?九(上) 第二章 一元二次方程 （第一周周末教案 課時1）
第一節(jié) 認識一元二次方程
【知識梳理】
知識點一、 一元二次方程的定義
1. 方程：含有 未知數(shù) 的等式叫做方程；
一元一次方程：在一個整式方程（即分母中不含字母）中， 含有 一 個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是 1 ， 這樣的方程叫做一元一次方程.
一元二次方程：只含有 一 個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
①該方程是一個整式方程；
一元二次方程的定義要把握三點 ②只含有一個未知數(shù)；
③化簡之后，未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
2. 一元二次方程的一般形式：（為常數(shù)，），其中ax2，bx2，c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項，a，b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。
【例1】下列方程是一元二次方程的是(　　)
A. 3x2+=0 B. 2x﹣3y+1=0 C. (x﹣3)(x﹣2)=x2 D. (3x﹣1)(3x+1)=3
【例2】下列方程中，一元二次方程共有(　　)個. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤(x﹣1)2+y2=2；⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.
知識點二、 一元二次方程解的估算
1. 方程的解：使方程左右兩邊的值相等的 未知數(shù)的值 叫做方程的解.
解一元一次方程的一般步驟： 去分母 、 去括號 、 移項 、 合并同類項 、 系數(shù)化為1 .
一元二次方程的解： 一元二次方程的解(根)的意義：能使一元二次方程左右兩邊 相等的未知數(shù)的值 是一元二次方程的解.
【例3】已知x=﹣1是方程x2+mx+1=0的一個實數(shù)根，則m的值是(　　)A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣2
【例4】若方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足a+b+c=0，則方程必有一根為(　　)A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1
2. 一元二次方程解的估算：依據(jù)代數(shù)式的值的求法，當某一x取值使得這個方程中的的值無限接近于0時，x的值即可看做一元一次方程的解.
點撥：①估算一元二次方程的解， 只是估算“解”的取值范圍，比如在哪兩個數(shù)之間；②當相鄰的兩個數(shù)， 一個使 ， 一個使 ，則一元二次方程的解就介于這兩個數(shù)之間.認真觀察代數(shù)式的特點和取值走向， 就能很快找到這樣相鄰的兩個數(shù).
【例5】 觀察下列表格，一元二次方程x2-x-1.1=0最精確的一個近似解是（ ）A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7

知識點三、根據(jù)問題情境列一元二次方程
1. 列一元二次方程解實際問題：列方程最重要的是審題，只有透徹理解題意，才能恰當?shù)? 設出未知數(shù) ，準確找出已知量與未知量之間的等量關系，正確地列出方程。列一元二次方程解應用題的一般步驟是：（1）審；（2）設；（3）列；（4）解；（5）驗；（6）答。
注意：列一元二次方程解決實際問題時， 一定要檢驗， 看方程的解是否符合題意.
【例6】 如圖所示，將一個邊長為5的正方形兩邊減去寬為x的矩形，剩余部分的面積為16，可列出方程為 .
（例6）

第二節(jié) 用配方法求解一元二次方程
知識點四、用直接開平方法解一元二次方程
1. 完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方， 等于這兩個數(shù)的平方和加上（或減去）它們乘積的兩倍. 字母表述為： ； .
2. 平方根的意義：如果一個數(shù)的平方等于， 即， 那么這個數(shù)就叫做的平方根.一個正數(shù)的平方根有 兩個 ， 它們 互為相反數(shù) ， 零的平方根是 零 ， 負數(shù) 沒有平方根 .
3. 直接開平方法解一元二次方程：形如的一元二次方程可利用平方根的定義用開平方的方法直接求解，這種解方程的方法叫直接開平方法。適合用直接開平方法解一元二次方程的三種類型：(1)(m≥0)；(2)(n≥0)；(3)(ab≥0且a≠0)。
點撥：直接開平方法解方程一般步驟：①把方程化成有一邊是含有未知數(shù)的完全平方的形式，另一邊是非負數(shù)的形式，即化成的形式.②直接開平方，得，.
【例7】方程(x﹣1)2=2的根是(　 )A. ﹣1，3 B. 1，﹣3 C. ， D. ，
知識點五、用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程
1. 配方法的步驟：①化二次項系數(shù)為1；②移項，使方程左邊的二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；③要在方程兩邊各加上 一次項系數(shù)一半的平方 （注：一次項系數(shù)是帶符號的）；④方程變形為的形式；⑤如果右邊是非負數(shù)，就用直接開平方法解這個一元二次方程；如果右邊是一個負數(shù)，則方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解。
【例8】用配方法解方程(1)x2+4x﹣5=0. (2)2x2-1=x







