12.3角的平分線的性質(zhì)人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）如圖，已知在中，是邊上的高線，平分交于點(diǎn)，，，則的面積等于(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，，平分，，，，則下列結(jié)論：
；平分；；其中正確的有(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，，，，是的角平分線，，垂足為，則的周長(zhǎng)為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，，的平分線與邊相交于點(diǎn)，，垂足為，若的周長(zhǎng)為，則的面積為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，已知線段，按如下步驟作圖：
過點(diǎn)作射線；
作的平分線；
以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；
過點(diǎn)作于點(diǎn)．
則：是(    )
 A. ： B. ： C. ： D. ：如圖，點(diǎn)，分別是，平分線上的點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )A.
B.
C. 與互余的角有個(gè)
D. 點(diǎn)是的中點(diǎn)如圖，在中，按以下步驟作圖：以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交邊于點(diǎn)若的面積為，，則的長(zhǎng)為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，、、分別平分、、，，的周長(zhǎng)為，，則的面積為(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，的面積記為，的面積記為，的面積記為，關(guān)于與的大小關(guān)系，正確的是(    )A.  B.  C.  D. 無法確定如圖，在中，、分別是邊、上的點(diǎn)，是的一條角平分線．再添加一個(gè)條件仍不能證明≌的是(    )
A.  B.
C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交，于，兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為若，則的周長(zhǎng)等于______．
如圖，中，，平分，，，則的面積是___________．
 如圖，在中，，為的中點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)，，且，則線段的長(zhǎng)為______．
 如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為______．
   三、解答題（本大題共6小題，共48.0分）如圖，已知平分，于，于，且．
求證：≌；
求證：．
 
四邊形中，，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，已知，．
求的度數(shù)；
求證：．
如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在的邊上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到、的距離相等保留作圖痕跡，不寫作法．
如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，且．
求證：≌；
連接，求證：平分．
如圖，在中，平分，于，于點(diǎn)，，
求證：；
判斷的形狀并證明．
已知：如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查角平分線的性質(zhì)定理和三角形面積公式，根據(jù)角平分線上一點(diǎn)，到這個(gè)角兩邊的距離相等，可知三角形中邊上的高為長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．
【解答】
解：作，垂足為，

是邊上的高線，平分，交于點(diǎn)，
，
，
．
故選C．  2.【答案】 【解析】解：，，
，
平分，，
，故正確；
，，平分，
，，，，
，，故正確；
平分，故正確；
，
，
，
而題目中不能得到，故錯(cuò)誤；
故選：．
根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)、垂直的定義，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．
本題考查平行線的性質(zhì)、垂直、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 3.【答案】 【解析】解：是的平分線，，，
，
在和中，
，
≌，
，
的周長(zhǎng)．
故選：．
利用角平分線的性質(zhì)得到，從而，即可求得的周長(zhǎng)．
本題考查了角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是證明≌．
 4.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
設(shè)，
由勾股定理得：，
的周長(zhǎng)為，
，
即，
解得：，
即，
的面積為，
故選：．
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和判定求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)的周長(zhǎng)為求出，再求出和，即可求出答案．
本題考查了角平分線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，能得出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：由作圖可知，平分，
，
，
，
，
，
：：，
故選：．
由作圖可知，平分，推出，由，推出，可得結(jié)論．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
 6.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，分別是，平分線上的點(diǎn)，
，，
，
，故A選項(xiàng)結(jié)論正確；
在和中，
，
≌，
，，
同理可得，，
，故B選項(xiàng)結(jié)論正確；
與互余的角有，，，共個(gè)，故C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，故D選項(xiàng)結(jié)論正確．
故選：．
根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，，再利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，，同理可得，，然后求出，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的定義，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：作于，如圖，
由作法得平分，
而，，

的面積，
．
故選：．
作于，如圖，利用基本作圖得到平分，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線也考查了角平分線的性質(zhì)．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查角平分線的性質(zhì)。過點(diǎn)分別作、的垂線、，垂足分別為、，已知、、分別平分、、，且，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，繼而可列式子，根據(jù)三角形面積公式即可求解的的面積。
【解答】

過點(diǎn)分別作、的垂線、，垂足分別為、，
，分別平分和，
，
，
，
的周長(zhǎng)為，即，
．
故答案選C．  9.【答案】 【解析】解：點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，
和和的高相等，
的面積記為，的面積記為，的面積記為，
，，
由的三邊關(guān)系得：，
，
故選：．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系和三角形的面積公式解答即可．
此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出和和的高相等解答．
 10.【答案】 【解析】解：平分，
，
A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
本題考查了全等三角形的判定定理和角平分線的定義，注意：全等三角形的判定定理有，，，，．
 11.【答案】 【解析】解：在中，
，
，
，
由作圖方法可得：平分，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
的周長(zhǎng)．
故答案為：．
直接利用基本作圖方法結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出，即可得出答案．
此題主要考查了作圖基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解基本作圖方法是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了三角形的面積，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用有關(guān)知識(shí)，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解決本題的關(guān)鍵．
過作于，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形面積公式求出即可．
【解答】
解：過作于，

，平分，，
，
的面積．
故答案為．  13.【答案】 【解析】解：連接，

，，，，
，，
，
，
故答案為：．
連接，根據(jù)，，求出，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．
本題考查了角平分線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出是解此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：，平分，，，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再代入求出即可．
本題考查了角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
 15.【答案】證明：是角平分線，于，于，
，，
在和中，

≌；
解：于，于，
，
在和中，
，
≌，
，
≌，
，

． 【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證≌和≌是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，利用即可得到結(jié)論；
由于，于，得到，推出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由≌，得到，繼而根據(jù)線段和差關(guān)系結(jié)合等量代換可得結(jié)論．
 16.【答案】解：平分交于點(diǎn)，，
，
于點(diǎn)，
，
；
過點(diǎn)作，

，，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】由角平分線的定義可得，結(jié)合垂直的定義可求解的度數(shù)；
過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)可得，，即可求得，結(jié)合可得，利用平行線的性質(zhì)求得，即可得，進(jìn)而可證明結(jié)論．
本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：如圖，點(diǎn)即為所求．
 【解析】作的角平分線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．
本題了考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理，屬于中考常考題型．
 18.【答案】證明：是的中點(diǎn)，
，
，，
，
在與中
，
≌，
證明：≌，

，，
，
平分． 【解析】求出，，根據(jù)證出≌即可；
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的判定的應(yīng)用．
 19.【答案】證明：平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
；
解：是等腰三角形，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形． 【解析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出，
根據(jù)題意可得，，從而得出≌，進(jìn)而得出，得，進(jìn)而可以解決問題．
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
 20.【答案】證明：如圖，連接，

在和中，，
≌，
，
又，，
． 【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵 連接，利用“邊邊邊”證明和全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等證明即可．
 

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

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