1.理解正方形的概念.2.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、 矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問(wèn)題. （難點(diǎn)）
觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無(wú)處不在.
你還能舉出其他的例子嗎？
矩 形
問(wèn)題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)？
問(wèn)題2 菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)？
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.
已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.
證明：∵四邊形ABCD是正方形.∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形.∴正方形是矩形（矩形的定義）, 正方形是菱形(菱形的定義).∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
證明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.
思考 請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.??正方形是不是軸對(duì)稱圖形?如果是,那么對(duì)稱軸有幾條?
對(duì)稱性： .對(duì)稱軸：.
正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：
性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等. 2.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.
例1 求證: 正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.
已知: 如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC，BD相 交于點(diǎn)O.
求證: △ABO， △BCO， △CDO，△DAO是全等的 等腰直角三角形.
證明: ∵ 四邊形ABCD是正方形,∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴ △ABO， △BCO， △CDO， △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例2：如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE =90° .（正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF =90° ,∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
例3 如圖，在正方形ABCD中， ΔBEC是等邊三角形， 求證： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
證明：∵ ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。?br/>解：當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.
易錯(cuò)提醒：因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．
【變式題2】 如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；
解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等邊三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求證：∠BAP=2∠PAC．
例4 如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.試說(shuō)明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四邊形PECF是矩形,
在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對(duì)角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來(lái)說(shuō)明.
1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A.四個(gè)角相等 B.對(duì)角線互相垂直平分 C.對(duì)角互補(bǔ) D.對(duì)角線相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A.四條邊相等 B.對(duì)角線互相垂直平分 C.對(duì)角線平分一組對(duì)角 D.對(duì)角線相等
2.如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝2，求正方形的周長(zhǎng)與面積．
解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長(zhǎng)為4AD＝ ， 面積為AD2＝8.
2.一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm，則它的面積是 （　?。〢.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（?。? A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相垂直且相等
3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .4.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是 .
5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．
解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm．
3.對(duì)角線相等且互相垂直平分
有一組鄰相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

相關(guān)課件

初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定授課ppt課件：

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定授課ppt課件，共20頁(yè)。PPT課件主要包含了創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課，生活中的正方形，像矩形，像菱形，矩形變正方形，一組鄰邊相等，幾何畫(huà)板GSP，菱形變正方形，一個(gè)角是90°，探究新知經(jīng)歷過(guò)程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定公開(kāi)課ppt課件：

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定公開(kāi)課ppt課件，文件包含13第1課時(shí)正方形的性質(zhì)pptx、第一章特殊平行四邊形13正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)教案內(nèi)含練習(xí)docx、13第1課時(shí)正方形的性質(zhì)1docx等3份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共25頁(yè)， 歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定習(xí)題ppt課件：

這是一份數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定習(xí)題ppt課件，共25頁(yè)。PPT課件主要包含了正方形，互相垂直，平行四邊形等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)課件 更多

北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定習(xí)題ppt課件

北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定習(xí)題ppt課件
北師大版九年級(jí)上冊(cè)第一章 特殊平行四邊形3 正方形的性質(zhì)與判定教學(xué)課件ppt

北師大版九年級(jí)上冊(cè)第一章 特殊平行四邊形3 正方形的性質(zhì)與判定教學(xué)課件ppt
初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定課文配套ppt課件

初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定課文配套ppt課件
北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定課文內(nèi)容ppt課件

北師大版九年級(jí)上冊(cè)3 正方形的性質(zhì)與判定課文內(nèi)容ppt課件
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

3 正方形的性質(zhì)與判定

版本： 北師大版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部