【例9】多項式x2-6x+8的最小值為(　　)A. 8 B. 0 C. -1 D. -6





【習題精練】
1．下列方程是一元二次方程的是（　 ?。?br /> A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x　
2．關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一個根是0，則a的值為（　 ?。?br /> A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0菁
3．方程（x﹣2）2+4=0的解是（　 ?。?br /> A．x1=x2=0 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=0，x2=4 D．沒有實數(shù)根
4．用配方法解下列方程時，配方正確的是（ ?。?br /> A．方程x2﹣6x﹣5=0，可化為（x﹣3）2=4 B．方程y2﹣2y﹣2015=0，可化為（y﹣1）2=2015
C．方程a2+8a+9=0，可化為（a+4）2=25 D．方程2x2﹣6x﹣7=0，可化為
5．把方程2x2-6x-5=0化為（x+m）2=k的形式，則m ，k= 。
6．根據(jù)下表判斷方程2x2+3x-5=0的正數(shù)解范圍是 。

7．兩個數(shù)的和為15，積為56，若設其中一個數(shù)為x，則可列方程為 。
8．解下列方程：
（1） （2）



（3） （4）





【提高訓練】
☆1. 代數(shù)式x2﹣4x+5的最小值是 。
☆2. 若關于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一個根是0，則m的值是　 　.
【培優(yōu)訓練】
☆☆1．已知a是方程x2+x﹣2015=0的一個根，求的值。



☆☆2. 已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，試判斷△ABC的形狀。







九(上) 第二章 一元二次方程 （第一周周末教案 課時2）
第三節(jié) 用公式法求解一元二次方程
【知識梳理】
知識點一、用公式法解一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式：我們把（為常數(shù),）稱為一元二次方程的一般形式, 其中分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項,分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).
2. 一般地, 對于一元二次方程（為常數(shù),）, 當時, 它的根是：, 這個式子稱為一元二次方程的求根公式.

知識點二、根的判別式的應用
1. 一元二次方程（）的根的情況可以由 來判定, 把 叫做一元二次方程（）的 根的判別式 ,通常由希臘字母“”來表示：①若 ,則方程有兩個不相等的實數(shù)根；②若 ,則方程有兩個相等的實數(shù)根；③若 ,則方程無實數(shù)根.
點撥：用求根公式求一元二次方程的解的方法,是解一元二次方程的萬能公式。
步驟：①必須把一元二次方程化成一般式（）,以明確a、b、c的值；
②用的符號確定原方程是否有實數(shù)根；當時,把a、b、c的值代入公式求根；當時, 則方程沒有實數(shù)根。
【例1】用公式法求解下列方程：(1) -x2-2x=2x+1； (2) x2-5=2(x+1)； (3)3x2-x+9=0.





【例2】一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情況是(　 　)
A. 有兩個相等的實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根 C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
【例3】一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 。


第四節(jié) 用因式分解法求解一元二次方程
知識點三、用因式分解法求解一元二次方程
1. 因式分解的概念：把一個 多項式 化成幾個整式的 積 的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.
2. 因式分解的方法：
（1）提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式, 那么就可以把這個公因式提出來, 從而將多項式化成兩個因式乘積的形式, 這種因式分解的方法叫做提公因式法.
（2）運用公式法：平方差公式為= ；完全平方公式為 ,或 。
（3）十字相乘法：①先把一元二次方程化成一般式（）；②十字左邊相乘等于 二次項系數(shù) ，右邊相乘等于 常數(shù)項 ，③交叉相乘再相加等于 一次項系數(shù) ；④分解完成后，帶上各項的系數(shù)橫向?qū)懗龇纸獾膬蓚€因式。四字訣“ 先拆再湊 ”（拆二次項、常數(shù)項，湊一次項）。
3. 分解因式法：分解因式法的理論依據(jù)是：若ab=0，則 a=0 或 b=0 。當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成 兩個因式的乘積 時，令每個因式分別為0，得到 兩個一元一次方程 ，分別解之，得到的解就是原方程的解，這種解方程的方法稱為分解因式法。
一般步驟：①先移項,將方程的右邊化為零；②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解.
【例4】用因式分解法求下列方程：(1)x2+2x-3=0； (2)x2+3=3(x+1)； (3)2x2+3x=-1；





4. 選擇適當方法解一元二次方程： 在解一元二次方程時，先特殊，再一般，即先考慮能否用開平方法和分解因式法，再考慮公式法或配方法。若無特殊說明，一般不使用配方法，但若二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，選擇配方法也可。
【例5】用指定的方法解下列方程:(1)2x2-4x-1=0(用公式法) (2)(x-2)2=3(2-x) (因式分解法)




⑶2y2－3y－2＝0;(配方法) (4)x2+2x-15=0(十字相乘) (5)3x2+35x+50=0(十字相乘)





☆補充： 用整體換元的思想求解一元二次方程(了解)
(1)解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法. (2)我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).
☆【例6】解下列方程(1)(x+1)2=6x+6. (2)(x-2)2-4(x-2)+3=0.




