，于是得到∠COD＝∠COE．
（3）連接AB．做AB的垂直平分線，則垂直平分線與BO的連接處為M，因為速度一樣，所以AM的距離等于BM的距離，所以三角形AMB為等腰三角形．因此，AB的垂直平分線必經(jīng)過M點．
【詳解】
解：（1）如圖，OC為所作；

（2）由①可得：OD＝OE；
由②可得：CD＝CE；
由③可知：OC＝OC；
∴OCD≌OCE（SSS），
∴∠COD＝∠COE（全等三角形對應(yīng)角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分線．
故答案為：CD＝CE；OCD，OCE，SSS；
（3）連接AB．作AB的垂直平分線，則垂直平分線與BO的連接處為M，
因為速度一樣，所以AM的距離等于BM的距離，所以三角形AMB為等腰三角形．
因此，AB的垂直平分線必經(jīng)過M點．

【點睛】
本題為三角形綜合題，主要考查了角平行線、三角形全等和中垂線的性質(zhì)以及基本作圖，解題的關(guān)鍵是畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
31．如圖，已知∠AOB及點E、F，在∠AOB的內(nèi)部求作點P，使點P到OA、OB的距離相等，且PE=PF．（請尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并寫結(jié)論）

【答案】見解析圖
【分析】
分別作∠AOB的角平分線以及線段EF的中垂線，兩條線的交點即為所求．
【詳解】
如圖所示，先作出∠AOB的角平分線OQ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，在OQ上的所有點均滿足到OA、OB的距離相等，
再作線段EF的中垂線MN，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可知，MN上的所有點均滿足到E，F(xiàn)的距離相等，
此時OQ與MN 交點，既滿足到OA、OB的距離相等，也滿足到E，F(xiàn)的距離相等，即為所求的點P．

【點睛】
本題考查角平分線及垂直平分線的畫法及實際應(yīng)用，理解它們的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
32．已知，如圖，；

（1）請在上作出點，使（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）求出的周長．
【答案】（1）見解析；（2）20．
【分析】
（1）作AB的垂直平分線交BC于點D，故可得DA=DB；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，結(jié)合題目條件可求出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖所示，

（2）由（1）知，DA=DB，
∵
∴的周長=AD+DC+AC=BC+AC=12+8=20．
【點睛】
此題主要考查了線段垂直平分線的作法以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
33．如圖，在中，的垂直平分線交于D，交于M，E為的中點，，．猜想線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】BD=AC．理由見解析
【分析】
求出AE⊥DC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=AC，BD=AD，即可得出答案．
【詳解】
BD=AC．
證明：連接AD，

∵∠CAE=25°，∠ACB=65°，
∴∠AED=∠CAE+∠ACB=90°，
即AE⊥DC，
∵點E為CD中點，
∴AD=AC，
∵DM是線段AB的垂直平分線，
∴BD=AD，
∴BD=AC．
【點睛】
本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，線段垂直平分線的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．
34．如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．
（1）直接寫出∠BAC的度數(shù)；
（2）求∠DAF的度數(shù)，并注明推導(dǎo)依據(jù)；
（3）若△DAF的周長為20，求BC的長．

【答案】（1）100°；（2）20°，推導(dǎo)見解析；（3）20
【分析】
（1）由題意直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案；
（2）由題意根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)計算；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】
解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
（2）∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（3）∵△DAF的周長為20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（2）可知，DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．
【點睛】
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
35．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為BC邊的中點．
（1）過點D作直線DE⊥BC，交線段AB于點E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，連接CE，求證：AE＝CE．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)角平分線的作圖方法即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖所示，直線DE即為所求；

（2）∵點D為BC邊的中點，DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AE＝CE．
【點睛】
本題考查了作圖——基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
36．如圖，ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）2
【分析】
（1）連接、，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)、的長度表示出、，然后解方程即可．
【詳解】
（1）證明：連接、，
點在的垂直平分線上，
，
是的平分線，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．

【點睛】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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