【習題精練】
1. 用公式法解方程6x﹣8=5x2時，a、b、c的值分別是( )
A. 5、6、﹣8 B. 5、﹣6、﹣8 C. 5、﹣6、8 D. 6、5、﹣8
2. 已知一元二次方程的兩根分別為x1=3，x2=-4，則這個方程可能為（ ）
A. (x-3)（x+4）=0 B. （x+3）（x-4）=0 C. （x+3）（x+4）=0 D. (x-3)(x-4)=0
3. 方程x2﹣x﹣1=0的一個根是( )A. 1﹣ B. C. ﹣1+ D.
4. 關于x的方程x(x+6)=16解為( )A. x1=2，x2=2 B. x1=8，x2=﹣4 C. x1=﹣8，x2=2 D. x1=8，x2=﹣2
5. 方程x2﹣3x﹣5=0的根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根 C. 沒有實數(shù)根 D. 無法確定是否有實數(shù)根
6. 一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是(　 　)
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
7. 方程x2﹣4x﹣12=0的解是 .
8.若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有兩不相等實數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
9. 用恰當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br /> (1)2x2-5x+1=0 (2)2x2-9x+8=0 (3)x2-2x=2x-4





(4)(3x+2)2=(5-2x)2 (5)(x+3)2+3(x+3)-4=0 (6)5x2-3x=x+1




【提高訓練】
☆1. 三角形兩邊長分別為8和6，第三邊的長是一元二次方程x2-16x+60=0的一個實數(shù)根，則該三角形的面積是（ ）
A. 24 B. 24或 C. 48 D.
☆2．關于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有實數(shù)解，那么m的取值范圍是（ ）
A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2

☆3．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．





【培優(yōu)訓練】
☆☆1. 若x2+3xy﹣2y2=0，那么= .
☆☆2．已知實數(shù)x滿足，求的值．




第二章 一元二次方程（第一周 強化訓練1）
一、選擇題
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．關于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，則a滿足（　 ）
A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≠﹣1 C．a(chǎn)≠±1 D．為任意實數(shù)優(yōu)網(wǎng)版權所有
3. 用配方法解方程應該先變形為（ ）
A. B. C. D.
4. 方程(x+1)(x﹣3)=5的解是( )
A. x1=1，x2=﹣3 B. x1=4，x2=﹣2 C. x1=﹣1，x2=3 D. x1=﹣4，x2=2

5. 若關于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是(　 　)
A. B. C. D.
6．三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+8=0的一個根，則這個三角形的周長是（）
A．9 B．11 C．13 D．11或13
7.若關于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0的兩個實數(shù)根，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． 且k≠0 D．且k≠0
二、填空題
8．將代數(shù)式x2+6x﹣3化為（x+p）2+q的形式是 。
9. 若代數(shù)式x2﹣8x+12的值是21，則x的值是　 　.
10．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是
11. 菱形的兩條對角線是一元二次方程2x2-15x+16=0的兩根，則該菱形的面積是 。
三、解答題
12. 解下列方程
（1）x2-2x=0; （2）x(2x+3)-2x-3=0;




（3）3（x-2）=5x（2-x）; （4）（5x-1）2=2



13. 已知關于x的一元二次方程(m-2)x2+2mx+m+3=0 有兩個不相等的實數(shù)根. (1)求m的取值范圍；(2)當m取滿足條件的最大整數(shù)時，求方程的根.




【提高訓練】
☆1．等腰△ABC的三邊分別為a、b、c，其中a=5，若關于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有兩個相等的實數(shù)根，則△ABC的周長是（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能確定
☆2．現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，則實數(shù)x的值是　 ．
☆3. 若關于x的方程2x(mx﹣4)=x2﹣6沒有實數(shù)根，則m所取的最小整數(shù)是 。
【培優(yōu)訓練】
☆☆1. 已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，則（x2+y2）的值是（ ）
A．-3 B．4 C．-3或4 D．3或-4
☆☆2. 對于任意實數(shù)x， 多項式的值是一個（ ）
A. 正數(shù) B. 負數(shù) C. 非負數(shù) D. 非正數(shù)
☆☆3. 已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．





【附加題】
1. 若關于x的一元二次方程的常數(shù)項為0， 則的值為（ ）
A. B. -2 C. 2 D. 4
2. 用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（ ）
A. 化為 B．化為
C．化為 D．化為
3. 方程x2+4x=2的正根為（ ）
A. B. C. D.
4. 若， 則= .
5. 若， 則= .
☆6. 如果一個三角形的三邊均滿足方程x2-10x+25=0，則此三角形的面積是 .
☆☆7求證：不論a取何值，2a2-a+1的值總是一個正數(shù)．



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